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24 届高三文科数学上期 10 月阶段性考试试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.
第 I 卷
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. “
1
x 1 ”是“ x 2 ”的( )
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 已知复数z满足：
zi1i
（i为虚数单位），则|z|( )
A.
2
2
B. 1 C.
2
D. 2
3. 已知集合 A { x | 2 x 0 } ， B { x | x 2 1 } ，则 A B ( )
A. [ 2 , 1 ) B. [ 2 , 0 ] (1 , ) C. ( , 0 ] (1 , ) D.[2,1)
4. 已知 a (1 , 1 ) ， b (1 , 2 ) 则 b 在 a 上投影为( )
2
A. B.
2
2
2
C. 1 D. 1
5. 抛物线 C : y 2 m x 过点 ( 2 , 3 ) ，则抛物线C的准线方程为( )
A. x
3
8
B. x
3
8
C. y
3
8
D. y
3
8
6. 为了得到函数 y c o s ( 2 x
6
)
的图象，只要把函数 y c o s ( 2 x
6
)
的图象上所有点( )
A.向左平行移动
6
个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度
6
C.向左平行移动
3
个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度
3
7. 已知 F
1
x2 y2
，F 为双曲线C: 1(a0,b0)的左、右焦点，以线段FF 为直径的圆与
2 a2 b2 1 2
双曲线C的右支交于P、Q两点，若 | P F
1
| 3 | P F
2
| ，其中O为坐标原点，则C的离心
率为( )
31 3
A. B. 3 C. 1 D. 31
2 2
8. 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系，通常以幂函数形
式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足 y k x ，其中 k 和为正常数，
该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率
仅提高到初始状态的8倍，则为( )
{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（12分）由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911．7公
斤．在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619．06公斤．这意味着双季亩产达到
1530．76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标．在水稻育种中，水稻的不同性
状对水稻的产量有不同的影响．某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，
如下表(单位：株)：
长穗 短穗 总计
高杆 34 16 50
低杆 10 40 50
总计 44 56 100
（1）试判断能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(参考公式：
3
K 2
( a b ) (
n
c
( a
d
d
) (
b
a
c
2 )
c ) ( b d )
，其中 n a b c d )
P K 2 k 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
（2）在50株低杆样本中，采用长穗株与短穗株分层抽样的方式获得5株进一步研究，从
这5株中抽取3株测量每穗总粒数，求恰有一株长穗的概率．
18.（12分）如图，已知等腰直角三角形 R B C ，其中
RBC90， R B B C 2 .点 A ､ D 分别是 R B ､RC的
中点，现将 R A D 沿着边 A D 折起到 P A D 位置，使
PAAB，连接 P B ､ P C .
（1）求证： B C P B ；
（2）求四棱锥PABCD的表面积.
19.（12分）已知等差数列a 的前n项和为
n
S
n
，且满足 a
1
a
3
a
5
1 5 ，S 49.
7
（1）求a 的通项公式；
n
（2）若数列 b
n
满足b a 3n，求
n n
b
n
的前n项和 T
n
.
{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}20.（12分）设函数
4
f ( x ) e x ln x .
（1）求曲线 y f ( x ) 在 x 1 处的切线方程yg(x)；
（2）讨论函数 y f ( x ) g ( x ) 极值点个数.
21．（12分）已知椭圆 E :
x
a
2
2
y
b
2
2
1 ( a b 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 ,1 ) ，焦距为 2 3 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点 P ( 2 ,1 ) 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与
x 轴交于点M，N．证明： M N 2 | k | 为定值，并求出该值．
22.（10分）在直角坐标系xoy中，曲线 C
1
的参数方程为
x
y
3
3
c
s
o s
in 3
（为参数），以坐
标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2
s in
3
2
．
(1)写出 C
1
的极坐标方程和 C
2
的普通方程；
(2)设曲线 C
3
:
5
(0)与
6
C
1
， C
2
的交点分别为M，N，求 MN 的值．
{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}24届高三文科数学上期10月阶段性考试试卷答案
一、单选题：共 12 道小题，每题 5 分,共 60 分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C B A B D D C A D D
二、填空题：共4道小题，每题5分,共20分.
1
13. 2 14. 68 15. 16. 1
1+x
三、解答题：共5道大题，共70分.
100(3440−1610)2
17．（12 分）解：(1)根据 2×2 列联表中的数据，可得 K2 =
50504456
23.3776.635，故能在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为株高和穗长之间有关系．
6 3
(2)记“恰有一株长穗样本”为事件A，枚举略，则P(A)= = ，
10 5
1
18. （12分）解：（1）∵点A､D D分别是RB､RC的中点，∴AD//BC，AD= BC.
2
又∵RBC =90， RAD沿着边AD折起到 PAD位置，∴
PAD=RAD=RBC =90.∴PA⊥ AD.∴PA⊥ BC，
∵BC⊥ AB，PA AB = A，∴BC⊥平面PAB.
∵PB平面PAB，∴BC ⊥ PB.
（2）由（1）可知 PAD， PAB， PBC为直角三角形， PDC为等腰三角形，底面
1 3 3
为直角梯形，S =S = ，S = 2 ，S = ，S = ，故四棱锥
PAD PAB 2 PBC 梯形ABCD 2 PDC 2
3
P−ABCD的表面积为2+ 2+ .
2
19. （12分）解：（1）因为a +a +a =15，S = 49，所以
1 3 5 7
1
3
7
a
a
1
1
+
+
6
2
d
1 d
= 1
=
5
4
,
9 ,
所以
a =1，d = 2，所以a =1+(n−1)2= 2n−1.
n
（2）由题可知b =(2n−1)3n，所以T =13+332 +533 + +(2n−1)3n①，
n n
3T =132 +333 +534 + +(2n−1)3n+1②，
n
①-②得，−2T =13+232 +233 +234 + +23n −(2n−1)3n+1
n
232 −23n+1
=3+ −(2n−1)3n+1 =(−2n+2)3n+1 −6，
1−3
故T =(n−1)3n+1 +3.
n
1
20. （12分）解：（1）f(x)=ex(lnx+ )，f(1)=e，f(1)=0，切线方程为y− f(1)= f(1)(x−1)，
x
即g(x)=e(x−1)；
1 2 1
（2）令F(x)= f(x)−g(x)，F(x)=ex(lnx+ )−e，F(x)=ex(lnx+ − )，
x x x2
2 1 x2 −2x+2
令 h(x)=lnx+ − ，而 h(x)= 0 ， h(x) ，且 h(1)=10 ，
x x2 x3
1 1
h( )=−ln20，由零点存在定理可知，存在唯一t( ,1)，h(t)=0.
2 2
{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}{#{QQABaQaAggCIAAAAAQgCUwEQCAMQkAECAKoGxAAIIAAAQANABAA=}#}
