2024届新高考新试卷结构第19题新定义--导数压轴题分类汇编（解析版）(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024新高考新试卷结构19题新定义 导数压轴题分类汇编 【精选例题】 1 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲 余弦函数chx 1  ex+e-x = 的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①sin2x+cos2x=1，②和角公 2 式：cosx+y  sinx =cosxcosy-sinxsiny，③导数：  =cosx, cosx    定义双曲正弦函数shx =-sinx,  ex-e-x = ． 2 (1)直接写出shx  ，chx  具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)； (2)若当x>0时，shx  >ax恒成立，求实数a的取值范围； (3)求fx  =chx  -cosx-x2的最小值． 【答案】(1)答案见解析；(2)-∞,1  ；(3)0 【详解】(1)平方关系：ch2 x  -sh2 x  =1；和角公式：chx+y  =chx  chy  +shx  shy  ；导数： sh(x)=ch(x)  ．  ch(x)=sh(x) 理由如下：平方关系，ch2 x  -sh2 x  ex+e-x = 2  2 ex-e-x - 2  2 e2x+e-2x+2 e2x+e-2x-2 = - =1； 4 4 chx+y  ex+y+e-x-y = ，和角公式：chx 2  chy  +shx  shy  ex+e-x ey+e-y ex-e-x ey-e-y = ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y ex+y-ex-y-e-x+y+e-x-y ex+y+e-x-y = + = ，故chx+y 4 4 2  =chx  chy  + shx  shy  ； 导数：sh x  ex--e-x =  ex+e-x = =chx，ch x 2 2  ex-e-x = =shx； 2 (2)构造函数Fx  =shx  -ax，x∈0,+∞  ，由(1)可知F x  =chx  -a，i．当a≤1时，由ch(x)= ex+e-x ≥ ex⋅e-x=1≥a可知，故F(x)≥0，故F(x)单调递增，此时F(x)≥F(0)=0，故对任意x>0， 2 sh(x)>ax恒成立，满足题意； ii．当a>1时，令Gx  =F x  ，x∈0,+∞  ，则G x  =shx  ≥0，可知Gx  单调递增，由G(0)=1- 1 a<0与G(ln2a)= >0可知，存在唯一x (0,ln2a)，使得G(x )=0，故当x∈(0,x )时，F(x)=G(x) 4a 0 0 0 -1，都有kx-fx  +m≤0； (3)已知对任意x 0 >-1，f x 0  ,fx 0  -x 0 f x 0    都是fx  的“正向数组”，求a的取值范围． 【答案】(1)0,0  不是fx  的“正向数组”；(2)证明见解析；(3)a的取值范围是-∞,1  . 【详解】(1)若a=-2，fx  =x-2  lnx+1  ，对k,m  =0,0  ，即 kx 1 -fx 1   +m  kx 2 -fx 2   +m  = fx 1  ⋅fx 2  ，而当x 1 ∈0,2  ，x 2 ∈2,+∞  时， fx 1  =x 1 -2  lnx 1 +1  <0，fx 2  =x 2 -2  lnx 2 +1  >0，即fx 1  ⋅fx 2  <0，不满足题意. 所以0,0  不是fx  的“正向数组”. (2)反证法:假设存在x 0 >-1,使得kx-fx  +m>0,∵k,m  为fx  的“正向数组”，∴对任意x>-1, 0 都有 kx 0 -fx 0   +m  ⋅ kx 0 -fx 0   +m  ≥0.∴对任意x>-1,kx-fx  +m≥0恒成立.令Fx  = x+a  lnx+1  -kx-m，则Fx  ≤0在-1,+∞  上恒成立，F x  =lnx+1  x+a + -k= x+1 lnx+1  a-1 + +1-k x+1  ，设Gx  =F x  =lnx+1  a-1 + +1-k x+1  ， G x  1 a-1 = - x+1 x+1  x+2-a = 2 x+1  ，则当a>1时，G x 2  在-1,a-2  上为负，在a-2,+∞  上为 正， 所以Gx  =F x  在-1,a-2  上单调递减，在a-2,+∞  上单调递增；若F a-2  <0，当x→-1，F x  →+∞，当x→+∞，F x  →+∞，即存在F x 1  =F x 2  =0，使F x  在-1,x 1  上为正，在x 1 ,x 2  上 为负，在x 2 ,+∞  上为正，所以Fx  在-1,x 1  上单调递增，在x 1 ,x 2  上单调递减，在x 2 ,+∞  上单调递 增，又当x→-1，Fx  →-∞，当x→+∞，Fx  →+∞，则Fx  的值域为R；若F a-2  ≥0，F x  ≥F a-2  ≥0，Fx  在-1,+∞  上单调递增，又当x→-1，Fx  →-∞，当x→+∞，Fx  →+∞，则Fx  的 值域为R. 当a≤1时，G x  x+2-a = x+1  ≥0，Gx 2  =F x  在-1,+∞  上单调递增，又当x→-1，F x  →-∞，当x→+∞，F x  →+∞， 必存在F x 1  =0，使F x  在-1,x 1  上为负，在x 1 ,+∞  上为正，所以Fx  在-1,x 1  上单调递减，在 x 1 ,+∞  上单调递增，又当x→-1，Fx  →+∞，当x→+∞，Fx  →+∞，则Fx  的值域为 Fx 1   ,+∞  . 由值域可看出，与Fx  ≤0在-1,+∞  上恒成立矛盾. 对任意x>-1，都有kx-fx  +m≤0. (3)∵ f x 0  ,fx 0  -x 0 f x 0    都是fx  的“正向数组”， 对任意x 1 ，x 2 ∈-1,+∞  ，都有 f x 0  x 1 -fx 1  +fx 0  -x 0 f x 0    f x 0  x 2 -fx 2  +fx 0  -x 0 f x 0    ≥0，则f x 0  x-fx  +fx 0  -x 0 f x 0  ≥0恒成立或f x 0  x-fx  +fx 0  -x 0 f x 0  ≤0恒成立， 即fx  -f x 0  x≤fx 0  -f x 0  x 0 恒成立或fx  -f x 0  x≥fx 0  -f x 0  x 0 恒成立，设gx  =fx  -f x 0  x=x+a  lnx+1  -f x 0  x，则fx 0  -f x 0  x 0 =gx 0  ，即gx 0  是gx  的最大值或最小值. g x  =f x  -f x 0  =lnx+1  x+a + x+1 -f x 0  =lnx+1  a-1 + x+1 + 1-f x 0    ，且g x 0  =f x 0  -f x 0  =0. 当a>1时，由(2)可得，gx  =x+a  lnx+1  -f x 0  x=Fx  +m的值域为R，无最大值 或最小值；当a≤1时，g x  =lnx+1  a-1 + x+1 + 1-f x 0    在-1,+∞  上单调递增，又g x 0  =f x 0  -f x 0  =0，则g x  在-1,x 0  上为负，在x 0 ,+∞  上为正，所以gx  =fx  -f x 0  x在-1,x 0  上 单调递减，在x 0 ,+∞  上单调递增，则gx 0  是gx  的最小值，满足gx  =fx  -f x 0  x≥fx 0  -f x 0  x ， 0 此时对任意x 1 ，x 2 ∈-1,+∞  ，都有f x 0 3  x 1 -fx 1  +fx 0  -x 0 f x 0    f x 0  x 2 -fx 2  +fx 0  -x 0 f x 0    ≥0. ∴a的取值范围是-∞,1  . 