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数学试卷参考答案
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’!(!由题意可得$$ $ $ $,%&*"则#$#$槡,’+$%&%’$"!
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,!-!由题意可得圆% 的圆心%$!"%,%"半径&$""圆心% 到直线’的距离($
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$’槡""则#"##$’槡&’%(’$’槡"!
槡!’+$%’%’
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"!(!由%*&+,"%*’平面#+,"+,(平面#+,"得%*&平面-+,!由%*&平面#+,"
%*(平面-%*"平面-%*"平面#+,$+,"得%*&+,!故’%*&+,(是’%*&平面
#+,(的充要条件!
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当/* 0" 时"’/% * % " "则1$/%在 0" 上不单调"故-错误!由/*
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上的值域为)%&"’槡,*"故1正确!
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构造函数1$/%$.$/%+/$6/% /’%2/"则1$/%+1$/%"所以1$/%单调递增"
’ ! ’
13$/%$6/%/%2,0恒成立"即2-6/%/恒成立!令函数4$/%$6/%/"43$/%$6/%!!当
/+0时"43$/%+0"当/.0时"43$/%.0"所以4$/%在$%7"0%上单调递减"在)0"+7%上
单调递增!4$/%,4$0%$!"故2-!!
槡’ 5’%,5+& !
8!#1!因为5’+,5%&恒成立"所以由%的离心率为 "得 $ "解得5$’或
’ 5’ ’
5$&!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
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书书书’ ! ’ ’ $ ’%’ !
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, , 8 , 8
!!!#-1!由题意可得""#$2+$7%!%$2%2%$’2%2+$2%2%7"" # $2+
7 7 ! ’ ! ! ’ ’ ! 7+! 7+! !
$2%2%7!第7个四棱柱的体积为,2%2+’$2%2%7"前7个四棱柱的体积之和为
’ ! ! ’ ’ !
’27+$2%2%7’!
! ’ !
!’!5!若点-在双曲线%的左支上"则#-,#+2+8$""与#-,#$&矛盾"则点-在双曲线
’ ’
%的右支上!由双曲线的定义可得#-,#%#-,#$’2$&"则#-,#$5!
! ’ !
, $ !% 9:3!+! ! ’2*3!;<2! ’9:3!
!,! !因为9:3!+ $ $’"所以9:3!$ "2*3’!$ $
" & !%9:3! , ;<2’!+2*3’! !+9:3’!
,
$ !
"
!&!&0!设6$2+($9+8!当6$!时"’和对称四位数(为!0!0"!!00+当6$’时"$2"(%
只能为$’"0%"$!"!%"’和对称四位数(的个数为’.,$/+当6$,时"$2"(%只能为$,"0%"
$’"!%"$!"’%"’和对称四位数(的个数为,.&$!’+当6$&时"$2"(%只能为$&"0%"$,"!%"
$’"’%"$!",%"’和对称四位数(的个数为&."$’0!故对称和不大于&的’和对称四位数(的
个数为’+/+!’+’0$&0!
!"!解,$!%因为2$2*3#+槡,;<2#%$槡,8"所以2*3"$2*3#+槡,;<2#%$槡,2*3%!--!分
因为"+#+%$!"所以2*3%$2*3$"+#%$2*3";<2#+;<2"2*3#"-----’分
所以2*3"2*3#+槡,2*3";<2#$槡,2*3";<2#+槡,;<2"2*3#"即2*3"2*3#$
槡,;<2"2*3#!------------------------------,分
!
因为0.#. "所以2*3#)0"所以2*3"$槡,;<2""即9:3"$槡,! ------"分
’
! !
因为0.". "所以"$ !------------------------/分
’ ,
! ’! ’!
$’%因为"$ "所以#+%$ "所以%$ %#" --------------)分
, , ,
$’! % , 槡, $ !%
则’;<2#+;<2%$’;<2#+;<2 %# $ ;<2#+ 2*3#$槡,2*3#+ ! -8分
, ’ ’ ,
1 !
0.#. "
’ ! !
