天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末数学答案_2025年1月_250117天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考（全科）

2024～2025 学年度第一学期期末重点校联考 高三数学参考答案 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答 案 B D B B A C C D D 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分，双空只对1个空得3分） 1 5 10． ； 11． ； 12． 6 ； 2 2 13． 11 , 5 ； 14． 2 ， 4 5 ； 15．(,8)8，0  0， . 250 11 3 3 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为2acosAbcosCccosB． 由正弦定理得2sinAcosAsinBcosCsinCcosBsinBC ． 又因为ABCπ，所以sinAsinBC， 从而得2sinAcosAsinA． ……………………2分 又因为sinA0， 1 因此cosA ， 2 又因为A(0,)， π 所以A ． ……………………4分 3 （Ⅱ）因为VABC的面积为12 3， 1 即S  bcsinA12 3， 2 所以bc48 ①． ……………………5分 b2c2a2 1 又由余弦定理cosA  ，a2 13， 2bc 2 得 b2c2 100 ②． ……………………6分 因为bc．由①②解得b8，c6． ……………………8分 重点校期末高三数学参考答案 第 1 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}a2c2b2 13 （Ⅲ）由余弦定理得 cosB  ， 2ac 13 2 39 所以 sinB 1cos2B  ……………………10分 13 4 3 11 sin2B2sinBcosB ，cos2B2cos2 B1 ， 13 13 ……………………12分 23 cos2B Acos2BcosAsin2BsinA ． ……………………14分 26 17．（本小题满分15分）    解：（Ⅰ）依题意，以A 为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴 正方向建立空间直角坐标系Axyz (如图)， 可得A0,0,0,B2,0,0,C2,4,0,D0,2,0,E0,0,4，F2,4,2 . ……………………1分 因为AE 平面ABCD，且AB平面ABCD， 所以AE  AB， 又AD  AB，且ADAE  A， 所以AB平面ADE，  故AB2,0,0是平面ADE 的一个法向量， ……………………3分  又BF 0,4,2，   所以 BFAB0 ， ……………………4分 又因为BF 平面ADE 所以BF//平面ADE. ……………………5分 （注：其他方法平行给分） 重点校期末高三数学参考答案 第 2 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}   mBD0 （Ⅱ）设mx,y,z为平面BDF 的一个法向量，则  ， mBF 0   又BD2,2,0， BF 0,4,2 x y0 所以 . 2yz0  不妨令y=1，可得m1,1,2 . ……………………7分  又因为AB2,0,0是平面ADE 的一个法向量 设平面ADE 与平面BDF 夹角为     ABm 12 6 则cos cos AB,m      AB  m 2 12 12 2 2 6 6 所以平面ADE 与平面BDF 夹角的余弦值为 . 6 （设角和结论至少写其一，否则扣1分） ……………………10分   （Ⅲ）因为EB2,0,4 ,m1,1,2   EBm 1242 5 6 所以点E到平面BDF 的距离d     ……12分 m 6 3 在BDF中： BD2 2 ，DF 2 3,BF 2 5 所以 BD2DF2 BF2 所以BDF 90 1 所以S  BDDF 2 6 ……………………14分 BDF 2 1 20 所以四面体B-DEF 体积V V  S d  B-DEF E-BDF 3 BDF 3 ……………………15分 （注：其他方法平行给分） 18．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）∵ AB  AF  BF 8 1 1 所以4a 8,a 2. ……………………1分 1 c 1 又因为e ，即  ，所以c1， ……………………2分 2 a 2 所以 b a2 c2  3. ……………………3分 x2 y2 故椭圆E的方程为  1. ……………………4分 4 3 重点校期末高三数学参考答案 第 3 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}3 （Ⅱ）由题得：P(1, ) 2 设直线AB为： yk  x1 ，直线l为：y 3 kx1 (k 0) 2 设Ax,y ，Bx ,y ， 1 1 2 2 x2 y2 由   4  3 1, 消去y，得 34k2 x28k2x4k2120，  ykx1, 则x x  8k2 ，xx  4k212 ， ……………………6分 1 2 34k2 1 2 34k2  x2 y2   1, 由   4 3 消去y，得  34k2 x2   8k2 12k  x4k2 12k30，  y 3 kx1,  2 1 由0，可知k  ，（此步不写扣1分，若求出k后验证0，则不扣分） 2  3 设Qx ,y ，又P1,  ， 3 3  2 8k212k 4k2 12k3 则x 1 ，x 1 . ……………………9分 3 34k2 3 34k2 因为四边形PABQ为平行四边形， x x x 1 所以 1 3  2 ， 2 2 即x x 1x ， ……………………10分 1 2 3 故x x 24xx 1x 2 . 1 2 1 2 3  8k2  2 4k212  4k212k3 2 所以   4 1 . 