文档内容
2023 学年第一学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
命题：春晖中学 舟山中学 审核：丽水中学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 两点，与抛物线的准线相交于
点 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）
A．124 B．246 C．114 D．108
7．已知函数 的图象如图所示， 是直线 与曲线 的两个交点，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四面体 中， ，直线 与 所成的角为 ，且二面角
为锐二面角．当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．
9．下列命题成立的是（ ）
A．已知 ，若 ，则
B．若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关
系数 为
C．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78
D．对分类变量 与 的独立性检验的统计量 来说， 值越小，判断“ 与 有关系”的把握性越大
10．已知正方体 的棱长为2，点 为平面 内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 在棱 上运动，则 的最小值为B．若点 是棱 的中点，则平面 截正方体所得截面的周长为
C．若点 满足 ，则动点 的轨迹是一条直线
D．若点 在直线 上运动，则 到棱 的最小距离为
11．设定义在 R 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若 ，
，且 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于 对称
C． 的周期为4 D．
12．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ，则下列叙述中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，且 ，则
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知函数 ，则 的解集为__________．
14．若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为__________．
15．已知 是椭圆 的左焦点，过 作直线 交椭圆于 两点，则 的最小值
为__________．
16．已知不等式 对 恒成立，则当 取最大值时， __________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知 ．（1）求 的单调递增区间；
（2）在 中，角 所对的边为 ．若 ，求 的取值范围．
18．（本题满分12分）
已 知 四 棱 锥 中 ， 四 边 形 为 等 腰 梯 形 ， ，
为等边三角形．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）是否存在一点 ，满足 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分12分）
设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 的项和 ．
20．（本小题满分12分）
某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺
（Dopamine）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺
（Dopamine）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是
，定义运动后多巴胺含量超过 称明显有效运动，否则是不明显有效运动．
树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占 ，男生中明显有效运动的人数占 ．
男
女生 合计
生
明显有效运动
不明显有效运
动
合计
（1）根据所给的数据完成上表，并依据 的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说
明理由．
（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有
可能是多少？
附： ，其中 ．
参考数据：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（本小题满分12分）
已知双曲线 的左、右顶点分别为 为双曲线上异于 、 的任意一点，
直线 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设不同于顶点的两点 在双曲线 的右支上，直线 在 轴上的截距之比为 ．试问
直线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数 有两个极值点 ．其中 为自然对数的底数．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
2023 学年第一学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D A C D B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 ABC BCD AC BD
三、填空题：本大题共 4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横
线上．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）化简得
令 ，得到
所以 的增区间为
（2）由 ，得 ，由于 ，所以 得到
由于
18 ． 解 ： （ 1 ） 等 腰 梯 形 中 ， ， 得 到 ， ． 由
，得到 ，且 ，
因此 平面 ，
又因为 平面 ，故平面 平面（2）方法一：由（1）知 面 ，得到面 面 ．
作 于 点，有 面 ． 即为直线 与面 所成角
在直角三角形 中，由 和 ，得到
由 得 ，又 ，所以存在 ．
方法二：以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
其中
得到 ，设平面 的法向量为
由 ，得 ，不妨设 ，则取
又
则 ， （舍去）或 所以，19．解：（1）由 ，得 ，两式相减得 ．
令 数列 成等比数列，
（2）由于
①，
则 ②，
①-②得：
20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为 ，
女生中明显有效运动的人数占 ，男生中明显有效运动的人数占 ，得到下面的列联表：
男
女生 合计
生
明显有效运动 10 30 40
不明显有效运
10 10 20
动
合计 20 40 60
给定假设 ：明显有效运动与性别没有关系．
由于 ，
则根据小概率值 的 独立性检验，有充分的证据推断假设 不成立，因此认为明显有效运动与
性别存在差异．（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为 ，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为
，
设11人不明显有效运动的人数为 ，则
所以
假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是 ，
则
得 所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．
21．解：（1）设 ，则 ，又 ，
，
又焦点到其一条渐近线 的距离为 ，解得： ．
所以双曲线 的方程：
（2）设直线 的方程为 ．
由 得
，直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，直线，则直线 在 轴上的截距为 ，
由题得： ，又 ，所以 ．
所以 ，则 ，
，
，化简得： 或 ．
若 ，直线 过顶点，舍去． ．
则直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
22．解：（1）由于 ，
由题知 有两个不同实数根，即 有两个不同实数根．
令 ，则 ，解得 ，故 在 上单调递增，在
上单调递减，且 ，故 的图象如图所示，
当 时， 有两个零点 且 ．则 或 ，故 在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 的极大值点为 ，极小值点为
．
故 有两个极值点时，实数 的取值范围为 ．
（2）由于
若设 ，则上式即为
由（1）可得 ，两式相除得 ，即 ，
由 得
所以 ，令 ，
则 在 恒成立，由于 ，
令 ， 则 ，
，显然 在 递增，
又有 ，所以存在 使得 ，且易得 在 递
减， 递增，又有 ，所以存在 使得 ，且易得
在 递减， 递增，又 ，则 时， 时，
，所以易得 在 上递减，在 上递增，则 ，所以的取值范围为 ．
