文档内容
2024 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题
命题：安庆市高考命题研究课题组
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项符合题目要求．
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， 是z的共轭复数，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．设F是椭圆 的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则 的周长的
最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据
按 ， ， ， ， ， 进行分组，整理得到频率分布直方图如图
所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（ ）
A．80 B．78 C．76 D．74
5．设 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“ 为递减数列”是“存在正整数 ，对任意的正整数， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知点 ， ，O是坐标原点，点B满足 ，则 与 夹角最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象关于点 对称，且 在 上没有最
小值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体 中， ，点E是棱 上任意一点（端点除外），则
（ ）
A．不存在点E，使得
B．空间中与三条直线 ， ， 都相交的直线有且只有1条
C．过点E与平面 和平面 所成角都等于 的直线有且只有1条
D．过点E与三条棱 ， ， 所成的角都相等的直线有且只有4条
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义在R上的函数 ，满足对任意的实数x，y，均有 ，且当 时，
，则（ ）A． B．
C．函数 为减函数 D．函数 的图象关于点 对称
10．抛物线 的焦点为 ，经过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线C交于A，B两
点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A．当 时，
B． 面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
D．设直线 倾斜角为 ， 为定值
11．满足 ， ， 的数列 称为卢卡斯数列，则（ ）
A．存在非零实数t，使得 为等差数列
B．存在非零实数t，使得 为等比数列
C．
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式 的展开式中，常数项为__________．
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径 ．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，
则该圆锥的全面积为__________．
14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承
赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经
验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸
图案，其花纹中就隐含方程为 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为
__________；以曲线C上点 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在平面凸四边形 中， ．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 ．
16．（15分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围．
17．（15分）如图，将边长为2的菱形 沿其对角线 对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边
所在平面的两侧，且 ， ．设E是 的中点．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值．
18．（17分）树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指
标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环
节均测试合格可以参加体验活动．
第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值 时体能指标合格；
第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，
均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若
第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则
该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．
经过统计，该校学生身体体能指标 服从正态分布 ．
参考数值： ， ，
．
（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；
（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为 ，
作答B类试题，每次测试合格的概率为 ，且每次测试相互独立．
①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．
②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（17分）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：
设 ，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 ，函数 称为取整函数．另外也称 是x的整数部分，称 为x的小数部分．
（1）直接写出 和 的值；
（2）设a， ，证明： ，且 ，并求在b的倍数中不大于a的正整数
的个数；
（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为 ，其中 为质数， 为整数，且对
任意的 ， ，i， ，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为
．证明：在 的标准分解式中，质因数 （ ， ， ）的指数
．
2024 年安庆二模数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B C A B D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ACD CD BCD
三、填空题
12．210 13． 14． ，a
四、解答题
15．【解析】（1）由已知得： ，
故 ，所以 ．
因为 ，故 ，所以 ．
（2）由已知， 为边长为4的等边三角形，
在 中， ，由正弦定理得 ，
故 ．
由于 ，所以 ，故 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 ．
16．【解析】（1）当 时， ，其定义域为 ，
求导，得 ．
令 ，得 （ 舍去），
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）方法1：由条件可知 ，于是 ，解得 ．
当 时， ，构造函数 ， ，
对其求导，得 ，所以函数 在 上单调递减，于是 ，
因此实数m的取值范围是 ．
方法2：由条件可知 对任意的 恒成立，
令 ， ，只需 即可．
对函数 求导，得 ， ，
所以函数 在 上单调递增，
于是 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，于是 ，因此实数m的取值范围是 ．
17．【解析】（1）证明：取 的中点O，连接 、 ，如图所示．
因为四边形 是边长为2的菱形， 是边长为2的等边三角形，
所以 也是边长为2的等边三角形．
在等边 中，O是 的中点，故 ；且 ，
又 ，故 ；又 ，故 平面 ；
又 平面 ，故平面 平面 ．
（2）由（1）知， ， ．
又O是等边 的 边中点，故 ．所以，以 为原点，分别以 、 、 所在直线为x、y、z轴，建立如图示空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，故 ．
因为 是边长为2的等边三角形，故 ，所以 ，且 ，
又 ， ，故 平面 ，则D在平面 内．故求得 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，显然可令 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，即 ．所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．
18．【解析】（1） ．所以符合该项指标的学生人数为： 人．
（2）①记 表示解答A类试题第一次测试合格，
， 分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，
则 ， ．
②设X的取值为0，1，2，
， ，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望 ．
19．【解析】（1）1，0.25；
（2）证明：因为 ，等式两边同时乘b，得 ．
因为a，b都为整数，所以 也为整数，
又 ，所以 ．所以 ，得证．
假设b， ，…， 都小于等于a，因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为 ．
（3） ，将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．
对于质因数 ，利用（2）中结论， 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，
将这些数都提取 出来，此时p的倍数中还有可以提取出 的数，
注意到 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，将这些数提取 出来；
同理， 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，
依此这样进行下去，则质因数 的指数 ，得证．
