文档内容
3.3 抛物线
思维导图常见考法
考点一 抛物线的定义
【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为原点，点 是抛物线 的
准线上的一动点，点 在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为 ，
∵ ，∴ 到准线的距离为 ，故 点纵坐标为 ，
把 代入抛物线方程可得 ．
不妨设 在第一象限，则 ，
点 关于准线 的对称点为 ，连接 ，
则 ，于是故 的最小值为 ．
故选B．
抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解;在
求解抛物线上的点到准线的距离，通常将其转化为该点到抛物线焦点的距离求解;
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点， ，
则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．8
【答案】C
【解析】点A到抛物线的准线： 的距离为： ，利用抛物线的定义可得： ，
求解关于实数 的方程可得： .本题选择C选项.
2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的 倍，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】抛物线 的准线方程为 ，由抛物线的定义知，抛物线 上一点 到
焦点的距离为 ， ，解得 ，故选D.
3．（2020·全国高二课时练习）已知点 是抛物线 上的一动点， 为抛物线的焦点， 是圆 ：
上一动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
如图所示，利用抛物线的定义知：
当 三点共线时， 的值最小，且最小值为
抛物线的准线方程： ，
本题正确选项：
考点二 抛物线的标准方程
【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线 的焦点为 ,点 在 上, ,若
以 为直径的圆过点 ,则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】∵抛物线 方程为 ,∴焦点 ，
设 ,由抛物线性质 ,可得 ，
因为圆心是 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为 ，
由已知圆半径也为 ,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即 ,代入抛物线方程得 ，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为 或 .
故答案C.
【一隅三反】
1．（2020·内蒙古青山。北重三中高二期中（理））抛物线 的焦点是直线 与坐标轴交
点，则抛物线准线方程是( )A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线开口向上或者向下，焦点在 轴上，直线 与 轴交点为 ，故
，即抛物线的方程为 ，故准线方程为 ，故选D.
2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之
桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为 ，跨径为 ，则桥形对应的抛物线的焦
点到准线的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为 轴建立直角坐标系 ，结合题意可知，该抛物线
经过点 ，则 ，解得 ，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离
为 .故选D3．（2020·江西高二期末（理））抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点，
,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线焦半径公式可得： 所以 本题正确选项：
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线 与抛物线 相交于A、B两
点，F为C的焦点，若 ,则k=( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为x ,x ,则x +x = -4,①x ·x =4.
A B A B A B
又|FA|=x +2,|FB|=x +2,|FA|=2|FB|,
A B
∴2x +4=x +2.∴x =2x +2.②∴将②代入①得x = -2,x = -4+2= -2.
B A A B B A
故x ·x = =4.解之得k2= .而k>0,∴k= ,满足Δ>0.故选D.
A B
【一隅三反】
1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线 与抛物线 相切，则双曲线
的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
直线与抛物线相切， ，
双曲线方程为 ，
可得 ，
所以离心率 ，故选B.
2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线 是抛物线 的一条切线，则
__________．
【答案】-4
【解析】联立直线和抛物线得到 故答案为-4.
3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】 A
【解析】“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，
而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，
如图示：，
直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．
考点四 弦长
【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角
为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°
的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】由题意，得 ．又因为 ，故直线AB的方程为 ，与抛物
线 联立，得 ，设 ，由抛物线定义得，
，选C．
（2）由题意可知：直线AB的方程为 ，代入抛物线的方程可得： ，设A 、B ，则所求三角形的面积为 = ，故选D.
直线 的方程然后和抛物线方程联立,再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式
【一隅三反】
1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线 经过抛物线 的焦点，与抛物线相
交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．1
【答案】B
【解析】因为抛物线 的焦点为 ，
所以代入直线方程得 ，即 ，
所以直线方程为 ，
与抛物线方程联立得 ，
所以弦长 ，
又点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ,故选B.
2．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点，过 且倾斜角为 的直线 交 于 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线C: ( )可知焦点F(0, ),由双曲线 的上焦点坐标为(0,1),且抛
物线的焦点F(0, )是双曲线 的一个焦点,可得 ,得 ,得抛物线方程为 ，
由题意得直线 的方程为 ,设A ,B
联立 消 化简得 ,则有: , ,
所以由弦长公式 .
故选:D.
3．（2019·陕西汉台。高二期末（理））已知点 ， 是抛物线 ： 上的两点，且线段 过抛
物线 的焦点 ，若 的中点到 轴的距离为2，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ，而 的中点的横坐标为，所以 .故选C.
考点五 定点定值
【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线 ： ，过其焦点 作斜率
为1的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段 的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、 两点，且 .求证：直线 过定
点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）设 ， 两点的坐标分别为 ， ，
则 ， ，两式相减得 .
即 ，
又线段 的中点的纵坐标为4，直线 的斜率为1，∴ ，∴ .
即抛物线 的标准方程为 .
（2）设直线 ： 与抛物线 ： 交于点 ， ，
则 ，
，∴ ，
∴ ， ，由 得 ，即 ， ，
直线为 ，∴ 过定点 .
【一隅三反】
1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F为抛物线C： （ ）的焦点，过点F
的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， .
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在唯一的点 ，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则 的斜率为1，
， 的方程为 .
由 得 .
设 ， ，则 ，
∴ ， ，
∴抛物线C的方程为 .
（2）假设满足条件的点P存在，设 ，由（1）知 ，①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为 （ ），
由 得 ，
，
， .
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴ ， ， .
∴ ，
∴ 时，此时 .
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点 ，使直线PM，PN关于x轴对称.
2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆 的
右焦点重合,直线 过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线 交y轴于点M,且 ,m、n是实数,对于直线 ,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值；否则,说明理由.
【答案】（1） ；（2）－1
【解析】（1）∵椭圆的右焦点∴抛物线C的方程为
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l： 与y轴交于 ，设直线l交抛物线
于
由 ，
∴ ∴ ，
又由
即m= ,同理 ，
所以，对任意的直线l，m+ n为定值-1.
