天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末数学答案_2025年1月_250117天津市五区县重点校2024-2025学年高三上学期1月期末联考（全科）

2024～2025 学年度第一学期期末重点校联考
高三数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答 案 B D B B A C C D D
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分，双空只对1个空得3分）
1 5
10． ； 11． ； 12． 6 ；
2 2
13． 11 , 5 ； 14． 2 ， 4 5 ； 15．(,8)8，0  0， .
250 11 3 3
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为2acosAbcosCccosB．
由正弦定理得2sinAcosAsinBcosCsinCcosBsinBC ．
又因为ABCπ，所以sinAsinBC，
从而得2sinAcosAsinA． ……………………2分
又因为sinA0，
1
因此cosA ，
2
又因为A(0,)，
π
所以A ． ……………………4分
3
（Ⅱ）因为VABC的面积为12 3，
1
即S  bcsinA12 3，
2
所以bc48 ①． ……………………5分
b2c2a2 1
又由余弦定理cosA  ，a2 13，
2bc 2
得 b2c2 100 ②． ……………………6分
因为bc．由①②解得b8，c6． ……………………8分
重点校期末高三数学参考答案 第 1 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}a2c2b2 13
（Ⅲ）由余弦定理得 cosB  ，
2ac 13
2 39
所以 sinB 1cos2B  ……………………10分
13
4 3 11
sin2B2sinBcosB ，cos2B2cos2 B1 ，
13 13
……………………12分
23
cos2B Acos2BcosAsin2BsinA ． ……………………14分
26
17．（本小题满分15分）
  
解：（Ⅰ）依题意，以A 为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴
正方向建立空间直角坐标系Axyz (如图)，
可得A0,0,0,B2,0,0,C2,4,0,D0,2,0,E0,0,4，F2,4,2
.
……………………1分
因为AE 平面ABCD，且AB平面ABCD，
所以AE  AB，
又AD  AB，且ADAE  A，
所以AB平面ADE，

故AB2,0,0是平面ADE 的一个法向量， ……………………3分

又BF 0,4,2，
 
所以 BFAB0 ， ……………………4分
又因为BF 平面ADE
所以BF//平面ADE. ……………………5分
（注：其他方法平行给分）
重点校期末高三数学参考答案 第 2 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#} 
 mBD0
（Ⅱ）设mx,y,z为平面BDF 的一个法向量，则  ，
mBF 0
 
又BD2,2,0， BF 0,4,2
x y0
所以 .
2yz0

不妨令y=1，可得m1,1,2 . ……………………7分

又因为AB2,0,0是平面ADE 的一个法向量
设平面ADE 与平面BDF 夹角为
 
  ABm 12 6
则cos cos AB,m     
AB  m 2 12 12 2 2 6
6
所以平面ADE 与平面BDF 夹角的余弦值为 .
6
（设角和结论至少写其一，否则扣1分） ……………………10分
 
（Ⅲ）因为EB2,0,4 ,m1,1,2
 
EBm 1242 5 6
所以点E到平面BDF 的距离d     ……12分
m 6 3
在BDF中： BD2 2 ，DF 2 3,BF 2 5
所以 BD2DF2 BF2
所以BDF 90
1
所以S  BDDF 2 6 ……………………14分
BDF
2
1 20
所以四面体B-DEF 体积V V  S d 
B-DEF E-BDF 3 BDF 3
……………………15分
（注：其他方法平行给分）
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵ AB  AF  BF 8
1 1
所以4a 8,a 2. ……………………1分
1 c 1
又因为e ，即  ，所以c1， ……………………2分
2 a 2
所以 b a2 c2  3. ……………………3分
x2 y2
故椭圆E的方程为  1. ……………………4分
4 3
重点校期末高三数学参考答案 第 3 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}3
（Ⅱ）由题得：P(1, )
2
设直线AB为： yk  x1 ，直线l为：y 3 kx1 (k 0)
2
设Ax,y ，Bx ,y ，
1 1 2 2
x2 y2
由   4  3 1, 消去y，得 34k2 x28k2x4k2120，
 ykx1,
则x x 
8k2
，xx 
4k212
， ……………………6分
1 2 34k2 1 2 34k2
 x2 y2
  1,
由   4 3 消去y，得  34k2 x2   8k2 12k  x4k2 12k30，
 y 3 kx1,
 2
1
由0，可知k  ，（此步不写扣1分，若求出k后验证0，则不扣分）
2
 3
设Qx ,y ，又P1,  ，
3 3  2
8k212k 4k2 12k3
则x 1 ，x 1 . ……………………9分
3 34k2 3 34k2
因为四边形PABQ为平行四边形，
x x x 1
所以 1 3  2 ，
2 2
即x x 1x ， ……………………10分
1 2 3
故x x 24xx 1x 2 .
1 2 1 2 3
 8k2  2 4k212  4k212k3 2
所以   4 1 .
34k2