34k2  34k2  34k2  3 得k  . ……………………12分 4 此时直线AB为：3x4y30，直线l为：3x4y＋30， 33 6 两平行线距离d=  3242 5 25 又因为 AB = 1+k2 (x x )24x x  ……………………14分 1 2 1 2 7 6 25 30 所以四边形PABQ的面积S=   5 7 7 重点校期末高三数学参考答案 第 4 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}所以存在直线l，使得四边形PABQ为平行四边形，此时四边形PABQ的 30 面积为 7 （注：其他方法平行给分） ……………………15分 19．（本小题满分15分） aa 解：（Ⅰ）由a 1,S a  1 2 ，得a 2， ……………………1分 1 1 1 2a a  2 2 1 a a a a 当n2时，由a S S ，得a  n n1  n1 n ， n n n1 n 2a a  2a a  n1 n n n1 整理得a a a a 2a 2 n n1 n n1 n 又因为a 0 n a a 2a ， ……………………3分 n1 n1 n 又因为a a 1 2 1 所以数列a 是首项和公差均为1的等差数列， n 因此，数列a 的通项公式为a n  nN* .…………………5分 n n （Ⅱ）（i）b aC1 a C2a C3 a Cn， n 1 n 2 n 3 n n n 所以b 0C01C1 2C23C3nCn， n n n n n n b nCnn1Cn11C1 0C0， n n n n n 两式相加可得2b n  C0C1 Cn n2n, n n n n b n2n1 n 故数列 的通项公式为b n2n1； ……………………8分 n 所以T n  b 1 n 20221322n2n1 又2T 121222323Ln2n n 将以上两式相减得 T 12122232n1n2n 2n1n2n (1n)2n1 n 所以T (n1)2n 1.（注：其他方法平行给分） ……………10分 n 2b （ⅱ）由题，c  n 2n n a n 数列d 满足 n d  c  n 1 1 ， n i a i1 i1 i n 2n11 即d   ， i i i1 i1 重点校期末高三数学参考答案 第 5 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}1 1 1 则d d d 1   ， 1 2 n 2 3 2n 1 1 1 1 所以d d d 1   n2， 1 2 n1 2 3 2n11 1 1 1 1 两式相减得d     …………12分 n 2n1 2n11 2n12 2n1 1 1 1 1 2n1 所以d n  2n1  2n1  2n1    (2n1)2n11  2n1  2n1 1， ……………………14分 当n1时，d 1，所以d 1． ……………………15分 1 n （注：其他方法平行给分） 20．（本小题满分16分） 解：（Ⅰ） fxexm， ①当m0， f x 0恒成立，无极值； ……………………1分 ②当m0时，令 fx0，解得xlnm， 当xlnm时 f x 0，所以 f x在 ,lnm单调递减； 当xln m 时 f x 0，所以 f x在 lnm，+单调递增. 所以 f x极小值为 f(lnm)mmlnm1；无极大值. ……………………3分 综上，当m0时， f x无极值； 当m0时， f x极小值为mmlnm1，无极大值. ……………………4分 （Ⅱ）因为 f(x)g(x)0对任意的x 0,恒成立， 即exmxlnx110对任意的x 0,恒成立. 设hxexmxlnx11，且h(0)0， 1 1 hxex m ，令xhxex m ， ………5分 x1 x1 1 则xex  在x 0,为增函数，且00， 1x2 所以x0恒成立，即xhxex m 1 在x 0,单调递增， x1 其中0h0m2， ……………………6分 重点校期末高三数学参考答案 第 6 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}若m2，则xhx0恒成立，此时h(x)单调递增，又h(0)0， 所以h(x)0恒成立， 即exmxlnx110在x 0,上恒成立，即结论成立； ……………………8分 若m2，则(0)0， 又 lnmh lnmelnm m 1  1 0， lnm1 lnm1 故由零点存在性定理可知，在 0,lnm内存在x ，使得x 0， 0 0 （若直接写：当m2时，(0)0.则存在x  0,，使x 0,x 时 0 0 xhx0，接下方答案，则不扣分） 当x(0,x )时，xhx0，所以h(x)单调递减，又h(0)0， 0 所以当x(0,x )时，h(x)0，即 f(x)+g(x)0，不合题意，舍去； 0 综上：实数m的取值范围是2, . （注：其他方法平行给分） ……………………10分 1 （Ⅲ）构造函数txex 1x x2，x0， 2 txex1x， 令vxtxex1x， 则vxex1， 当x0时，vxex10恒成立， 所以vxtxex1x在x0上单调递增， 1 所以t(x)t(0)0，故txex 1x x2在x0单调递增， 2 1 t(x)t(0)0，即ex 1 x x2，……………………12分 2 2x 构造函数uxlnx1 ，x0， x2 1 2x22x x2 ux   0， x1 x22 x1x22 所以ux在x0上为单调递增， 2x 所以uxu00，即lnx1 ，……………………14分 x2 重点校期末高三数学参考答案 第 7 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}1 2x 又因为x0时，ex 10，ln  x1 0，x x2 0， 0， 2 x2 所以  ex1  lnx1   x 1 x2   2x x2，  2  x2 即x0时，(ex 1)g(x) x2， x2 即g(x) 证毕. （注：其他方法平行给分） ………………16分 ex1 重点校期末高三数学参考答案 第 8 页（共 8 页） {#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}