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上， 是椭圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
衡阳县四中 2025 届高三第一学期期末考试 P C ⃗PQ⋅⃗PF
1
9
A．4 B． C．5 D．4+❑√2
数 学 2
6．将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高
注意事项： （从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考
组最高的分组方式共有（ ）种.
证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 A．4 B．5 C．6 D．8
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 7．已知正三棱柱ABC−A B C 的底面边长为❑√3，高为2❑√3，则该正三棱柱的外接球
1 1 1
标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 的体积为（ ）
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试
32π 8π
A． B．4❑√3π C．❑√6π D．
3 3
题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
8．已知MN是圆O:x2+ y2=4的一条弦，∠MON=60°，P是MN的中点.当弦MN在圆O
上运动时，直线l:y=x−4上总存在两点A,B，使得∠APB为钝角，则|AB|的取值范围
第Ⅰ卷（选择题）
是（ ）
A． B．
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
(0,4❑√2−2❑√3) (4❑√2−2❑√3,+∞)
1．设集合 ，则（ ）
A={x|log (x−1)<2},B={x|x<5}
2
C． D．
(0,4❑√2+2❑√3) (4❑√2+2❑√3,+∞)
A．A=B B．B⊆A C．A⊆B D．A∩B=∅
3+4i
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
2．已知复数z= ，则|z|=（ ）
4−3i
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
❑√5
π
A．2 B．1 C．❑√5 D． 9．已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 部分图象如图所示，则下列说法正
5 2
3．“b≤1”是“函数f(x)=¿是在(−2,+∞)上的单调函数”的（ ）
确的是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知平面向量 满足 ，则向量 与向量 的夹角为
⃗a,⃗b ⃗a=(1,−1),|⃗b|=1,|⃗a+2⃗b|=❑√2 ⃗a ⃗a+2⃗b
（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
A．ω=2
5．已知 为椭圆 x2 y2 的左右焦点， ，点 在椭圆
F ,F C: + =1(a>b>0) |F F |=4 Q(2,❑√2) C
1 2 a2 b2 1 2 B． 的图象关于点 ( 2π ) 对称
f (x) − ,0
3
学科网（北京）股份有限公司C．将函数y=2cos( 2x+
π
) 的图象向右平移
π
个单位得到函数f (x)的图象 半径作圆F ，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为
❑√3
(a−c)，
3 2 2 2
[ π] 则椭圆的离心率e是 .
D．若方程f (x)=m在 0, 上有且只有一个实数根，则m的取值范围是[−❑√3,❑√3)
2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
10．若数列 满足 ， ，设 ，则（ ）
{F } F =F =1 F =F +F (n∈N∗) a =(−1) F n F n+1 骤.
n 1 2 n+2 n+1 n n
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
A．a =1
4
B．a +a =2 sinC−❑√3sinB a−b
2024 2025 = .
sin A+sinB c
C．a =a
n n+3
(1)求角A的大小；
D．若数列 的前 项和为30，则 或
{a } n n=90 n=92
n (2)若2sin AsinB=1+cosC，△ABC外接圆半径为2，∠BAC的角平分线与BC交于点D.
11．如图，若正方体ABCD−EFGH的棱长为1，点M是正方体的侧面ADHE上的一个 求AD的长.
动点（含边界），P是棱CG上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
16．（15分）已知数列 满足 ，且 ，其前 项和记为 ．
{a } 2a −2a =a a =3 n S
n n+1 n 1 2 n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)记数列{1 }的前 项和为 ，求证： 11．
n T T <
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为
❑√34 S
n
n n 9
3
B．若PM⊥BH，点M的运动轨迹是线段
13 2
C．若|PM|= ，则点M在侧面ADHE内运动路径长度为 π
3 9
D．当点M与点D重合时，三棱锥B−MEP的体积最大
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
1
12．若函数f (x)= f'(−1)x2−2x+1，则f'(−1)= .