34k2

34k2

3
得k  . ……………………12分
4
此时直线AB为：3x4y30，直线l为：3x4y＋30，
33 6
两平行线距离d= 
3242 5
25
又因为 AB = 1+k2 (x x )24x x  ……………………14分
1 2 1 2 7
6 25 30
所以四边形PABQ的面积S=  
5 7 7
重点校期末高三数学参考答案 第 4 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}所以存在直线l，使得四边形PABQ为平行四边形，此时四边形PABQ的
30
面积为
7
（注：其他方法平行给分） ……………………15分
19．（本小题满分15分）
aa
解：（Ⅰ）由a 1,S a  1 2 ，得a 2， ……………………1分
1 1 1 2a a  2
2 1
a a a a
当n2时，由a S S ，得a  n n1  n1 n ，
n n n1 n 2a a  2a a 
n1 n n n1
整理得a a a a 2a 2
n n1 n n1 n
又因为a 0
n
a a 2a ， ……………………3分
n1 n1 n
又因为a a 1
2 1
所以数列a 是首项和公差均为1的等差数列，
n
因此，数列a 的通项公式为a n  nN* .…………………5分
n n
（Ⅱ）（i）b aC1 a C2a C3 a Cn，
n 1 n 2 n 3 n n n
所以b 0C01C1 2C23C3nCn，
n n n n n n
b nCnn1Cn11C1 0C0，
n n n n n
两式相加可得2b n  C0C1 Cn n2n,
n n n n
b n2n1
n
故数列 的通项公式为b n2n1； ……………………8分
n
所以T
n

b
1
n
20221322n2n1
又2T 121222323Ln2n
n
将以上两式相减得
T 12122232n1n2n 2n1n2n (1n)2n1
n
所以T (n1)2n 1.（注：其他方法平行给分） ……………10分
n
2b
（ⅱ）由题，c  n 2n
n a
n
数列d 满足 n d  c  n 1 1 ，
n i a
i1 i1 i
n 2n11
即d   ，
i i
i1 i1
重点校期末高三数学参考答案 第 5 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}1 1 1
则d d d 1   ，
1 2 n 2 3 2n 1
1 1 1
所以d d d 1   n2，
1 2 n1 2 3 2n11
1 1 1 1
两式相减得d     …………12分
n 2n1 2n11 2n12 2n1
1 1 1 1 2n1
所以d
n

2n1

2n1

2n1
 

(2n1)2n11
 2n1

2n1
1，
……………………14分
当n1时，d 1，所以d 1． ……………………15分
1 n
（注：其他方法平行给分）
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ） fxexm，
①当m0， f x 0恒成立，无极值； ……………………1分
②当m0时，令 fx0，解得xlnm，
当xlnm时 f x 0，所以 f x在 ,lnm单调递减；
当xln m 时 f x 0，所以 f x在 lnm，+单调递增.
所以 f x极小值为 f(lnm)mmlnm1；无极大值.
……………………3分
综上，当m0时， f x无极值；
当m0时， f x极小值为mmlnm1，无极大值.
……………………4分
（Ⅱ）因为 f(x)g(x)0对任意的x 0,恒成立，
即exmxlnx110对任意的x 0,恒成立.
设hxexmxlnx11，且h(0)0，
1 1
hxex m ，令xhxex m ， ………5分
x1 x1
1
则xex  在x 0,为增函数，且00，
1x2
所以x0恒成立，即xhxex m 1 在x 0,单调递增，
x1
其中0h0m2， ……………………6分
重点校期末高三数学参考答案 第 6 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}若m2，则xhx0恒成立，此时h(x)单调递增，又h(0)0，
所以h(x)0恒成立，
即exmxlnx110在x 0,上恒成立，即结论成立；
……………………8分
若m2，则(0)0，
又 lnmh lnmelnm m 1  1 0，
lnm1 lnm1
故由零点存在性定理可知，在 0,lnm内存在x ，使得x 0，
0 0
（若直接写：当m2时，(0)0.则存在x  0,，使x 0,x 时
0 0
xhx0，接下方答案，则不扣分）
当x(0,x )时，xhx0，所以h(x)单调递减，又h(0)0，
0
所以当x(0,x )时，h(x)0，即 f(x)+g(x)0，不合题意，舍去；
0
综上：实数m的取值范围是2, . （注：其他方法平行给分）
……………………10分
1
（Ⅲ）构造函数txex 1x x2，x0，
2
txex1x，
令vxtxex1x，
则vxex1，
当x0时，vxex10恒成立，
所以vxtxex1x在x0上单调递增，
1
所以t(x)t(0)0，故txex 1x x2在x0单调递增，
2
1
t(x)t(0)0，即ex 1 x x2，……………………12分
2
2x
构造函数uxlnx1 ，x0，
x2
1 2x22x x2
ux   0，
x1 x22 x1x22
所以ux在x0上为单调递增，
2x
所以uxu00，即lnx1 ，……………………14分
x2
重点校期末高三数学参考答案 第 7 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}1 2x
又因为x0时，ex 10，ln  x1 0，x x2 0， 0，
2 x2
所以  ex1  lnx1   x 1 x2   2x x2，
 2  x2
即x0时，(ex 1)g(x) x2，
x2
即g(x) 证毕. （注：其他方法平行给分） ………………16分
ex1
重点校期末高三数学参考答案 第 8 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}