3 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函 a +ax+⋯+a xm 数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)= 1+bx+⋯+b xn 1 n R(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为R ax (x)= ．注：f(x)=f(x) 1+bx  ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=f(x)  ,f(5)(x)=f(4)(x)  ,⋯ (1)求实数a，b的值； 1 (2)求证：(x+b)f x  >1； 1 (3)求不等式1+ x  x 1 1，令t=1+ ，则t>0且t≠1，即证t∈0,1 x  ∪1,+∞  时 t+1 2t-1  ⋅lnt>1， 记φt  2t-1 =lnt-  ，t∈0,1 t+1  ∪1,+∞  ，则φ t  1 4 = - t t+1  t-1 = 2  2 tt+1  >0，所以φt 2  在0,1  上单调递增，在1,+∞  上单调递增，当t∈0,1  时φt  <φ1  2t-1 =0，即lnt<  t+1 ，即 t+1 2t-1  ⋅lnt >1成立，当t∈1,+∞  时φt  >φ1  2t-1 =0，即lnt>  t+1 ，即 t+1 2t-1  ⋅lnt>1成立，综上可得t∈ 0,1  ∪1,+∞  t+1 时 2t-1  ⋅lnt>1， 1 所以x+ 2  1 ln1+ x  1 >1成立，即(x+b)f x  >1成立. 1 (3)由题意知，欲使得不等式1+ x  x 1 0，即x>0或x<-1，首 x 1 先考虑e<1+ x  x+1 1 2，该不等式等价于ln1+ x  x+1 1 2>1，即x+ 2  1 ln1+ x  >1，又由(2)知 1 x+ 2  1 ln1+ x  >1成立， 1 所以使得e<1+ x  x+1 2成立的x的取值范围是-∞,-1  ∪0,+∞  1 ，再考虑1+ x  x 0，x>1时h x  <0，所以hx  在0,1  上单调递增，在1,+∞  上单调递减，所以hx  1(不妨t 2 >t 1 )，令px 1  =xlnx，p x  =1+lnx⇒ px  1 在0, e  1 递减，在 ,+∞ e  1 递增，故1>t 2 > e >t 1 >0；令ht  =lnt 1 +t 2  =lnt+1  tlnt - ， t-1 h't  1 = t-1  2t-1 lnt- 2     t+1  2t-1 ，令m(t)=lnt-  t-1 (t>1)，则m(t)= t+1  2 ，当t>1时，m(t) t(t+1) >0恒成立，故m(t)在(1,+∞)上单调递增，2t-1 可得m(t)>m(1)=0，即lnt- 5  >0，故有h t t+1  1 = t-1  2t-1 lnt- 2     t+1  >0，则ht  在 1,+∞  递增， 又limht t→1  =ln2-1，limht t→+∞  =0，故lnt 1 +t 2  ∈ln2-1,0  2 ，故 3x + 3x =t+t ∈ ,1 1 2 1 2 e  ． 5“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式(Bernoulli'sInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不 等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 x∈-1,+∞  ，在 n∈1,+∞  时，有不等式 1+x  n ≥1+nx成立；在 n∈0,1  时，有不等式 1+x  n≤1+nx成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当 n≥1时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知 a,a ,⋯,a n∈N* 1 2 n  是大于-1的实数(全部同号)，证明 1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  ≥1+a+a +⋯+a 1 2 n 【答案】(1) n = 0,1，或 x = 0；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】(1)猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是 n = 0,1，或 x = 0．当n=0时， 1+x  0= 1+0x，当n=1时， 1+x  1=1+x，当x=0时， 1+0  n=1+0n，其他值均不能保证等号成立，猜想， 伯努利不等式等号成立的充要条件是 n = 0,1，或 x = 0； (2)当 n≥1时，我们需证 1+x  n≥1+nx，设 fx  =1+x  n-nx-1x<-1,a≥1  ，注意到 f0  =0， f x  =n1+x  n-1-n=n 1+x   n-1-1  ，令 1+x  n-1-1=0得 x=0，即f 0  =0，x=0是 fx  的 一个极值点． 令 gx  =f x  ，则g x  =nn-1  1+x  n-2>0，所以 f x  单调递增．当 -10时，f x  >f0  =0，故fx  在 -1,0  上单调递减，在0,+∞  上单调递增．所以 在 x=0处 fx  取得极小值 f0  =0，即 fx  ≥0恒成立，1+x  n≥nx+1．伯努利不等式对 n ≥1得证． (3)当 n=1时，原不等式即1+a≥1+a ，显然成立．当 n≥2时，构造数列 x 1 1 n  ：x = n 1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n  -1+a 1 +a 2 +⋯+a n  ，则 x n+1 -x n =a n+1 1+a 1  1+a 2  ⋯1+a n   -1  ， 若 a i >0i=1,2,⋯,n+1  ，由上式易得 x n+1 -x n >0，即 x n+1 >x n ；若-10，即此时 x >x 也成立．所以 x n+1 n n  是一个单调递增的数列(n ≥2)，由于 x 2 =1+a 1  1+a 2  -1+a 1 +a 2  =a 1 a 2 >0，所以 x n >x 2 >0∀n>2  ，故原不等式成立． 6 梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数 fx  xs-1 = (x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题． ex-1 (1)当12时； ①证明fx  有唯一极值点； ②记fx  的唯一极值点为gs  ，讨论gs  的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1)fx  在0,+∞  上单调递减；(2)①证明见解析；②在2,+∞  上单调递增，证明见解析； 【详解】(1)由fx  xs-1 = ,x∈0,+∞ ex-1  ,10，所以s-x-2<0,ex>0，即h x  <0恒成立； 即函数hx  在0,+∞  上单调递减，又h0  =0，所以hx  2时，①由(1)可知令h x  =s-x-2  ⋅ex=0，可得x=s-2>0,易知当x∈0,s-2  时，h x  =s-x-2  ⋅ex>0，即函数hx  在0,s-2  上单调递增，当x∈s-2,+∞  时，h x  =s-x-2  ⋅ex<0，即函数hx  在s-2,+∞  上单调递减，即函数hx  在x=s-2处取得极大值，也是最大值；注 意到h0  =0，由单调性可得hs-2  >h0  =0，可知hx  