2
17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边为
1 4
13．关于x的不等式mx2−x+1<0的解集为¿，则 + 的最小值为 .
a−1 b−1 AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=2❑√2.
14．已知椭圆x2 y2 的左､右焦点分别为 ，若以 为圆心， 为
+ =1(a>b>c>0) F ,F F b−c
a2 b2 1 2 2
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）已知椭圆 的焦点为 ， ，左、右顶点分别为 ，
C F (−❑√3,0) F (❑√3,0) A,B
1 2
点P为椭圆C上异于A,B的动点，△PF F 的周长为4+2❑√3.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线PB交直线x=4于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为
k ，k .
AP AQ
(1)求证：PD⊥平面PAB； （i）求证：k ⋅k 为定值；
AP AQ
(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； （ii）设直线PQ:x=ty+n，证明：直线PQ过定点.
❑√5
(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 ?若存
5
PM
在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
PB
18．（17分）已知 .
f (x)=ex ⋅sinx−x
(1)若 2−2x−f (x) π ，证明： 存在唯一零点；
g(x)= ( 00且1+b≤2，即0❑√3,此时V = πR3>4❑√3π.
3
[ π] π [π 4π ]
故选:A. 对于D：当x∈ 0, 时，2x+ ∈ , ，
2 3 3 3
8．【答案】D
π π π π [ π]
令 ≤2x+ ≤ ，解得0≤x≤ ，所以f (x)在 0, 上单调递增，
【解析】由题意可知：圆O:x2+ y2=4的圆心为O(0,0)，半径R=2， 3 3 2 12 12
因为∠MON=60°，则|OP|=Rcos30°=❑√3， π π 4π π π [π π]
令 ≤2x+ ≤ ，解得 ≤x≤ ，所以f (x)在 , 上单调递减，
2 3 3 12 2 12 2
可知点P的轨迹是以O(0,0)为圆心，半径r=❑√3的圆C:x2+ y2=3，
π π π π π
设AB的中点为E， 又f (0)=2sin =❑√3，f ( )=2sin =2，f ( )=2sin (π+ )=−❑√3，
3 12 2 2 3
因为∠APB为钝角，可知圆C在以AB为直径的圆E内，
[ π]
故方程f (x)=m在 0, 上有且只有一个实数根时，则m的取值范围是[−❑√3,❑√3)∪{2}，
1 2
可得|OE|< |AB|−❑√3⇒|AB|>2|OE|+2❑√3，
2
故D错误．
4
因为O(0,0)到直线l:x−y−4=0的距离d= =2❑√2，
故选：AB.
❑√2
10．【答案】BC
可知|OE|≥d=2❑√2，
【解析】对于A，因为 ，所以 ，因为 ，
可得|AB|>2|OE|+2❑√3≥4❑√2+2❑√3， a =(−1) F n F n+1 a =(−1) F 4 F 5 F =F =1
n 4 1 2
所以|AB|>4❑√2+2❑√3，
所以 |AB| 的取值范围是 (4❑√2+2❑√3,+∞) . F n+2 =F n+1 +F n (n∈N∗) ，
所以F =F +F =1+1=2，F =F +F =2+1=3，F =F +F =3+2=5，
3 2 1 4 3 2 5 4 3
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，故A错误；
F F =3×5=15 a =(−1) 15=−1
4 5 4
对于B，因为 的前两项为奇数，奇数与奇数的和为偶数，偶数与奇数的和为奇数，
{F }
n
所以 的各项为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶 ，所以 为奇偶偶，奇偶偶，奇偶偶
{F } ⋯ F F
n n n+1
⋯，
