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2.4 圆的方程
思维导图
常见考法考点一 圆的方程
【例1】（1）（2019·河北新华.石家庄二中高一期末）过点 ，且圆心在直线
上的圆的方程是（）
A． B．
C． D．
（2）（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）圆心为 ，半径为5的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 上，排除B、D，
点 在圆上，排除A故选C
（2）∵所求圆的圆心为 ，半径为5，∴所求圆的标准方程为： ，
故选：D.
求过不共线A,B,C三点的圆的方程常见两种方法：
一是根据所求圆为 的外接圆，即求任意两边的中垂线交点为圆心坐标，顶点到圆心距离为半径，
即可求出圆的方程．
二是待定系数法，设圆的一般方程 ，把三个点的坐标代入，求出待定系数
D,E,F，即可求出圆的方程．
【一隅三反】
1．（2020·河南濮阳.高一期末（理））设 ，则以线段 为直径的圆的方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】 的中点坐标为 ，圆的半径为 ，
所以圆的方程为 .故选：A.
2．（2020·广东东莞四中高一月考）圆心为 ，且与x轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为圆心为 ，圆与x轴相切，所以圆的半径为2，
所以圆的标准方程为 ，故选：B
3．（2020·河北运河.沧州市一中高一期末）已知点 ， ， ，则 外接圆的圆心
坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，
故线段 的垂直平分线方程为 ，即 .
线段 中点坐标为 ，线段 斜率为 ，所以线段 垂直平分线的斜率为 ，故线段
的垂直平分线方程为 ，即 .由 .所以 外接圆的圆心坐标为 .故选：A
考点二 根据圆的方程求参数
【例2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范
围是( )
A．a<－2或a> B．－ <a<2
C．－2<a<0 D．－2<a<
【答案】D
【解析】由题意可得圆的标准方程 ，由 解得 ，
选D.
先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a的范围：
圆的一般方程 ，化标准方程为
（其中 ），圆心为 ，半径 ．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）已知 是实常数，若方程 表示的曲线是圆，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于方程 表示的曲线为圆，则 ，解得 .因此，实数 的取值范围是 .故选：B.
2．（2020·浙江丽水.高二期末）“ ”是“ 为圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】方程 表示圆需满足 或
，所以“ ”是“ 为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.
3．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知方程
表示一个圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
所以 ，解得 .故选：B．
考点三 点与圆的位置关系
【例3】（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二月考）点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
【答案】A
【解析】因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P在圆外．
直接将点的坐标代入圆的方程即可判断
【一隅三反】1．（2020·莆田第七中学高一月考）点 在圆 的（ ）
A．圆上 B．圆内
C．圆外 D．无法判定
【答案】A
【解析】将点 的坐标代入圆 的方程即 ，∴点 在圆 上，
故选：A
2．（2020·江苏泗洪。高一月考）直线 与圆 的位置关系是(
)
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交不过圆心
【答案】C
【解析】直线 的方程可变为 ，可知该直线恒过点 ，
又 ，所以点 在圆 的内部，
所以直线 与圆 的位置关系是相交.
当 时，直线方程为 ，过圆心 .故选：C.
3．（2020·平罗中学高二期中（理））若点 在圆 内，则 的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，解得 ．故选：A．
考点四 对称问题
【例4】（2020·全国高二课时练习）已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：x﹣y﹣3=0对称的圆的方程为
（ ）
A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0
C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0【答案】A
【解析】设圆心C（0，0）关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D（a，b），
则由 ⇒ ；∴对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=4 x2+y2﹣6x+6y+14=0．
⇒
故选：A
【一隅三反】
1．（2020·青海平安一中高二月考（文））已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，圆心为 ，半径 ，则圆的方程为 ，故选：C．
2．（2020·全国高二）圆 关于直线 ： 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
设 关于直线 ： 的对称点为 ，
则 ，解得 ．
所以 ，则圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．故选：C．3．（2019·全国高一课时练习）圆 上有两点A,B关于直线 对称，则
k=( )
A．2 B． C． D．不存在
【答案】A
【解析】由题意得直线 经过圆心 ，所以 ，解得 ，故选A
考点五 轨迹方程
【例5】（2020·全国高二课时练习）已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P
的轨迹方程为______.
【答案】
【解析】设 ，则由题意可知 ，即 ，化简
整理得 .
【一隅三反】
1.（2020·全国高二课时练习）已知定点 ，点 在圆 上运动，则线段 的中点
的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 满足 .故 .故 .
又点 在圆 上.故 .故选:C
2．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））设圆 的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________.
【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
【解析】
设PA的中点M的坐标为 ， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为 ，由已知
有 ，则 ，又P点在圆上，所以 ，所以
，即 ．
3．（2020·沙坪坝重庆一中高一期末）若动点 到两点 的距离之比为 ，则点 的运动
轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】设点 ，则 ， ，
所以 ，化简得 .故答案为： .