在0,s-2  大于零，不妨取x=2s-2，则 h2s-2  =1-s  ⋅e2s-2-s-1  =1-s  e2s-2+1  <0；由零点存在定理可知hx  存在唯一变号零点 x 0 ∈s-2,+∞  ， 所以f x  xs-2⋅ s-1-x =  ⋅ex-s-1    ex-1  2 存在唯一变号零点x 0 满足fx 0  =0，由hx  单调性可得，当 x∈0,x 0  时，f x  >0，当x∈x 0 ,+∞  时，f x  <0；即可得函数fx  在0,x 0  上单调递增，在 x 0 ,+∞  单调递减； 所以fx  有唯一极大值点x 0 ；②记fx  的唯一极值点为gs  ，即可得x 0 =gs  由hx 0  =s-1-x 0  ⋅ex0-s-1  x ⋅ex0 =0可得s= 0 +1，即可得gs ex0-1  的反函数g-1 s  x ⋅ex0 = 0 +1， ex0-1 令φx  x⋅ex = +1,x∈s-2,+∞ ex-1  ，则φ x  ex ex-x-1 =  ex-1  ，构造函数mx 2  =ex-x-1,x∈0,+∞  ， 则m x  =ex-1， 显然m x  =ex-1>0在0,+∞  恒成立，所以mx  在0,+∞  上单调递增，因此mx  >m0  =0，即 ex>x+1在0,+∞  上恒成立，而s>2，即s-2>0，所以ex>x+1在s-2,+∞  上恒成立，即可得φ x  ex ex-x-1 =  ex-1  >0在s-2,+∞ 2  上恒成立，因此g-1 s  在s-2,+∞  单调递增；易知函数gs  与 其反函数g-1 s  有相同的单调性，所以函数gs  在2,+∞  上单调递增； 7 定义函数f nx  x2 x3 =1-x+ - +⋯+-1 2 3  xn n n∈N* n  ． (1)求曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率； (2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，求k的取值范围； (3)讨论函数f nx  的零点个数，并判断f nx  是否有最小值．若f nx  有最小值m﹐证明：m>1-ln2； 若f nx  没有最小值，说明理由． (注：e=2.71828⋯是自然对数的底数) 【答案】(1)1-2n；(2)-∞,-1  ；(3)答案见详解 【详解】(1)由f nx  =-1+x-x2+⋯+-1  nxn-1，可得f n-2  1-2n =-1-2-22-⋯-2n-1=- =1- 1-2 2n, 所以曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率1-2n. (2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，所以k≤ f 2x  -2 -1-x+ x2 = 2 对任意x∈R恒成立， ex ex令g(x)= -1-x+ x 2 2 ，则g(x)= x4-x ex 7  ，由g(x)>0解得x<0，或x>4；由g(x)<0解得04时， g(x)>0， 故g(x)的最小值为g(0)=-1，故k≤-1，即k的取值范围是-∞,-1  . (3)f n-1  =-1-1-⋯-1  =-n，当x≠-1时，f nx  =-1+x-x2+⋯+-1  1--x nxn-1=-  n 1--x  = -x  n-1 ， x+1 因此当n为奇数时，f nx  x2 x3 xn-1 xn =1-x+ 2 - 3 +⋯+ n-1 - n ，此时f nx   -xn-1,x≠-1, = x+1 则f nx -n,x=-1.  < 0，所以f nx  单调递减.此时f n0  =1>0，f 1x  =1-x显然有唯一零点，无最小值.当n≥2时，f n2  = 22 23 2n-1 2n 1-2+ - +⋯+ - =1-2 2 3 n-1 n  22 3 +  -2 3 2  2n-1 n +⋅⋅⋅+  -2 n n-1  <0，且当x>2时，f n x  =1-x  x2 x3 + - 2 3  xn-1 xn +⋯+ - n-1 n  =1-x  x2 3 +  -x 3 2  xn-1 n +⋯+  -x n n-1  <1-x， 由此可知此时f nx  不存在最小值.从而当n为奇数时，f nx  有唯一零点，无最小值，当n=2kk∈N*  时，即当n为偶数时，f nx  x2 x3 xn-1 xn =1-x+ 2 - 3 +⋯- n-1 + n ，此时f nx   xn-1,x≠-1, = x+1 ，由f nx -n,x=-1.  > 0，解得x>1；由f nx  <0，解得x<1，则f nx  在-∞,1  上单调递减，在1,+∞  上单调递增，故f nx  的最小值为f n1  =1-1  1 1 + - 2 3  1 1 +⋯+ - n-2 n-1  1 + n >0，即f nx  ≥f n1  >0，所以当n 为偶数时，f nx  没有零点. 设hx  =ln1+x  x - x>0 x+1  ，h x  1 1 = - 1+x x+1  x = 2 x+1  >0，所以hx 2  在0,+∞  上单 调递增，hx  >h0  =0，即ln1+x  x > x>0 x+1  1 n+1 1 .令x= 可得ln > ，当n= n n n+1 2kk∈N*  时 1-f 1 2k  1 1 1 1 1 1 1 1 =1- + - +⋯+ - =1+ + +⋅⋅⋅+ 2 3 4 2k-1 2k 2 3 2k  1 1 1 -2 + +⋯+ 2 4 2k  = 1 1 1 1+ + +⋅⋅⋅+ 2 3 2k  1 1 -1+ +⋯+ 2 k  1 1 1 k+1 k+2 2k = + ⋅⋅⋅+ 1-ln2.从而当n为偶数时，f nx  没有零点，存在最小值m>1-ln2.综上所述，当n为 奇数时，f nx  有唯一零点，无最小值；当n为偶数时，f nx  没有零点，存在最小值m>1-ln2. 8 如 果 函 数 F x  的 导 数 F  x  = f x  ，可 记 为 F x  = fx   dx ． 若 f x  ≥ 0 ，则 b fx a  dx=Fb  -Fa   表示曲线y=fx  ，直线x=a,x=b以及x轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)若Fx  1 = dx，且F1 x  =1，求Fx  ； π a (2)已知0<α< ，证明：αcosα< cosxdx<α，并解释其几何意义； 2 0 1 π 2π 3π nπ (3)证明：  1+cos + 1+cos + 1+cos +⋯+ 1+cos n n n n n  2 2 < ，n∈N*． π【答案】(1)Fx 8  =lnx  +1；(2)答案见解析；(3)证明见解析 【详解】(1)当x>0时，因为lnx  1 = ，所以设Fx x  =lnx+C 1 ，又F1  =1，代入上式可得F1  =ln1 +C 1 =1⇒C 1 =1，所以，当x>0时，Fx  =lnx+1；当x<0时，设Fx  =ln-x  +C ，同理可得C =1， 2 2 综上，Fx  =lnx  +1. (2)因为Fx  a =∫cosxdx=sinx+C，所以 cosxdx=sinα-sin0=sinα，设gx 0  =x-sinx,00恒成立，所以gx  π 在0g0 min  =0，故sinα a <α，即 cosxdx<α；设hx 0  π =sinx-xcosx，00恒成立，所以hx  在0 π h0 min  a a =0，所以αcosα< cosxdx，综上，αcosα< cosxdx<α.