因为 ，所以 各项为 ，周期为3，其中
a =(−1) F n F n+1 {a } −1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯
n n
2 1
所以⃗MP=(−x,1, −z)，⃗BH=(−1,−1,1)，即⃗MP⋅⃗BH=x−z− =0，
2024=3×674+2，2025=3×675， 3 3
所以a =1，a =1，所以a +a =2，故B正确； 又M是侧面ADHE上的一个动点（含边界），所以M的运动轨迹是线段，
2024 2025 2024 2025
对于C，因为 各项为 ，周期为3，所以 ，故C正确； 为DA靠近D点的三等分点和AE靠近E点三等分点的连线段，对；
{a } −1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯ a =a
n n n+3
对于C，由B选项过程可得 √ 2 2 13，整理得 2 2 160，
对于D， 因为
{a }
各项为
−1,1,1,−1,1,1,−1,1,1,⋯
，周期为3，所以
a +a +a =1
， |⃗MP|=❑ x2+1+(
3
−z) =
3
x2+(z−
3
) =
9
n 1 2 3
a +a +a =1，⋯，则每组和值为1， 2 4❑√10
4 5 6 所以M在侧面ADHE内运动路径是以(0,0, )为圆心， 为半径的圆，
3 3
若数列数列 的前 项和为30，即 ，所以 ， 或 ，故D
{a } n a +a +⋯a =30 n=90 n=92 n=94
n 1 2 n 2 √ 4 ❑√13 4❑√10
而点(0,0, )到A(1,0,0)的距离等于❑1+ = < ，
3 9 3 3
错误，
13
故选：BC. 所以要保持|⃗MP|= ，则点M在侧面ADHE外，
3
11．【答案】ABD
所以点M在侧面ADHE内运动路径长度为0，错；
【解析】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，连接AP，
对于D，设平面BEP的法向量为⃗m=(a,b,c)，则
2
⃗BE=(0,−1,1),⃗BP=(−1,0, ),⃗ME=(1−x,0,1−z)，
3
所以¿，令b=3，则⃗m=(2,3,3)，
|⃗ME⋅⃗m| |5−2x−3z|
所以点M到平面BEP的距离等于 = ，
|⃗m| ❑√22
因为点M在平面ADHE内，所以0≤x,z≤1，
当x=z=0，即M与D点重合时，三棱锥M−BEP的高最大，
❑√34 ❑√34
则AP=❑√AD2+DP2= ，因此A到点P的最短路程为 ，对；
3 3
又△BEP的面积为定值，所以M与D重合时，三棱锥的体积最大，对.
2
故选：ABD
对于B，建系如图，设M(x,0,z),P(0,1, ),B(1,1,0),H(0,0,1)，
3
12．【答案】−1
1
【解析】因为f (x)= f'(−1)x2−2x+1，所以f'(x)=f'(−1)x−2，
2
学科网（北京）股份有限公司得到 ，解得 ， 1 1
f'(−1)=−f'(−1)−2 f'(−1)=−1 所以(b−c) 2= (a−c) 2，又b−c>0,a−c>0，所以b−c= (a−c)，
4 2
故答案为：−1. a+c
整理可得b= ，即4b2=(a+c) 2=4a2−4c2，
2
13．【答案】4
3
【解析】因为关于x的不等式mx2−x+1<0的解集为¿， 可得5c2+2ac−3a2=0，即5e2+2e−3=0，解得e= .
5
所以m>0且方程mx2−x+1=0的解为a,b，
3
故答案为：
1 1 5
则a+b= ,ab= ，
m m
15．
因为m>0，所以a>0,b>0，
sinC−❑√3sinB a−b
【解析】（1）因为 = ，
1 1 sin A+sinB c
所以a+b=ab，则 + =1，
a b
所以(c−❑√3b)c=(a+b)(a−b),
1 a
所以b=1+ = >0，所以a−1>0，
❑√3
a−1 a−1 即a2=b2+c2−❑√3bc,即cosA= ,
2
1 4 1 √ 1
则 + = +4(a−1)≥2❑ ⋅4(a−1)=4， π
a−1 b−1 a−1 a−1 因为A∈(0,π)，所以A= .
6
1 3
当且仅当 =4(a−1)，即a= 时，取等号， （2）∵2sin AsinB=1+cosC=1−cos(A+B)=1−cosAcosB+sin AsinB.
a−1 2
π
所以
1
+
4
的最小值为4.
