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专题 08 数列专题（新定义）
一、单选题
1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列 中，定义：
为数列 的“匀称值”已知数列 的“匀称值”为 ，则该数列中
的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定 ，取 和 带入式子，相减得到答案.
【详解】 ，即 ，
故 ； ；
两式相减得 ，所以 ．
故选：D
2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对 ，定义函数 如下： ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义得 ，令 即可判断A，根据累乘可判断B，利用二项式定理求得
，结合 判断C， ，结
合等比数列的前 项和公式判断D.
【详解】 ，
令 ，则 ， ，A错误；
，
累乘得： ，
，令 ，则B错误；
因为 ，所以 ，
，则C正确；
，则D错误．
故选：C．
3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列 ，如果存在一个常数
，使得对任意的正整数 恒有 ，则称数列 是从第 项起的周期为T的周期数列．
已知周期数列 满足： ， ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D【分析】写出周期数列 的前几项，发现周期为6，进而求得 的值.
【详解】写出周期数列 的前几项：
1，3，2， ， ， ，1，3，2， ， ， ，1，…，
发现周期数列 是周期为6的周期数列，
∴ ．
故选：D．
4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列 的前n项和为 ， ，则称数列 是数列
的“均值数列”．已知数列 是数列 的“均值数列”且 ，设数列 的前n项和为
，若 对 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由新定义求得 ，然后由 求得 ，从而可求得 （裂项相消法）后得 的最小值，
解相应不等式可得结论．
【详解】由题意 ,即 ,
∴ 时， ，
又 ，∴ 时， ，
，，
易知 是递增数列，∴ 的最小值是 （ 时取得），
由题意 ，解得 ．
故选：B．
5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个 项数列
，记 的“Cesaro平均值”为 ，若数
列 的“Cesaro平均值”为2022，数列 的“Cesaro平均值”为2046，则
（ ）
A．24 B．26 C．1036 D．1541
【答案】B
【分析】先求出 的值，再根据Cesaro平均值的求法列出等式，即可求出 的值.
【详解】因为数列 的“Cesaro平均值”为 ，
所以 .
因为 的“Cesaro平均值”为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
故选:B.
6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列 中 ，公比 ，用
表示它的前 项之积，则 ， ，…， 中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据题意分析 的符号，结合前 项之积的性质运算求解.
【详解】∵ ，则当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
∴当 或 时， ，
当 或 时， ，
由题意可得： ，令 ，解得 ，
若 取到最大，则 ， ，即 中最大的是 .
故选：C.
7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列 满足 （k为常数），那么数列
叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列 满足 ，则该数列是等比差数列；
②数列 是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据比等差数列的定义 ( 为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得
到答案.
【详解】①数列 满足 ，则 ，
满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列 ，，
不满足等比差数列的定义，故②错误；
③设等比数列的公比为 ，则 ，
满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为 ，
则 ，
故当 时，满足 ，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
故选：B.
8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在 上的函数 ，如果对于任意给
定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”．现有定义在
上的如下函数：① ；② ；③ ；④ ，其中是“保等
比数列函数”的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据新定义，结合等比数列性质 ，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即
可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断
④．
【详解】设 是等比数列，由等比数列性质知 ，
对于①， ，即 仍是等比数列，故正确；
对于②， ，即 不是等比数列，故不正确；
对于③， ，即 是等比数列，故正确；
对于④， ，
即 不是等比数列，故不正确；
故选：C．
9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列 满足 ，则称 为“必会数列”，已
知正项数列 为“必会数列”，若 ，则 （ ）.
A． B．1 C．6 D．12
【答案】D
【分析】根据数列新定义可得数列 是以 为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得
答案.
【详解】由题意数列 满足 ，可得 ，
故正项数列 是以 为公比的等比数列，
则 ，
故选：D
10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意的 ，均
有 ，则称 是间隔递增数列， 是 的间隔数.若 是间隔递增数列，则数列 的通项不
可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.
【详解】对于A： ，
化简得： ，
存在正整数 ，使得对任意的 ， 恒成立，
所以 是间隔递增数列；
对于B： ，
因为 为正整数且 ，所以 ，
所以 ，所以 是间隔递增数列；
对于C： ，
因为 为正整数且 ，所以 ，
所以 ，所以 是间隔递增数列；
对于D：
，
当 正奇数， 时， ，
的正负由 的奇偶性决定，此时 不恒成立，
不符合间隔递增数列的定义；当 正偶数， 时， ，
的正负由 的奇偶性决定，此时 不恒成立，
不符合间隔递增数列的定义；
故选：D.
11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，若存在正整数 ，使得 ， ，则称
是数列 的“谷值”，k是数列 的“谷值点”．在数列 中，若 ，则数列 的
“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7
【答案】C
【分析】先求出 ， ， ， ， ， ， ， ，再得到 ， ，
，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．
【详解】因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ，
当 ， ， ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 时，数列 为单调递增数列，
所以 ， ， ， ，
所以数列 的“谷值点”为 ， ．
故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列 满足 ，则称 为“对奇数列”．已知正项数列
为“对奇数列”，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，进而可得 为等比数列，再求得通项公式即可.
【详解】由题意得 ，所以 ，又 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数
列，所以 ．
故选：D．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设 表示落在区间 内的偶数个数.在等比数列
中， ， ，则 （ ）
A．21 B．20 C．41 D．40
【答案】C
【分析】设 的公比为q，根据 和 求出 ，从而得 和 ，再根据 的定义可求出结果.
【详解】设 的公比为q，则 ，
所以 ，则 ，
所以 .
所以落在区间 内的偶数共有41个，故 .