几何 0 0 π 意义：当0-1，讨论函数fx  2 = lnx+a+1 e2  1 x- 的稳定点个数. x 【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)答案见解析 【详解】(1)设gx  =fx  -x=2x+x-3，则g x  =2xln2+1>0恒成立，故函数gx  在R上单调递增， 又g(1)=0，故函数gx  在R上有唯一零点，即fx  有唯一不动点1； (2)证明：充分性：设x 0 为函数fx  的不动点，则fx 0  =x 0 ，则f fx 0    =fx 0  =x 0 ，即x 0 为函数fx  的 稳定点，充分性成立；必要性：设x 0 为函数fx  的稳定点，即f fx 0    =x 0 ，假设fx 0  =y 0 ，而fx  在定义 域内单调递增，若y 0 >x 0 ，则f fx 0    =fy 0  >fx 0  =y 0 >x 0 ，与f fx 0    =x 矛盾；若y -1时，函数fx 9  2 = lnx+a+1 e2  1 x- 在(0,+∞)上单调递增，由(2)知fx x  的稳定点与 fx  的不动点等价，故只需研究fx  的不动点即可；令Fx  =fx  2 1 -x= lnx+ax- ,x∈0,+∞ e2 x  ， 则F x  2 1 = +a+ ,x∈0,+∞ e2x x2  ，则F x  在0,+∞  上单调递减， ①当a≥0时，F x  >0恒成立，即Fx  在0,+∞  上单调递增，当x无限接近于0时，Fx  趋向于负无 穷小，且Fe2  4 1 3 = e2 +ae2- e2 = e2 +ae2>0，故存在唯一的x 0 ∈0,e2  ，使得Fx 0  =0，即fx  =x有唯 一解，所以此时fx  有唯一不动点； ②当a<0时，即-10，当x趋向无穷大时， + 趋近于0，此时F e2 e2x x2 1 1 x 1  <0， 存在唯一x 1 ∈0,+∞  ，使得F x 1  2 1 = +a+ =0，此时fx e2x x2 1 1  在(0,x)上单调递增，在(x,+∞)上单 1 1 调递减， 故Fx  max =Fx 1  2 1 2 1 2 1 2 2 2 = lnx+ax- = lnx- - - = lnx- - ，当x趋近于0时， e2 1 1 x e2 1 x e2 x e2 1 x e2 1 1 1 1 Fx  趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，Fx  趋向于负无穷大，设hx  2 2 2 = lnx- - ，则hx e2 x e2  在0,+∞  上单调递增，且he2  4 2 2 1 2 = e2 - e2 - e2 =0，又a=- x2 - e2x 在x 1 ∈0,+∞ 1 1  时单调递增，故 (i)当Fx  2 2 2 3 max = e2 lnx 1 - x - e2 =0时，即x 1 =e2，此时a=- e4 ，方程Fx 1  =0有一个解，即fx  有唯一 不动点； (ii)当Fx  2 2 2 3 max = e2 lnx 1 - x - e2 <0shi ，即x 1 0时，即x 1 >e2，此时- e4 0  的一个控制函数，并说明理由； (2)设fx  =lnx的导数为f x  fb ，00 10  的一个控制函数； fb (2)因为01，0< b <1，设y=lnx-x+1，x>0，在x>1上y= 1 -1< b a-b b a a x 1 0，在00，则y=lnx-x+1在x>1单调递减，在01，0< <1，b-a>0，a-b<0，∴ln - +1<0，ln - +1<0，则ln a a a a b b a b-a - <0， a ∵b-a>0，∴ ln a b - 1 <0，即 fb b-a a  -fa  1 a a-b a < ，同理，ln - <0，∵a-b<0，∴ln - b-a a b b b a-b fb >0，即 b  -fa  1 1 fb > ，综上： < b-a b b  -fa  1 < ，f x b-a a  1 = ，在区间a,b x  上的值域为 1 1  , b a  fb ，则  -fa  =f x b-a  在区间a,b  上有实数解. f(b)-f(a) (3)①先证引理:对任意0f t 1  ，考虑到f(x)=lnx+1是值域为R的严格增函数，故存在t >t 使 2 1 得f t 2  =gt 1  .由(*)知存在c 0 ∈t 1 ,t 2  使得gt 1  ≤f c 0  ≤gt 2  ，于是有f c 0  ≥gt 1  =f t 2  ，由f(x) 的单调性知c ≥t ，矛盾.故对任意x∈(0,+∞)都有g(x)≤f(x)，同理可证，对任意x∈(0,+∞)都有g(x) 0 2 ≥f(x)，从而g(x)=f(x). ③(证控制函数的存在性)最后验证，g(x)=f(x)是y=f(x)的一个“控制函数”.对任意x,x ∈(0,+∞)， 1 2 当x 1 0，e<0，f>0，求证：a+b<  +ec2-a2  +fa2-b2  e，所以G(f)> e-e+2=- e+2．即G(f)的值域是- e+2,+∞ 2×1 2 2 2 2 11  ； (2)因为a0，e<0，f>0，所以d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)<0， (a+b)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]=d(b-c)(a+b)+e(c-a)(a+b)+f(a2-b2) =d(b-c)([(b+c)+(a-c)]+e(c-a)[(c+a)+(b-c)]+f(a2-b2) =d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)+d(b-c)(a-c)+e(c-a)(b-c) 因为a0，e<0，f>0，所以d(b-c)(a-c)>0,e(c-a)(b-c)>0， 所以(a+b)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]>d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)， db2-c2 所以a+b<  +ec2-a2  +fa2-b2  ，(b+c)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]=d(b2-c2)+e(c d(b-c)+e(c-a)+f(a-b) -a)(b+c)+f(a-b)(b+c) =d(b2-c2)+e(c-a)(c-a+b-a)+f(a-b)(a+b+c-a) =d(b2-c2)+e(c2-a2)+f(a2-b2)+e(c-a)(b-a)+f(a-b)(c-a) 因为a0，e<0，f>0，所以e(c-a)(b-a)<0,f(a-b)(c-a)<0， 所以(b+c)[d(b-c)+e(c-a)+f(a-b)]  +ec2-a2  +fa2-b2  ，综上，原不等式成立． d(b-c)+e(c-a)+f(a-b) 12 多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由a，b，c⋯等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变 Δy dy 化为a+Δa时，y变化为y+Δy，记 Δ li a m →0Δa 为y对a的导数，其符号为 da .和一般导数一样，若在a 1 ,a 2  dy dy 上，已知 >0，则y随着a的增大而增大；反之，已知 <0，则y随着a的增大而减小.多元导数除满 da da 足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： dy 1 +y 2  = dy 1 + dy 2；②乘法法则： dy 1 y 2 da da da  = da y d 1 y dy 1 +y dy 2；③除法法则： y 2 2 da 1 da  dy dy y 1 -y 2 2da 1 da = da  dy dy dy 1 ；④复合法则： 2 = 2 ⋅ 1.记y=ex+ x2 y2 da dy da e 2 1 1 lnx- x2-ex-a.