所以cos(A−B)=1，从而A=B=
6
，
a−1 b−1
2π
故答案为：4. 所以C= ，
3
3
14．【答案】 /0.6 因为△ABC外接圆半径为R=2，所以△ABC外接圆直径为2R=4，
5
a b c
【解析】如下图所示： 由正弦定理得 = = =2R=4，
sinA sinB sinC
1 1 ❑√3
所以a=4sin A=4× =2,b=4sinB=4× =2,c=4sinC=4× =2❑√3
2 2 2
因为∠BAC的角平分线为AD，所以∠CAD=15°，所以∠CDA=45°
AD 2
AD AC =
在△ACD中，由正弦定理得 = ，即❑√3 ❑√2，解得AD=❑√6
sinC sin∠ADC
2 2
易知 |PT|=❑√|PF | 2 −|T F | 2=❑√|PF | 2 −(b−c) 2 ，
2 2 2
❑√3 √3
又|PT|的最小值为 (a−c)可得|PF |的最小值为❑ (a−c) 2+(b−c) 2， 16．
2 2 4
a
3 【解析】（1）因为2a −2a =a ，所以a −a = 1，
根据焦半径公式可得|PF |的最小值为a−c，即可知 (a−c) 2+(b−c) 2=(a−c) 2, n+1 n 1 n+1 n 2
2 4
学科网（北京）股份有限公司a ∴P(0,0,2),B(1,2,0),D(0,−2,0),C(2,0,0)
所以{a }是公差为 1的等差数列．
n 2
，
∴⃗PB=(1,2,−2),⃗PD=(0,−2,−2),⃗PC=(2,0,−2),⃗CD=(−2,−2,0)
a
又a =a + 1=3，所以a =2，从而公差为1，
2 1 2 1
设⃗n=（x ,y ,z ）为平面PCD的一个法向量，
1 1 1
所以a =2+n−1=n+1．
n ∴由¿，得¿，令z=1，则⃗n=(1,−1,1)，
1 n2+3n
（2）S =2n+ n(n−1)= ， 设PB与平面PCD所成角的角为θ，
n 2 2
|❑⃗ ⃗❑ |
1 = 2 = 2 = 2(1 − 1 )， ∴sinθ=|cos⟨⃗n,⃗PB⟩|=
n⋅PB
=
|1−2−2|
=
❑√3
.
S n2+3n n(n+3) 3 n n+3 |⃗n||⃗PB| ❑√3×3 3
n
❑√5
1 1 1 1 （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为 ，
所以T = + + +⋯+ 5
n S S S S
1 2 3 n
由（2）可知，A(0,2,0),B(1,2,0),P(0,0,2)，
2( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
= 1− + − + − + − +⋯+ − + − + − ，设
3 4 2 5 3 6 4 7 n−2 n+1 n−1 n+2 n n+3 ∴⃗AP=(0,−2,2),⃗AD=(0,−4,0) ⃗PM=λ⃗PB=(λ,2λ,−2λ),λ∈[0,1].
2( 1 1 1 1 1 ) ∴⃗AM=⃗AP+⃗PM=(λ,2λ−2,2−2λ)
= 1+ + − − −
3 2 3 n+1 n+2 n+3
设 为平面ADM的一个法向量，
⃗m=(x ,y ,z )
2 2 2
11 2( 1 1 1 )，
= − + +
9 3 n+1 n+2 n+3 ∴由¿得¿，
则⃗m=(2λ−2,0,λ)，
因为 n∈N∗ ，所以11 − 2( 1 + 1 + 1 ) < 11，不等式得证. 易知平面ABCD的一个法向量为 ，
9 3 n+1 n+2 n+3 9 ⃗OP=(0,0,2)
17． 设平面ADM与平面ABCD的夹角为α.
