湖北省重点高中智学联盟 2023 年秋季高三年级 10 月联考
数学试题
命题学校：新洲一中（邾城校区） 命题人：黄宏斌 审题人：陈双雄
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一
项。
k 3 k 1
1. 设集合M={x|x= + ,k∈Z}，N={x|x= + ,k∈Z}，则( )
2 4 4 2
A. M=N B. M∪N=N C. N ⫋M D. M∩N=⫋
2. 已知命题p：∃x∈[-1,3]，x2-a-3≤0.若p为假命题，则a的取值范围为( )
A. (-∞,-3) B. (-∞,-2) C. (-∞,6) D. (-∞,0)
b
3. 已知a<b<c且a+2b+4c=0，则 的取值范围是( )
a
1 1 1 1
A. (-∞,- ) B. (- ,1) C. (0, ) D. ( ,1)
6 6 6 6
4. 已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=4x，则f(2)等于( )
A. -8 B. 8 C. -6 D. 6
π
cos( +α)sin(π+α)
5. 已知角α终边上一点P(-2,3)，则 2 的值为( )
cos(π-α)sin(3π+α)
3 3 2 2
A. B. - C. D. -
2 2 3 3
(ex-a) 2 1
6.设函数f(x)= +(x-a) 2 (x∈R),若关于x的不等式f(x)≤ 有解，则实数a的值为
16 17
（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
5 10 17 18
7.已知a,b,c分别为∆ABC三个内角A,B,C的对边，且a∙cosC+❑√3a∙sinC-b-c=0,则A=( )
π π 2π π
A. B. C. D.
2 6 3 3
8.已知定义在R上的函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且关于点(2,0)中心对称。设2023
g(x)=(x-1)f(x)，若g(23)=88，∑ g(i)=( )
i=1
A. 4040 B. 4044 C. 4048 D. 4052
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
{1,x为有理数
9. 定义在实数集上的函数D(x)= 称为狄利克雷函数．该函数由19世纪德国数学
0,x为无理数
家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛．下列有关狄利克雷函数D(x)的说法中正确的是
( )
A. D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数
C. 存在无理数t ，使D(x+t )=D(x) D. 对任意有理数t，有D(x+t)=D(x)
0 0
( π)
10. 已知函数f(x)=tan ωx- (ω>0)，则下列说法正确的是( )
6
1
A. 若f(x)的最小正周期是2π，则ω=
2
π
B. 当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为(kπ+ ，0)(k∈Z)
6
( π ) (2π)
C. 当ω=2时，f - >f
12 5
(π ) 2
D. 若f(x)在区间 ，π 上单调递增，则0<ω≤
3 3
f(x )+f(x )
11. 设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x ∈D，存在x ∈D，使得 1 2 =c(c
1 2 2
为常数)，则称函数y=f(x)在D上的均值为c，下列函数中在其定义域上的均值为2的有
( )
A. y=x3 B. y=tanx C. y=2sinx D. y=√ 4-x2
12. 已知函数f(x)=-x3+2x2-3x，若过点P(-2,m)(m∈Z)可作曲线y=f(x)的三条切线，
则m的值可以为( )A. 3 B.4 C. 21 D. 22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9
13. 已知xϵ[1,8],则函数f(x)=x+ 的最大值与最小值的和为 ．
x
( π)
14. 函数y=2sin -2x+ +1最小正周期为________．
4
15. 若函数f(x)=log (-x2+ax+1)(a>0且a≠1)在(2,3)是减函数，则实数a的取值范围
a
是 ．
16.有这样一个事实:函数y=log x与y=
( 1 ) x
有三个交点P
(1
,
1)
,P
(1
,
1)
,P 在直线
1 16 1 4 2 2 2 4 3
16
y=x上。一般地，我们有结论:对于函数y=log x与y=ax 的图像交点问题，当0<a<e-e 时，有
a
三个交点，当e-e≤a<1时有一个交点；借助导数可以推导:当1<a<？时有两个交点，当
1
a=？时有一个交点，当a>？时没有交点；先推导出？的值，并且求：关于x的方程etx-
t
lnx=0在(0，+∞)上只有一个零点，t的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题10分)
x-2
设U=R，A={x|x2-4x+3<0}，B={x| ≤0}，C={x|a≤x≤a+1,a∈R}．
x-4
(1)分别求A∩B，A∪(∁ B)；
U
(2)若B∪C=B，求实数a的取值范围．
18. (本小题12分)
2x+a
已知函数f(x)= (a∈R)为R上的奇函数，
2x+1
（1）求实数a的值；（2）判断函数f(x)的单调性幷证明；
1
（3）设函数g(x)= x+b,b∈R,若对任意的x ∈[0,1],总存在x ∈[0,1]，使得g(x )=3f(x )成立，
2 1 2 1 2
求实数b的取值范围。
19.(本小题12分)求值：
(1)sin40°(❑√3-tan10°)
(2)sin210°+cos240°+sin10°cos40°
20.(本小题12分)
现有大小相同的7个红球和8个黑球，一次取出4个。
（1）求恰有一个黑球的概率；
（2）取出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）取出4个球同色，求全为红球的概率。
21. (本小题12分) B
π
在∆ABC中，B= ，点D在边AB上，BD=2,且DA=DC. D
3
（1）若∆BCD的面积为2❑√3，求边CD的长；
（2）若AC=2❑√3,求∠DCA.
C
A22. (本小题12分)
已知：函数f(x)=xlnx,(x>0)
(1) 求f(x)的单调区间和极值；
(2) 证明：ex-2x>xf(x)；(参考数据：e2≈7.39,e3≈20.09)
(3) 若不等式f(x)≤-x2+(a+1)x-a的解集中恰有三个整数解，求实数a的取值范围。（第三问
直接写出答案，不需要详细解答，参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