(e=2.7182818⋯为自然对数的底数)， 2e dy dy (1)写出 和 的表达式； dx da (2)已知方程y=0有两实根x,x ，x0，并写出x+x 随a的变化趋势. da 1 2 dy 2 dy 1 【答案】(1) =ex+ xlnx-e， =-1；(2)①- ,1 dx e da 2e  ；②证明见解析，x+x 随a增大而减小 1 2 【详解】(1)解：设fx  =ga  1 1 dy Δy fx+Δx =ex+ x2lnx- x2-ex-a，则 =lim =lim e 2e dx Δx→0Δx Δx→0  -fx  =f Δx x  2 dy =ex+ xlnx-e，同理 =g′a e da  =-1. (2)解：①由(1)，可得f x  2 =ex+ xlnx-e，则f 1 e  =0，且x<1时，ex1时，f x  >0即fx  单调递增，故fx  ≥f1  1 =- -a，又由x→0时，x2趋近 2e 于0的速度远远快于lnx趋近于-∞的速度，故x2lnx→0，fx  1 →1-a，因此只需1-a>0且- -a 2e <0， 即由零点存在性定理，x 1 ∈0,1  1 ，x >1，存在两个零点，故a∈- ,1 2 2e  ； ②由 dx 1 +x 2  dx dx dx dy dx dy dx dx = 1 + 2 = 1 ⋅ + 2 ⋅ =- 1 + 2 da da da dy da dy da dy dy   1 1 =- +  dy dy  dx dx 1 2  dy dy + dx dx =- 1 2 dy dy ⋅ dx dx 1 2 =- f x 1  +f x 2  f x 1  f x 2  ， 由①可得f x 1  <0，f x 2  >0，故只需证明f x 1  +f x 2  x+x >0，令 1 2 =m，设hx 2  =fm+x  - fm-x  x -x 0≤x≤ 2 1 2  ，则h0  x -x =h 2 1 2  =fx 2  -fx 1  =0，且h x  =f m+x  +f m-x  ，则 x -x h 2 1 2  =f x 1  +f x 2  ，又h x  =f m+x  -f m-x  2 =em+x+ lnm+x e   +1  -em-x 2 + lnm-x e   +1  单调递增，且h 0  =0，故h x  ≥h 0  =0，h x  单调递增，则h x  x -x ≤h 2 1 2  ， x -x 必然h 2 1 2  =f x 1  +f x 2  >0，否则h x  ≤0即hx  单调递减，不符合题意，h0  x -x =h 2 1 2  = fx 2  -fx 1  =0，故原命题成立。所以x+x 随a增大而减小. 1 2 13 设函数fx  =sinx-xcosx，gx  x2 =1+ 2  cosx. (1)①当x∈0,π  时，证明：fx  ≥0； ②当x∈-π,π  时，求gx  的值域； (2)若数列a n  满足a 1 =1，a n+1 =a n cosa n ，a n >0，证明：3a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n  cosacosa cosa ⋅⋅⋅cosa <2 1 2 3 n (n∈N*). 【答案】(1)①证明过程见解析，② -1- π2 ,1  2  ；(2)证明过程见解析 【详解】(1)①f x  =cosx-cosx+xsinx=xsinx≥0在x∈0,π  恒成立，故fx  =sinx-xcosx在x ∈0,π  上单调递增，故fx  ≥f0  =0，证毕； ②∀x∈-π,π  ，恒有g-x  -x = 1+  2     2  cos-x  x2 =1+ 2  cosx=gx  ，故gx  x2 =1+ 2  cosx为 偶函数， 当x∈0,π  时，g x  x2 =xcosx-1+ 2  sinx=xcosx-sinx  x2 - sinx，由①可知，xcosx-sinx≤0 2 在x∈0,π  x2 上恒成立，又- sinx≤0，故g x 2  ≤0在x∈0,π  上恒成立，故gx  在x∈0,π  上单调递 减，故gx  =gπ min  π2 =1+ 2  π2 cosπ=-1- ，gx 2  =g0 max  =1，结合函数在x∈-π,π  上为偶函数可 得，函数值域为 -1- π2 ,1  2  ； a a a a (2)因为a=1，a =a cosa ，所以cosacosa cosa ⋅⋅⋅cosa = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅⋅⋅ n+1 =a ，其中a >0，故 1 n+1 n n 1 2 3 n a a a a n+1 n 1 2 3 n 2 只需证明3a+a +a +⋅⋅⋅+a < ,n∈N∗，因为a=1，a =a cosa ，所以0 n = + n，故a < n+1 n n n a2 2+a2 a 2a a 2 n 1+ n n n+1 n n 2 2 2 - ， a a n+1 n 2 2 于是3a+a +a +⋅⋅⋅+a <2a+ - 1 2 3 n 1 a a 2 1 13  2 2 + - a a 3 2  2 2 +⋅⋅⋅+ - a a n+1 n  2 2 2 =2a- + = ，n 1 a a a 1 n+1 n+1 ∈N∗，所以3a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n  cosacosa cosa ⋅⋅⋅cosa <2(n∈N*). 1 2 3 n 14 给出下列两个定义： Ⅰ.对于函数y=f(x)，定义域为D，且其在D上是可导的，其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义 函数”. Ⅱ.对于一个“同定义函数”y=f(x)，若有以下性质： ①f x  =g fx    ；②f(x)=h(f(x))，其中y=g(x)，y=h(x)为两个新的函数，y=f x  是y=f(x)的导 函数. 我们将具有其中一个性质的函数y=f(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=f(x)称之 为“双向导函数”，将y=g(x)称之为“自导函数”. (1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的 “自导函数”.Ⅰ.f(x)=tanx；Ⅱ.f(x)=lnx. (2)给出两个命题p，q，判断命题p是q的什么条件，证明你的结论. p：y=f(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，q：f(x)=k⋅ax(k∈R,a>0,a≠1). (3)已知函数h(x)=(xa-b)ex. ①若h(x)的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围. 4 ②若a=b=1，且定义I(x)=exh(x)- kx3+kx，若对任意k∈[1,2]，x∈[0,k]，不等式I(x)≤c恒成立， 3 求c的取值范围. 【答案】(1)fx  =tanx是“单向导函数”，其“自导函数”为gx  =1+x2；fx  =lnx既不是“单向导函 数”，也不是“双向导函数”；(2)不充分不必要条件；(3)①a=1；② e4- 52 ,+∞  3  . 【详解】(1)对于函数fx  =tanx，则f x  π =1+tan2x，这两个函数的定义域都是xx≠kπ+ ,k∈Z  2  ， 所以fx  为“同定义函数”，此时，gx  π =1+x2，由函数的定义，对于x=± ，f(x)=h(f(x))无法同时成 4 立， 所以fx  为“单向导函数”,其“自导函数”为gx  =1+x2.对于函数fx  =lnx，则f x  1 = ，这两个函 x 数的定义域不同，所以不是“同定义函数”. (2)若fx  =kax，则f x  =kaxlna，设gx  =xlna，则f x  =g fx    ，所以fx  为“单向导函数”.