【解析】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴cosα=|cos⟨⃗m,⃗OP⟩|= |⃗m⋅⃗OP| = | 2λ | = ❑√5 ，
AB⊂平面ABCD，AB⊥AD， |⃗m||⃗OP| ❑√(2λ−2) 2+λ2×2 5
∴AB⊥平面PAD，
1 PM 1
∴λ= ，∴ = .
∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD， 2 PB 2
又∵PD⊥PA且AB∩PA=A，PA、AB⊂平面PAB,∴PD⊥平面PAB；
（2）取AD中点为O，连接PO、CO，
又∵PD=PA,∴PO⊥AD，
则AO=PO=2，
，则 ，
∵AC=CD=2❑√2,AD=4,∴CD⊥CA,CO⊥AD CO=❑√AC2−AO2=2
以O为坐标原点，分别以⃗OC,⃗OA,⃗OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
18．
系，
学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）由题意， g(x)= 2−2x−f (x) = 2−x−exsinx ( 00
(ex) 2 ex
π π
故∃x ∈ ( ,π) ，使得f' (x )=0，且当x∈ ( ,x ) 时，f'(x)>0，f (x)单调递增，
π 0 2 0 2 0
由于00，又x−3<0，所以−3+x−excosx<0，
2
当 时， ， ， 单调递减，
x∈(x ,π) x∈(x ,π) f'(x)<0 f (x)
π 0 0
进而g'(x)<0，所以g(x)在 ( 0, ) 上单调递减，
2
π
而 π π π ， ，
π π f ( )=e2 − >e− >0 f (π)=−π<0
2− π −e2 sin π 2− π −e2 π 2 2 2
又 g(0)=2>0 ， g ( π )= 2 2 = 2 = 4−π−2e2 <0 ，
2 π π π π
e2 e2 2e2 所以当 ≤x0，此时f (x)无零点，
2 0
π
( )
根据零点存在性定理可知：函数g(x)在 0, 上存在唯一零点. 当 时， 只有一个零点，
2 x∈(x ,π) f (x)
0
（2） ， ，则 ， ，
f (x)=ex ⋅sinx−x x∈(−∞,π) f'(x)=ex ⋅sinx+excosx−1 x∈(−∞,π) 综上可知：x∈(−∞,π)时，f (x)有2个零点.
19．
π π
当x≤− 时，因为 − ，
2
exb>0) c=❑√3
所以 f'(x)=ex ⋅sinx+excosx−1=ex ⋅(sinx+cosx)−1 ≤❑√2e − π 2 −1<❑√2e−1−1<0 ，
a2 b2
又△PF F 的周长为2a+2c=4+2❑√3，即a=2，
1 2
π π
此时 单调递减， π − π π − ，
f (x) f ( − )=e 2⋅sin( − )+ =−e 2 +1>0 所以 ，
2 2 2 b=❑√a2−c2=1
所以f (x)在 ( −∞,−
π]
上没有零点， 所以椭圆C的方程为
x2
+ y2=1．
2 4
π π π （2）证明：（i）设P(x ,y )(x ≠±2)，Q(x ,y )，T(4,m)，
当− 0 ，故f (x)在 ( 0,
π]
上单调递增，
2 2 所以 y ， m，
k = 1 k =k =
AP x +2 AQ AT 6
π π 1
因此，当− 0
由（i）可知， 1 ，即 y y y y 1 ，
k ⋅k =− 1 × 2 = 1 2 =−
AP AQ 12 x +2 x +2 (t y +n+2)(t y +n+2) 12
1 2 1 2
所以 y 1 y 2 =− 1 ，
t2y y +t(n+2)(y + y )+(n+2) 2 12
1 2 1 2
n2−4
即 t2+4 1 ，
=−
n2−4 2tn 12
t2 ⋅ +t(n+2)⋅(− )+(n+2) 2
t2+4 t2+4
化简得 n2−4 1 ，解得 或 （舍去），
=− n=1 n=−2
4n2+16n+16 12
所以直线PQ的方程为x=ty+1，
所以直线PQ经过x轴上的定点，定点坐标为(1,0)．
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