因为/"#%是锐角三角形"所以0 解得 .#. "-------!!分
’! ! / ’
0. %#. "
2 , ’
! ! "! ! $ !%
所以 .#+ . "所以 .2*3#+ .!"---------------!’分
’ , / ’ ,
槡, $ !% $槡, %
则 .槡,2*3#+ .槡,"即’;<2#+;<2%的取值范围是 "槡, !-----!,分
’ , ’
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{#{QQABSQ6s4giYgEbACY5KEQHUCUgQsICiJcoEBRCVqAwKAZFABKA=}#}!/!解,$!%由题意可得.3$/%$$/+!%6/+’2/"-----------------!分
则.3$!%$’6+’2$’6+&"解得2$’!--------------------,分
$’%令.$/%$/6/+2/’$0"解得/$0或6/+2/$0!-------------&分
设函数1$/%$6/+2/!
当2$0时"1$/%$6/+0恒成立"1$/%没有零点"则.$/%有唯一的零点!-----/分
当2+0时"易证1$/%是!上的增函数"
因为1 $ % !% $6 %2 ! %!.0"1$0%$!+0"
2
$ ! %
所以1$/%有唯一的零点/* % "0 "
0 2
则.$/%有两个零点!---------------------------5分
当2.0时"13$/%$6/+2!
由13$/%+0"得/+=3$%2%"由13$/%.0"得/.=3$%2%"
则1$/%在$%7"=3$%2%%上单调递减"在$=3$%2%"+7%上单调递增"
故1$/% $1$=3$%2%%$%2+2=3$%2%! -----------------8分
>*3
当%6.2.0时"1$/% $%2+2=3$%2%+0"所以1$/%没有零点"
>*3
则.$/%有唯一的零点+--------------------------!!分
当2$%6时"1$/% $%2+2=3$%2%$0"所以1$/%有唯一非零的零点"
>*3
则.$/%有两个零点+---------------------------!’分
当2.%6时"1$/% $%2+2=3$%2%.0"
>*3
因为1 $ % !% $6 %2 ! %!+0"1$0%$!+0"
2
所以1$/%有两个小于0的零点"则.$/%有三个零点!-------------!&分
综上"当%6.2-0时".$/%有唯一的零点+当2+0或2$%6时".$/%有两个零点+当2.
%6时".$/%有三个零点!-------------------------!"分
!)!$!%证明,取棱%*的中点:"连接+:"
易证四边形%,+:为平行四边形"则+:$%,$’槡’!-------------!分
因为*+$*:$’"所以*+’+*:’$+:’"所以*+3*:!-----------’分
因为四边形"#%*是矩形"所以"*3*%!------------------,分
因为"*"*+(平面"*+"且"*"*+$*"所以*%3平面"*+!-------&分
因为*%(平面"#%*"所以平面"*+3平面"#%*!-------------"分
$’%解,取棱"*的中点)"连接)+!
因为"+$*+$"*$’"所以)+3"*")+$槡,! --------------/分
因为平面"*+3平面"#%*"平面"*+"平面"#%*$"*"所以)+3平面"#%*!-
-----------------------------------)分
取棱"#的中点;"连接:,":;";,"
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!"#$"%&
{#{QQABSQ6s4giYgEbACY5KEQHUCUgQsICiJcoEBRCVqAwKAZFABKA=}#}! ! !0槡,
则< $< +< $ .’.槡,.’+ .’.’.槡,$ !-----8分
"#%*+, "*+=;:, ,=#%:; ’ , ,
%%$ %%$
$,%解,取棱#%的中点>"连接)>"易证)"")>")+两两垂直"以)为坐标原点")"")>"
%%$
)+的方向分别为/"?"$轴的正方向"建立如图所示的空间直角坐标系"
则#$!"&"0%"%$%!"&"0%",$0"’"槡,%"
%%$ %%$
则#%$$%’"0"0%"#,$$%!"%’"槡,%!--------!!分
设平面#%,的法向量为!$$/"?"$%"
%%$
!!&#%$%’/$0"
则 令?$槡,"得!$$0"槡,"’%!--
%%$
!&#,$%/%’?+槡,$$0"
-------------------------!’分
平面"*+的一个法向量为"$$0"!"0%!------------------!,分
设平面"*+与平面#%,所成的角为""
#!&"# 槡, 槡’!