又 设hx  x = ，则fx lna  =h f x    ，所以fx  为“双向导函数”，但gx  不是常值函数，故p不是q的必要 条件. 若p成立，则gx  =m，所以f x  =g fx    =m，所以fx  =mx+n，所以q不成立，所以p为q的不充 分不必要条件. (3)①由题意，h(x)=(axa-1+xa-b)ex，且(axa-1+xa-b)ex=(xa-b)ex，所以axa-1=1，所以a=1；②由题 4 1 意，I(x)=(x-1)e2x- kx3+kx，所以I(x)=(2x-1)e2x-4kx2+k，I 3 2  =0，令px  =(2x-1)e2x -4kx2+k,x∈0,k  ,k∈1,2  ，p1  =e2-3k>0，则p x  =4xe2x-8kx=4xe2x-2k  ，因为y=e2x-2k单调递增，且y =1-2k0,y =e2k-2k x=0 x=k 14  1 0，所以存在x 0 = 2 ln2k∈0,1  ，使得e2x0 -2k=0，且当x∈0,x 0  时，p x  ≤0，px  单调递减；当x∈x 0 ,k  时，p x  ≥0，px  单调递增；当x 0 1 1 e = ln2k= ，即k= 时，所以px 2 2 2  min =px 0  =(2x 0 -1)⋅2k-4kx2 0 +k=-k2x 0 -1  2=0，此时I(x)≥ 0，I(x)在x∈[0,k]上单调递增，I(x) max =I(k)，当k=1时，p0  1 =-1+1=0，此时x 0 = 2 ln2，px  = min -k2x 0 -1  2<0，所以当x∈ 0, 1  2  时，I x  ≤0，Ix  单调递减；当x∈  1 ,1  2  时，I x  ≥0，Ix  单调递 增;又I(k)=I(1)>I(0)，所以I(x) =I(k)； max 当k∈1,2  e 且k≠ 时，px 2  min =-k2x 0 -1  2<0，p0  >0，所以函数Ix  在0,1  上存在两个极值点， 1 1 e 1 1 1 e 若x = ln2k> ，即2≥k> 时，极大值点为 ；若x = ln2k< ，即10，所以s(k)，即t(k)单调递增，所以t(k)≥t(1)=e2- + 3 2>0， 所以t(k)单调递增，所以tk  ≤t2  52 52 52 =e4- ,e4- >0，综上，I(x) =e4- ≤c，所以c的取值范围 3 3 max 3 为 e4- 52 ,+∞  3  15 若函数 fx  在定义域内存在两个不同的数x 1 ，x 2 ，同时满足 fx 1  = fx 2  ，且 fx  在点 x 1 ,fx 1    ， x 2 ,fx 2    处的切线斜率相同，则称fx  为“切合函数”. (1)证明：fx  =2x3-6x为“切合函数”； (2)若gx  1 =xlnx- x2+ax为“切合函数”(其中e为自然对数的底数)，并设满足条件的两个数为x ， e 1 x . 2 e2 (ⅰ)求证：xx < ； 1 2 4 3 (ⅱ)求证：(a+1)2xx - xx < . 1 2 1 2 4 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】(1)假设存在x 1 ，x 2 满足题意，易知f x  =6x2-6，由题可得：fx 1  =fx 2  ⇔2x3-6x=2x3-6x 1 1 2 2 ⇒x2 1 +x 1 x 2 +x2 2 =3，f x 1  =f x 2  ⇔6x2-6=6x2-6⇒x+x =0⇒x=-x 代入上式可解得， 1 2 1 2 1 2 x=- 3，x = 3或x= 3，x =- 3， 1 2 1 2 故fx  为“切合函数”. (2)由题可知g x  2x =lnx- +a+1，因为gx e  为“切合函数”，故存在不同的x ，x (不妨设0 xx ，即证： 2 1 = 2 - 1 >lnx -lnx=ln 2，令t= 2 ，则由0< lnx -lnx 1 2 xx x x 2 1 x x 2 1 1 2 1 2 1 1 1 x 1 1，要证上式，只需证：t- t >lnt2=2lnt⇔mt 15  1 =2lnt-t+ <0，易知m t t  = -(t-1)2 <0，故mt t2  在1,+∞  上单调递减，所以mt  xx 成立，由 lnx -lnx 1 2 2 1 e e2 上面的②式可得 xx < ⇒xx < ； 1 2 2 1 2 4 1 lnx -lnx (ⅱ)由上面的②式可得： = 2 1 e 2x 2 -x 1  xlnx-x lnx ，代入到①式中可得：a= 1 1 2 2 + x -x 2 1 1 lnx 2 -lnx 1 2  x 2 +x 1  x -x 2 1 xlnx-x lnx -x lnx+xlnx = 1 1 2 2 2 1 1 2 2x 2 -x 1  xlnxx -x lnxx = 1 1 2 2 1 2 2x 2 -x 1  lnxx =- 1 2 ⇒xx =e-2a，且由(ⅰ)可得a> 2 1 2 lne2 - 4 =ln 2 . 2 e x -x lnx -lnx (另解：由上面的②式可得 2 e 1 = 2 2 1，代入到①式的变形：ax 2 -x 1  x2-x2 =xlnx-x lnx + 2 1， 1 1 2 2 e lnxx 3 整理后也可得到a=- 2 1 2)故要证(a+1)2x 1 x 2 - x 1 x 2 < 4 ，只需证：a+1  3 3 2e-2a-e-a< ⇔ e2a 4 4 +ea-a+1  2 2>0a>ln e  ，设ha  3 2 = e2a+ea-(a+1)2a>ln 4 e  ，则即证：ha  >0， h a  3 = e2a+ea-2a+1 2  ，设Ma  3 = e2a+ea-2a+1 2  ，M a  =3e2a+ea-2=3ea-2  ea+1  ，∵a> 2 2 2 ln >ln ，∴ea> ，⇒3ea-2>0⇒M a e 3 3  >0⇒h a  2 在ln ,+∞ 3  上单调递增， h a  2 >hln e  2 >hln 3  2 2 =2 -ln -1 3 3  ，下面证明x-lnx-1≥0在0,+∞  上恒成立，令Lx  =x-lnx-1，则L x  1 1-x =1- = ，所以当x∈0,1 x x  时，L x  <0，当x∈1,+∞  时，L x  >0，所 以Lx  在x=1处取得最小值，L1  =0，所以Lx  ≥0在0,+∞  2 上恒成立，所以当x= 时， 3 2 2 2 -ln -1 3 3  >0，即h a  >0， ⇒ha  2 在ln ,+∞ 3  上单调递增，⇒ha  2 >hln e  2 >hln 3  2 =ln 3  2 -ln -2 3  >0，所以原不等 式成立. 16 设y=fx  、y=gx  是定义域为R的函数，当gx 1  ≠gx 2  时，δx 1 ,x 2  = fx 1  -fx 2  gx 1  -gx 2  . (1)已知y=gx  在区间I上严格增，且对任意x 1 ,x 2 ∈I,x 1 ≠x 2 ，有δx 1 ,x 2  >0，证明：函数y=fx  在区 间I上是严格增函数； (2)已知gx  1 = 3 x3+ax2-3x，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有δx 1 ,x 2  >0，若当x=1时，函 数y=fx  取得极值，求实数a的值； (3)已知gx  π =sinx,f 2  π =1,f- 2  =-1，且对任意x 1 ,x 2 ∈R，当gx 1  ≠gx 2  时，有 δx 1 ,x 2    ≤1，证 明：fx  =sinx. 