文档内容
3.3 幂函数
【本节明细表】
知识点、方法 题号
幂函数定义 4,6
幂函数解析式 1,3
幂函数比较大小 8,9
幂函数图像性质 2,5,7,10
综合应用 11,12
基础巩固
1．已知幂函数 的图象通过点 ，则该函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设幂函数的解析式为 .
∵幂函数 的图象过点 ，∴ ，∴ ，
∴该函数的解析式为 .
2．在下列幂函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A.y＝x－2B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A，有f(－x)＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上递减，则A不满足；
对于B，定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足；
对于C，有f(－x)＝－f(x)，为奇函数，则C不满足；
对于D，定义域R关于原点对称，f(－x)＝f(x)，则为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，则D满足.
故选:D.
3．已知幂函数 过点 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设幂函数 ，∵ 过点 ，∴ ，
∴ ，故选B.
4．幂函数 的图象如图所示，则 的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
【答案】C
【解析】由图象上看，图象不过原点，且在第一象限下降，故 ，即 且 ；
又从图象看，函数是偶函数，故 为负偶数，
将 分别代入，可知当 时， ，满足要求．
故选C.
5．设 ∈ ，则使函数y= 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为（ ）
A． ，1，3B． ，1 C． ，3 D．1，3
【答案】D
【解析】当 ＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；
当 ＝1时，函数y＝ 的定义域为R且为奇函数，满足要求；
当 函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当 ＝3时，函数y＝ 的定义域为R且为奇函数，满足要求；
故选：D．
6．幂函数 的图象关于 轴对称，则实数 _______.
【答案】2
【解析】函数 是幂函数，
解得： 或 ，
当 时，函数 的图象不关于 轴对称，舍去，
当 时，函数 的图象关于 轴对称，
∴实数 ．
7．已知幂函数 的图象过 ，那么 在 上的最大值为_____________。
【答案】
【解析】设 ，因为 的图象过 ，
，解得 ，
在 上是单调递增的
在 上的最大值为 ，故答案为 。
8．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3 ，2.4 ；
(2) ， ；
(3)(－0.31) ，0.35 .【答案】(1)2.3 <2.4 .(2) > ；(3)(－0.31) <0.35 .
【解析】(1)∵y＝ 为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3 <2.4 .
(2)∵y＝ 为(0，＋∞)上的减函数，又 < ，
∴( ) >( ) .
(3)∵y＝ 为R上的偶函数，
∴ ＝ .
又函数y＝ 为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.31 <0.35 ，即(－0.31) <0.35 .
能力提升
9．已知函数 的图象如图所示，则 的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图像可知， ，得 ，故选：A..
10．对幂函数 有以下结论
（1） 的定义域是 ；
（2） 的值域是 ；
（3） 的图象只在第一象限；
（4） 在 上递减；
（5） 是奇函数．
则所有正确结论的序号是______.
【答案】（2）（3）（4）
【解析】解：对幂函数 ，以下结论
（1） 的定义域是 ，因此不正确；
（2） 的值域是 ，正确；
（3） 的图象只在第一象限，正确；
（4） 在 上递减，正确；
（5） 是非奇非偶函数，因此不正确．
则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．11．已知幂函数 的图象经过点 .
（1）求实数 的值；
（2）求证： 在区间（0，+∞）上是减函数.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1）∵ 的图象经过点 ，
∴ ，即 ，解得 .
（2）证明：由（1）可知， ，任取 ，且 ，则 ，
∴ ，
即 .∴ 在区间（0，+∞）上是减函数.
素养达成
12．讨论函数 的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．
【答案】定义域R；偶函数；图象略；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．
【解析】函数 定义域为R，因为 ，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，
在 单减，在[0,+∞)上单增.
