文档内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分
150分。
试卷总评：总体来说2012湖南理科数学试题相对于2010，2011年有着很大的变化：
试题难度变大，体现于解答题的难度相对于前两年有显著提高。着重体现在19题的内容更
换为数列的充分必要性的证明，考数列解答题可能很多人都有预测到，但是靠充分必要性
的证明可能预测到的少，另外函数应用问题较去年也有提高，着重了函数、不等式应用思想
的考查应用。而相对而言今年的选择题、填空题的布局与前两年吻合，注重对考生基础知识，
基本技能的考查。内容变换，将原有的三角解答题去掉，对立体集合问题不直接考查角度的
计算，而考查几何体体积的计算。突出了重点内容的考查，如函数与导数，圆锥曲线等。
[来科
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
网]
一项符合题目要求的。
1. 设集合M ={-1,0,1}，N ={x|x2 £ x},则M
I
N =（ ）
A．{0} B. {0,1} C. {-1,1} D. {-1,0,1}
p
2. 命题“若a= ，则tana=1”的逆否命题是（ ）
4
p p
A．若a¹ ，则tana¹1 B. 若a= ，则tana¹1
4 4
p p
C. 若tana¹1，则a¹ D. 若tana¹1，则a=
4 4
3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
4. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据
第1页 | 共15页一组样本数据(x,y ) (i =1,2, ,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，
i i L
则下列结论不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(x,y)
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
x2 y2
5. 已知双曲线C: - =1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为
a2 b2
（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A． - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
20 5 5 20 80 20 20 80
[来
p
6. 函数 f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为（ ）
源:Zxxk.Com] 6
3 3
A．[-2,2] B. [- 3, 3] C. [-1,1] D.[- , ]
2 2
uuur uuur
7. 在DABC中，AB=2,AC =3,AB×BC =1,则BC =（ ）
第2页 | 共15页A． 3 B. 7 C. 2 2 D. 23
8
8. 已知两条直线l : y =m和l : y = (m>0)，l 与函数y =|log x|的图象从左至右
1 2 2m+1 1 2
相交于点A,B，l 与函数y =|log x|的图象从左至右相交于点C,D，记线段AC和BD在
2 2
b
x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时， 的最小值为（ ）
a
A．16 2 B. 8 2 C. 83 4 D.43 4
第3页 | 共15页7 b
22 = 27 =8 2 。综上可知 的最小值为8 2。
a
【考点定位】函数图像与性质，基本不等式。
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题
卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
ìx=t+1 ìx=asinq
9. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C :í （t为参数）与曲线C :í
1 îy =1-2t 2 îy =3cosq
（q为参数，a>0）有一个公共点在x轴上，则a= 。
第4页 | 共15页11. 如图2，过点P的直线与
e
O相交于A，B两点.若PA=1,AB=2,PO=3，则
e
O的
半径等于 。
二、必做题（12~16题）
12．已知复数z =(3+i)2（i为虚数单位），则|z|= 。
[来源:Z|xx|k.Com]
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入x=-1,n=3，则输出的数S = 。
第5页 | 共15页15．函数 f x=sinwx+j的导函数y = f 'x的部分图象如图4所示，其中，P为图
象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点。
p æ 3 3ö
（1）若j= ，点P的坐标为ç0, ÷，则w= ；
ç ÷
6 2
è ø
（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在DABC内的概率
为 。
p
【答案】（1）3，（2）
4
p
【解析】（1）因 f x=sinwx+j，所以 f 'x=wcoswx+j，由j= 时点P的
6
第6页 | 共15页16．设N =2n nÎN*,n³2 ，将N 个数x
1
,x
2
,
L
,x
N
依次放入编号为1,2,
L
,N
的N 个位置，得到排列P = x x x 。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并
0 1 2L N
N N
按原顺序依次放入对应的前
2
和后
2
个位置，得到排列P
1
= x
1
x
3L
x
N-1
x
2
x
4L
x
N
, 将此
N
操作称为C变换。将P分成两段，每段 个数，并对每段作C变换，得到P ；当
1 2 2
N
2£i£n-2 时，将P分成2i段，每段 个数，并对每段作C变换，得到P ，例
i 2i i+1
如，当N =8时，P = x x x x x x x x ，此时x 位于P 中的第4个位置。
2 1 5 3 7 2 6 4 8 7 2
（1）当N =16 时，x 位于P 中的第 个位置；
7 2
（2）当N =2nn³8时，x 位于P 中的第 个位置。
173 4
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第7页 | 共15页17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随
机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 Y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；
（2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾
客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。
（注：将频率视为概率）
[来源:Zxxk.Com]
18. （本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=3,BC =4,AD=5,
第8页 | 共15页∠DAB=∠ABC =90o,E 是CD的中点。
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥
P-ABCD的体积。
第9页 | 共15页19. （本小题满分12分）
已知数列{a
n
}的各项均为正数，记A(n) = a
1
+a
2
+
L
+a
n
，
B(n)=a +a + +a
2 3 L n+1[来源:学。科。网]
C(n) = a +a + +a ，n =1,2, .
3 4 L n+2 L
（Ⅰ）若a =1,a =5,且对任意nÎN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，
1 2
求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）证明：数列{a }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nÎN*，三个数
n
A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列.
第10页 | 共15页20. （本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量
分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C
部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与
第11页 | 共15页生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间；
（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，
并给出时间最短时具体的人数分组方案。
第12页 | 共15页21. (本小题满分13分)
在直角坐标系xoy中，曲线C 上的点均在圆C :(x-5)2 + y2 =9外，且对C 上任意一点
1 2 1
M ,M 到直线x = -2的距离等于该点与C 上点的距离的最小值。
2
（I）求曲线C 的方程；
1
（Ⅱ）设P(x ,y )（y ¹ 3）为C 外一点，过P作圆C 的两条切线，分别与曲线C 相
0 0 0 2 2 1
交于点A,B和C,D,证明：当P在直线x = -4上运动时，四点A,B，C,D的纵坐标之积
为定值。
第13页 | 共15页22. （本小题满分13分）
已知函数 f(x)=eax -x，其中a¹0.
（I）若对一切xÎR， f(x)³1恒成立，求a的取值集合；
（Ⅱ）在函数 f(x)的图象上取定两点A(x , f(x )),B(x , f(x ))(x < x )，记直线AB的斜
1 1 2 2 1 2
率为k.问：是否存在x Î(x ,x ),使 f '(x )>k成立？若存在，求x 的取值范围；若不存
0 1 2 0 0
在，请说明理由.
【解析】（I）若a<0，则对一切x>0， f(x)=eax -x<1这与题设矛盾.又a¹0，故
1 1
a>0.而 f '(x)=aeax -1，令 f '(x)=0得x= ln ，
a a
第14页 | 共15页1 1 1 1
当x< ln 时， f '(x)<0， f(x)单调递减；当x> ln 时， f '(x)>0， f(x)单调
a a a a
第15页 | 共15页