【答案】(1)证明见解析；(2)a=1；(3)证明见解析 【详解】(1)不妨设x 1 0，∴fx 1  -fx 2  <0，∴函数y=fx  在区间I上是严格增函数； (2)由(1)可知：y=gx  在区间I上严格增时，y=fx  在区间I上是严格增，当y=gx  在区间I上严格 减时，y=fx  在区间I上是严格减，又当x=1时，函数y=fx  取得极值，当x=1时，函数y=gx  也 取得极值，g x  =x2+2ax-3，g 1  =12+2a-3=0，可得a=1，当a=1时，g x  =x+3  x-1  ，g x  在x=1左右附近两侧异号，满足条件，所以a=1. π (3)当x≠kπ+ k∈Z 2  π 时，由条件知δx，- 2  fx =  +1 ≤1∴fx sinx+1  π ≤sinx，δ ,x 2  1-fx =  ≤ 1-sinx 1∴fx  ≥sinx,∴fx  π =sinx,当x=kπ+ k∈Z，k≠0 2  π π 时，对任意t∈- , 2 2  ，有 δx,t    ≤ fx  -sint  1-sint  ≤1，即2sint-1≤fx  ≤1，又∵2sint-1的值域是-3,1  ，fx  =1，当x=kπ- π k∈Z，k≠0 2  π π 时，对任意t∈- , 2 2  ，有 δx,t    fx ≤  -sint  -1-sint  ≤1，-1≤fx  ≤1+2sint， 又∵1+2sint的值域是-1,3  ，fx  =-1，综上可知，任意x∈R，fx  =sinx. 17 给出下列两个定义： I.对于函数y=fx  ，定义域为D，且其在D上是可导的，若其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定 义函数”. II.对于一个“同定义函数”y=fx  ，若有以下性质： ①f x  =g fx    ；②fx  =h f x    ，其中y=gx  ,y=hx  为两个新的函数，y=f x  是y=fx  的 导函数. 我们将具有其中一个性质的函数y=fx  称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=fx  称之 为“双向导函数”，将y=gx  称之为“自导函数”. (1)判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写 出其对应的“自导函数”； (2)已知命题p:y=fx  是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题q:fx  =k⋅ax(k∈R,a>0,a ≠1).判断命题p是q的什么条件，证明你的结论； (3)已知函数fx  =xa-b  ex. ①若fx  的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围； ②若a=b=1，且定义Ix  =exfx  4 - kx3+kx，若对任意k∈ 1,2 ,x∈ 3   0,k  ，不等式Ix  ≤c恒成立， 求c的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2)既不充分也不必要条件；证明见解析；(3) e4- 52 ,+∞  3  【详解】(1)解：对于函数fx  =tanx，则f x  =1+tan2x，这两个函数的定义域都是 π xx≠kπ+ ,k∈Z 2   ，  所以函数fx  为“同定义域函数”，此时，gx  π =1+x2，由函数的定义，对于x=± ，fx 4  =h(f(x))无法 同时成立，所以fx  为“单向导函数”，其“自导函数”为gx  =1+x2，对于函数fx  =lnx，则f x  1 = ， x 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”. (2)解：若q成立，fx  =kax，则f x  =kaxlna，设gx  =xlna，则f x  =g(f(x))，所以fx  为“单向导 函数”，又设hx  x = ，则fx lna  =h(f(x))，所以fx  为“双向导函数”，但gx  不是常值函数，所以p不是q的必要条件；若p成立，则gx 17  =m，所以f x  =g(f(x))=m，所以fx  =mx+n，所以q不成立，所 以p是q的既不充分也不必要条件. (3)解：①由题意，f x  =(axa-1+xa-b)ex，且(axa-1+xa-b)ex=(xa-b)ex，所以axa-1=0，所以a=0； ②由题意Ix  4 =(x-1)e2x- kx3+kx，所以I x 3  1 =(2x-1)e2x-4kx2+k且I 2  =0，令px  =(2x-1) e2x-4kx2+k,x∈0,k  ,k∈1,2  ，可得p1  =e2-3k>0，且p x  =4xe2x-8kx=4x(e2x-2k)， 1 因为y=e2x-2k为单调递增函数，且y| =1-2k<0,y| =e2k-2k>0，所以存在x = ln2k∈(0,k)使 x=0 x=k 0 2 得e2x0-2k=0，且当x∈[0,x 0 ]时，p x  ≤0，p(x)单调递减；当x∈[x 0 ,k]时，p x  ≥0，p(x)单调递增， 1 1 e (i)当x = ln2k= 时，即k= ，所以p(x) =p(x )=(2x -1)⋅2k-4kx2+k=-k(2x -1)=0，此时I 0 2 2 2 min 0 0 0 0 x  ≥0，Ix  在x∈[0,k]上单调递增，可得Ix  =Ik max  ； 1 (ii)当k=1时，p(0)=-1+1=0，此时x 0 = 2 ln2,px  =-k(2x -1)2<0，所以当x∈ 0, 1 min 0  2  时，I x  ≤0，Ix  单调递减；当x∈  1 ,1  2  时，I x  ≥0，Ix  单调递增，又由Ik  =I1  >I0  ，所以Ix  = max Ik  ； e (iii)当k∈(1,2]且k≠ 时，px 2  min =-k(2x 0 -1)2<0,p(0)>0，所以函数Ix  在(0,1)上存在两个极值 点， 1 1 e 1 1 1 e 若x = ln2k> ，即 0，所以sk  ，即t k  单调递增，所以t k  ≥t 1  16 =e2- +2>0， 3 所以tk  单调递增，所以tk  ≤t2  52 =e4- >0，综上可得，Ix 3  52 =e4- ≤c，所以实数c的取值范 max 3 围为 e4- 52 ,+∞  3  . 18 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 y = ux  vx  ux  >0，ux   ≠1  ，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数y=xx，y= xx  = elnx  x   =exlnx  =exlnx lnx+1  . (1)已知fx  x-1 =x x，x>0，求曲线y=fx  在x=1处的切线方程； (2)若m>0且m≠1，x>0.研究gx  1+mx = 2  1 x的单调性； as+bs (3)已知a，b，s，t均大于0，且a≠b，讨论 2  t at+bt 和 2  s 大小关系. 【答案】(1)y=1；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【详解】(1)fx  x-1 x-1 =x x=e x  lnx ，则f x  x-1 =e x  lnx 1 1+ x2   1  lnx+1-  x2  ，所以f 1  =0，又因为f1  =1，所以切线方程为y=1.(2)gx 18  1+mx = 2  1 ln1+mx x=e  -ln2 x ，x>0，g x  ln1+mx =e  -ln2 x ⋅ mxlnmx-1+mx  ln1+mx  +1+mx  ln2 x2 1+mx  ，x>0 令mx=t>0，令φt  =tlnt-1+t  ln1+t  +1+t  ln2，φ t  =lnt-lnt+1  2t +ln2=ln ，令φ t+1 t  2t =ln >0，解得t>1，所以φt t+1  在0,1  上单调递减，在1,+∞  上单调递增，所以φt  >φ1  = 0，所以g x  >0， 所以gx  在0,+∞  上单调递增. b (3)由(2)知，令m= ，得gx a  1+ b a =  x    2  1 x 1 ax+bx =  a 2  1 x，由(2)知gx  在0,+∞  上单调递增. 