则;<2"$#;<2.!""/#$ $ $ !--------------!"分
#!##"# 槡,+& )
!?’$’@/"
!5!解,$!%联立 整理得?’%’@?+’@$0!--------------!分
/%?+!$0"
因为’ 与A相切"所以$%’@%’%5@$0"解得@$’或@$0$舍去%"-------’分
!
故A的方程为?’$&/!--------------------------,分
$’%由$!%可知,$!"0%! --------------------------&分
因为’&’"所以’ 的方程为/%?%!$0!设>$/"?%"B$/"?%! ------"分
! ’ ’ ! ! ’ ’
!?’$&/"
联立 整理得?’%&?%&$0"------------------/分
/%?%!$0"
则?+?$&"??$%&"-------------------------)分
! ’ ! ’
#>B#$/+/+@$?+!+?+!+’$5!-----------------5分
! ’ ! ’
$,%设"$&2’"&2%"#$&9’"&9%"则直线’的方程为/$$2+9%?%&29"" -----8分
直线"-的方程为/$$2+!%?%&2"直线#-的方程为/$$9+!%?%&9!----!0分
#!+&2#
设动圆,的半径为&"&*$0"&%4$&""%!因为直线"-和圆,相切"所以 $&"
槡$2+!%’+!
------------------------------------!!分
整理得$!/%&’%2’+$5%’&’%2+!%’&’$0" ----------------!’分
同理可得$!/%&’%9’+$5%’&’%9+!%’&’$0"----------------!,分
所以2"9是一元二次方程$!/%&’%/’+$5%’&’%/+!%’&’$0的两个实数根"--!&分
’&’%5 !%’&’ $5+’?%&’%$5?+&%
则2+9$ "29$ "代入"式整理得/$ !----!"分
!/%&’ !/%&’ !/%&’
5?+& ,! ) $) ,!%
由 $!/"得?$% "此时/$ "故直线"#恒过定点 "% ! ----!)分
5+’? / , , /
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{#{QQABSQ6s4giYgEbACY5KEQHUCUgQsICiJcoEBRCVqAwKAZFABKA=}#}!8!解,$!%C $2+2+2$&+&’+&,$5&!------------------,分
+ ’ , &
$’%不妨设D.D.D!
! ’ ,
若D-!/"则C $2 +2 +2 -2 +2 +2 $&!,+&!&+&!"$’!.&!,.2 !--"分
, + D! D’ D, !& !" !/ !)
若D,!)"则C +2 ! --------------------------/分
, + !)
若D-!/"则集合+的组成有-,$"/0种情况"----------------)分
, !/
若D,!)"则集合+的组成有-,%-,$"50种情况!-------------5分
, ’0 !/
"50 ’8
故C +2 的概率为 $ !-----------------------8分
+ !) -, ")
’0
$,%设+中元素的最大值为D$D,,%!
, ,
当5$!或5$’时"C +,C 恒成立"C +,C 的概率为!! ---------!0分
+ , + ,
当5,,时"分析如下,
当D-5时",C ,,2 ,,2 +C !--------------------!!分
, , 5 D, +
当D+5"即D%!,5时"C +2 $& D,%! ,&5"
, , + D,
!%&5
,C -,. $&5%!"所以C +,C "
, !%& + ,
所以要使得C +,C "则需D+5!---------------------!&分
+ , ,
满足D-5的集合+有-, 个"则满足D+5的集合+有-,%-, 个"
, 5 , ’0 5
-, 5$5%!%$5%’%
所以C +,C 的概率为!% 5 $!% !
+ , -, /5&0
’0
综上"当5$!或’时"C +,C 的概率为!+
+ ,
5$5%!%$5%’%
当5,,时"C +,C 的概率为!% ! ------------!)分
+ , /5&0
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