辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测试题数学Word版含解析_2025年9月_250912辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测

2025-2026（上）期初质量监测 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A B. C. D. 【答案】D 【详解】∵ ， ， ∴ . 故选：D. 2. 已知二次函数 ．甲同学： 的解集为 或 ；乙同学： 的解 集为 或 ，丙同学：函数 图象的对称轴在 轴右侧．在这三个同学的论 述中，只有一个假命题，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】若 的解集为 或 ，则 解得 ；若 的解集为 或 ，则 解得 ； 若函数 图象的对称轴在 轴右侧，则对称轴 ，则 ，得 ． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上， ． 故选：C. 3. 如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形” 图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【详解】由图可知，“心形”图形关于 轴对称，则“心形”在 轴上方部分对应的函数为偶函数， 则函数 为奇函数，故B不正确； 函数 的定义域为 ，关于原点不对称，故D不正确； 的图象过点 ，且 时， ，当且仅当 时，等号成立， 即函数 的最大值为2，又“心形”在 轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确； 由 图的象过点 ， 且 时， ，当 时，等号成立， 即函数 的最大值为1，满足题意，故C正确． 故选：C. 4. 已知定义在 上的连续函数 ，满足 ，则方程 的解的个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 20 D. 21 【答案】D 【详解】解：因为， 由 ， 可得 ， 即有 ， 作出函数 的图象如图所示： 则 有7个根， 有10个根， 有4个根， 所以方程共有 个根.故选：D 5. 已知 是等比数列 的前n项和，若 ，则 （ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为 ，由题意可得 解得 则 故选：B. 6. 设数列 的前n项和为 ，若 为常数，则称数列 为吉祥数列.已知等差数列 的首项为 3，且公差不为0，若数列 为吉祥数列，则数列 的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】设等差数列 的公差 ，则 ，故 . 又因为数列 为吉祥数列，所以 为常数，不妨设 ， 则 ， 则 ，解得 ，所以 . 故选：D7. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由 求导得： ， 因 ，当且仅当 时，等号成立， 则 ，故函数 在 上为增函数， 又 ，即函数 为奇函数. 则由 可得 ，进而 ，解得 . 故选：B. 8. 设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】令 ，则 ， 当 时， ，所以 在 上是单调减函数； 当 时， ，所以在 上是单调增函数； 由 可得 ，由题意可知，存在唯一的整数 ，使得 ， 则函数 在直线 下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为 当 时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以 ，因为 ， 当直线 过点 时，则 ，解得 ； 又 ，直线 ，所以此时函数 与直线 相切于点 ， 当直线 过点 时，则 ，且 ， 结合图象可得 ， 所以 的取值范围是 ， 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知关于x的不等式 的解集为 ，则下列选项中正确的是（ ） A.B. 不等式 的解集是 C. D. 不等式 的解集为 【答案】BD 【详解】对于A，因为关于 的不等式 的解集为 ， 所以 和3是关于 的方程 的两根，且 ，故A错误； 对于B，由已知得 和3是关于 的方程 的两根， 由韦达定理得 ，解得 ， 对于不等式 ，即化为 ，解得 ，故B正确； 对于C，可得 ，故C错误； 对于D，对于不等式 ，可化为 ， 而 ，则化为 ，解得 ，故D正确． 故选：BD 10. 已知等比数列 的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若 ，存在实数 使得 对任意 恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD【详解】设等比数列的公比为 ，相邻三项为 ， 则 或 或 ， 故 或 或 ，故 或 ， 若 ，则 ， 当 为奇数时， ， 时 ，故 ， 当 为偶数时， ， 时 ，故 ，与题设矛盾； 所以 ，此时 ， 当 为奇数时 ，当 为偶数时 ，则 ， 所以 在 上单调递增，则 ， 由 恒成立，故 . 