所以hx  ax+bx = 2  1 x在0,+∞  as+bs 上单调递增，当s≥t时， 2  1 at+bt s≥ 2  1 as+bs t，即 2  t at+bt ≥ 2  s . as+bs 当slnex  =x，所以fx  -gx  >0 f x  -g x  = fx  -gx    = lnex+1   -x  ex 1 = -1=- <0，因此 ex+1 ex+1 fx  -gx    f x  -g x    ≤0成立，即y=fx  和y=gx  为“相伴函数”. (3)“y=fx  和y=gx  π 为相伴函数”的充要条件是θ=kπ+ k∈Z 4  π ，充分性：已知θ=kπ+ k∈Z 4  则fx  =sinx+θ  π =sinx+kπ+ 4  ， gx  =cosx-θ  π =cosx-kπ- 4  π π =cosx+kπ+ -2kπ- 4 2  π =sinx+kπ+ 4  ，此时fx  =gx 19  ，所以 fx  -gx    f x  -g x    =0，即 fx  -gx    f x  -g x    ≤0成立，y=fx  和y= gx  为相伴函数 必要性：已知y=fx  和y=gx  为相伴函数f x  =cosx+θ  ,g x  =-sinx-θ  ，所以 sinx+θ  -cosx-θ    cosx+θ  +sinx-θ    ≤0， sinx+θ  cosx+θ  -sinx-θ  cosx-θ  - cosx+θ  cosx-θ  -sinx+θ  sinx-θ    ≤0， sin2x+2θ  -sin2x-2θ  -cos2x≤0，cos2xsin2θ-cos2x≤0，即cos2xsin2θ-1 2  ≤0，由于cos2x 取遍-1,1  π 内的所有实数，因此当且仅当sin2θ-1=0时成立，所以θ=kπ+ k∈Z 4  ，所以“y=fx  和y=gx  π 为相伴函数”的充要条件是θ=kπ+ k∈Z 4  . 20 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先 猜想某个方程fx  =0的其中一个根r在x=x 0 的附近，如图所示，然后在点 x 0 ,fx 0    处作fx  的切 线，切线与x轴交点的横坐标就是x ，用x 代替x 重复上面的过程得到x ；一直继续下去，得到x ，x ， 1 1 0 2 0 1 x ，⋯⋯，x ．从图形上我们可以看到x 较x 接近r，x 较x 接近r，等等．显然，它们会越来越逼近r． 2 n 1 0 2 1 于是，求r近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足x n -x n-1  <ε的x 称为r的近似解． n 已知函数fx  =x3+a-2  x+a，a∈R． (1)当a=1时，试用牛顿迭代法求方程fx  =0满足精度ε=0.5的近似解(取x =-1，且结果保留小数点 0 后第二位)； (2)若fx  -x3+x2lnx≥0，求a的取值范围． 【答案】(1)-1.35；(2)a≥1 【详解】(1)当a=1时，fx  =x3-x+1，则f x  =3x2-1，曲线fx  在x =-1处的切线为y-1= 0 2x+1  ⇒x 1 =-1.5，且x 1 -x 0  ≥0.5，曲线fx  7 23 3 在x=-1.5处的切线为y+ = x+ 1 8 4 2  ⇒x = 2 31 - 23 ，且x 2 -x 1  <0.5，故，用牛顿迭代法求方程fx  =0满足精度ε=0.5的近似解为-1.35． (2)由x>0，得fx  a-2 -x3+x2lnx≥0⇔lnx+  a + ≥0，设gx x x2  a-2 =lnx+  a + ，则g x x x2  1 a-2 = - x  2a x2+2-a - = x2 x3  x-2a x+2 = x3  x-a  ，∴当a≤0时，g x x3  >0，gx  单调递增， 由于x→0时，gx  →-∞，不合题意；当a>0时，则有x∈0,a  ，g x  <0，gx  单调递减，x∈a,+∞  ， g x  >0，gx  单调递增，即gx  ≥ga  a-2 =lna+  a a-1 + =lna+ ，即fx a a2 a  ≥0⇔lna+1- 1 ≥0易知ga a  单调递增，且g1  =0，故fx  ≥0⇔ga  ≥g1  ⇔a≥1.21 对于函数y=fx 20  的导函数y=f x  ，若在其定义域内存在实数x 0 ,t，使得fx 0 +t  =t+1  f x 0  成 立，则称y=fx  是“跃点”函数，并称x 0 是函数y=fx  的“t跃点” π (1)若m为实数，函数y=sinx-m，x∈R是“ 跃点”函数，求m的取值范围； 2 (2)若a为非零实数，函数y=x3-2x2+ax-12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2 跃点”，求a的值： (3)若b为实数，函数y=ex+bx,x∈R是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范 围. 【答案】(1)m∈ - π , π  2 2  ；(2)-8或-9；(3)0,+∞  ∪ e2 2-e    π 【详解】(1)函数y=sinx-m的导函数为y=cosx，若函数y=sinx-m，x∈R是“ 跃点”函数， 2 π 则方程sinx + 0 2  π -m= +1 2  π cosx 0 有解，即-m= 2 cosx 0 有解，又因为cosx 0 ∈-1,1  ，故-m∈  - π , π  2 2  ，即m∈ - π , π  2 2  . (2)因为y=x3-2x2+ax-12，所以y=3x2-4x+a，若该函数是“2跃点”函数，则方程x+2  3-2x+2  2 +ax+2  -12=33x2-4x+a  ①有解，即x3-5x2+a+16  x-a-12=0有解， 由因式分解可得x-1  x2-4x+a+12  =0，当x=1时上述方程成立，因此x=1是方程的一个实数根； 当x≠1时，x2-4x+a+12=0②，Δ=16-4a+12  =-4a-32，当Δ=0即a=-8时，方程②为x2 -4x+4=x-2  2=0，即方程②有两个相等的实数根2，此时方程①的根为1,2,2，则函数有两个不同的 “2跃点”；当Δ<0即a>-8时，方程②无解，此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”；当Δ>0即a <-8时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个是实数根为1，则1- 4+a+12=0，解得：a=-9.综上：a的值为-8或-9. (3)函数y=ex+bx,x∈R，y=ex+b，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程ex+1+bx+1  =2ex+b  ex+1-2ex ，即-b= 恰有一个实数根，即gx x-1  ex+1-2ex e-2 = = x-1  ex ，g x-1 x  e-2 =  ex x-2  x-1  ，令g x 2  >0，解得：x>2；令g x  <0，解得：x<2且x≠1，故函数y=gx  在 -∞,1  和1,2  是严格的减函数，在2,+∞  上是严格的增函数.且g2  e-2 =  e2 =e2 e-2 2-1  ，当x趋 近于负无穷，y=gx  趋近于0，当x趋近于正无穷，y=gx  趋近于正无穷，y=gx  的图象如下图： 故当-b∈-∞,0  ∪ e2 e-2    ex+1-2ex 时，-b= 恰有一个实数根， x-1 即b∈0,+∞  ∪ e2 2-e    ex+1-2ex 时，-b= 恰有一个实数根， x-1 所以b的取值范围为0,+∞  ∪ e2 2-e    .