故选：BCD 11. （多选）已知函数 ， ，若存在直线 与曲线 和 均相切，则a的值可能为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC【详解】由题意得， ， ， 又直线 与曲线 和 均相切， 设直线 与曲线 的切点为 ，则切线的斜率为 ， 故切线方程为 ， 设直线 与曲线 的切点为 ， 则切线的斜率为 ，故切线方程为 ， 两条切线为同一条直线， ，由 ，可得 ， 代入 ，得 ， 即 ， 令 ，则问题转化为存在 使得 ，即求 的值域， ，令 ，解得 ， 故当 时， ；当 时， ， 在 单调递增；在 单调递减， ， 的值域为 ，即 . 故选：ABC． 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【详解】解法一 、令 ， ①当 时， 在 上单调递减，所以 ，此时满足条件． ②当 时， 的图象的对称轴方程为 ， 若 ，则 在 上单调递减，则只需满足 ，得 ； 若 ，则 ，且 时已满足条件． 综上，实数 的取值范围为 ． 解法二、 时， ，由 得 ， 则 在 上有解． 令 ，则当 时， ； 当 时， ， 又 在 单调递增，所以 ，即 ， 故实数 的取值范围为 ． 故答案为： .13. 已知正项数列 中， 且 ，其中 为数列 的前 项和，则数列 的通项公式为___________． 【答案】 【详解】在数列 中， ①，又 ②， ， 所以①除以②得 ． 又 ，所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列， 则 ，所以 ． 当 时， ，当 时， ，也满足上式， 所以数列 的通项公式为 ． 故答案为： ． 14. 已知函数 ，若 ，则 的单调递增区间为_______；若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【详解】当 时， ， 因为 的定义域为 ， ， 故函数 为偶函数，当 时， ，则 ，即函数 在 上单调递增， 故当 时，函数 的增区间为 ； 当 时， ，则 ， 由题意知，对任意的 ， ，则 ，可得 ， 此时 ； 当 时，由 可得 ，由 可得 ， 所以 ， 因为函数 在区间 上单调递增， 若 ，则 ， ， 此时函数 在区间 上不单调； 若 时，即当 时，则当 时， ， 则对任意的 ， ，则 ，可得 ， 此时 ； 若 时，即当 时，则当 时， ， 则对任意的 ， ，则 ，可得 ， 这与 矛盾，此时不成立.综上所述，实数 的取值范围是 . 故答案为： ， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤） 15. 定义关于 的新运算： ，其中 ， 为非零常数. （1）当 ， 时，求 的值； （2）当 时，求不等式组 的解集. 【答案】（1） ； （2） 或 . 【小问1详解】 由题可知 ， ， 解得 . 【小问2详解】 由题可知 ，即 . 又 ， 即 ，解得 ； ， 整理得 ， 解得 或 ，所以解集为 或 .16. 设 是定义域为 的函数，如果对任意 ， 均成 立，则称 是平缓函数． （1）若 ，试判断 是否为平缓函数？并说明理由； （2）若函数 是平缓函数，且 是以1为周期 周的期函数，证明：对任意的 ， 均有 ． 【答案】（1）是平缓函数，理由见解析； （2）证明见解析． 【小问1详解】 任取 ， ， 只需证 ， 当 有一个为0时，不妨设 ，则 ； 当 都不为0时，分母利用不等式 ， 得 ，结合 可得当且仅当 时取等号成立，但此时 ，故严格不等式成立， 因此函数 是 上的平缓函数． 【小问2详解】 由已知可得 ，由于函数 是周期函数，故不妨设 ， 当 时，由 为 上的平缓函数得 。 当 时，不妨设 ， 此时由 为 上的平缓函数得 . 综上所述，命题得证. 17. 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）求证： ． 【答案】（1） （2）证明见解析 【小问1详解】因为 为正项数列， ①， 当 时，得 ； 当 时， ②， ①－②得， ，得 ． 所以 是首项为2，公差为2的等差数列，所以 ． 【小问2详解】 解法1：因为 ， 所以当 时， ， 当 时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为 ，所以 ， 所以 ， 所以当 时， ， 当 时，不等式的左边 也符合，所以原不等式成立． 18. 已知数列 是公差大于 的等差数列， ， ，若数列 前 项和为 ，并满足， . （1）求数列 ， 的通项公式. （2）若 ，求数列 前 项的和 . 【答案】（1） ， （2） 【小问1详解】 设等差数列公差为 ， ， 整理可得 ，解得 （负值舍去）， 则 ； 时， ，解得 ， 当 ， ， 整理可得 ，则 ， 又 ，则 是首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ， 于是 . 【小问2详解】 由（1）得， ， 则 ， ，， 即 19. 定义双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 . （1）证明： ； （2）证明：当 时， ； （3）证明： ． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【小问1详解】 证明： . 【小问2详解】 证明：注意到 ，且 ． 设 ，则 ． 因为 是增函数，所以当 时， ． 从而当 时， ，即 在 上单调递增， 所以 ，则 ，当且仅当 时等号成立． 【小问3详解】 证明： ，， ， ， ， ， 令 ，则 且 ， 即证 ， 令 ， 因为 ， 令 ， 则 ， 所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增，则 ， 即 在 单调递增，且 ，所以 时， ， 时， ， 即 在 且 时恒成立， 故 ．