故选：C
14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列 ，定义 为数列的“加权和”，已知某数列 的“加权和” ，记数列 的前n项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 与 的关系求出 ，再根据等差数列的求和公式求出 ，将 化为
对任意的 恒成立，分类讨论 可求出结果.
【详解】由 ，
∴ 时, ，
∴ ，∴ ，
时， 也成立，∴ ，
∴数列 的前n项和为：
，
∵ 对任意的 恒成立，∴ ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 对任意的 恒成立，
当 时， 对任意的 恒成立，
因为 ，∴ ，所以 ，
当 时， 恒成立， ，
当 时， 对任意的 恒成立，
因为 ，∴ ，所以 ，
综上可得：实数p的取值范围为 ．
故选：A．
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足：若 ，则 ，则称数列 为
“等同数列”．已知数列 满足 ，且 ，若“等同数列” 的前 项和为 ，且
， ， ，则 （ ）
A．4711 B．4712 C．4714 D．4718
【答案】D
【分析】先对已知关系式变形，求出数列 的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得
是周期数列，即可得 ．
【详解】由 得 ，则 ，
故 ,所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，同理得 ，， ，…，故数列 是以3为周期的数列，
所以 ，
故选:D．
16．（2022·全国·高三专题练习）设数列 ，若存在常数 ，对任意小的正数 ，总存在正整数 ，当
时， ，则数列 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列 是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，则数列 一定是收敛数列
D．设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则数列 是收敛数列
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前 项和公式逐一判
断即可.
【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因
此选项AB不正确；
选项C：设等差数列 的公差为 ，
所以 ，当 时，当 时， ，
所以数列 一定是收敛数列，因此本选项正确；
选项D：因为 ， ，所以可得 ，
当 时，由 ，两式相减，得 ，所以 ，所以该数列的周期为 ，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说
法不正确，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.
17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列 ： ， ，…， ，
若存在公比为q的等比数列 ： ， ，…， ，使得 ，其中 ，2，…，m，则称数
列 为数列 的“等比分割数列”.若数列 的通项公式为 ，其“等比分割
数列” 的首项为1，则数列 的公比q的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得， ，从而可得 且 ，可得
，再根据指数函数的单调性求出 的最小值即可
【详解】由题意可得， ，
所以 ，且 ，
当 时， 成立；当 ，3，…，10时，应有 成立，
因为 在R上单调递增，所以 随着n的增大而减小，
故 ，综上，q的取值范围是 .
故选：C.
18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}
的前n项和Sn满足 ，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．（-∞，1）
C． D．（1， +∞）
【答案】A
【分析】根据 ,利用递推公式求得数列 的通项公式.再根据新定义的意义,代入解
不等式即可求得实数 的取值范围.
【详解】因为
所以当 时,
两式相减可得 ,即 ,所以数列 是以公比 的等比数列
当 时,
所以 ，
则
由“差半递增”数列的定义可知
化简可得解不等式可得
即实数 的取值范围为
故选：A.
19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积
6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，
3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得
到的数列记为 ，则 的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A
【分析】设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
则经过第 次拓展后增加的项数为 ，从而可得 ，从而可求出 ，从
而可知经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可
得出答案.
【详解】解：设数列经过第 次拓展后的项数为 ，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一
项，则经过第 次拓展后增加的项数为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
是以 ，所以 ，
则经过11次拓展后在 与6之间增加的数为 ，所以经过11次拓展后6所在的位置为第 ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列 满足：对任意正整数
为递减数列，则称数列 为“差递减数列”．给出下列数列 ，其中是“差递减
数列”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.
【详解】对A，若 ，则 ，由函数 在 上单调递增，所以 为
递增数列，故 错误；
对B ，若 ，则 ，由函数 在 上单调递增，所以
为递增数列，故B 错误；
对C ，若 ，则 ，由函数 在 上单调递减，
所以 为递减数列，故C正确；
对D ，若 ，则 ，由函数 在 上单调
递减，所以 为递减数列，故D正确．
故选：CD．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列 满足： ， ，使得
对于 ，都有 ，则称 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）.
A．若数列 是等差数列，则 具有“三项相关性”
B．若数列 是等比数列，则 具有“三项相关性”
C．若数列 是周期数列，则 具有“三项相关性”
D．若数列 具有正项“三项相关性”，且正数 ， 满足 ， ，数列 的通项公式
为 ， 与 的前 项和分别为 ， ，则对 ， 恒成立
【答案】ABD
【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.
【详解】若 为等差数列，则有 ， ，A正确；
若数列 是等比数列，则 ， ，（ ）,即 ，易知 ，显然
成立，
时， ，取 ，有 ，也成立，所以B正确；
对周期数列：0，0，1，0，0，1， ，所以 时， ，显然不成立，所以C错误；
对D， ，即 ，
∴ ， ，易知 ，
即 ， ，故 ，D正确；
故选：ABD
22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那
契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那契数列的第n项，则数列 满足： ， ，记 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推公式可判断A,B；利用累加法计算可判断选项C,D.
【详解】对A，由 知， 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；
对B，根据递推公式 ，得 ，故B正确；
对C， ，
，
，
……，
，
∴ ，即 ，故C正确；
对D，由递推式，得 ， ，…， ，
累加得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，故D正确；
故选：BCD．
23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若 不是等比数列，但 中存在互不相同的三项可以构成等
比数列，则称 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】对于ABD，直接取特定项验证即可；对于C，定义法可证为等比数列后即可判断.
【详解】对于A：若 ，则 ， ， ，由 ，得 ， ， 成等比数
列，因为 不是等比数列，所以 是局部等比数列.故A正确；
对于B：若 ，则 ， ， ，由 ，得 ， ， 成等比数
列，因为 不是等比数列，所以 是局部等比数列. 故B正确；
对于C：若 ，则 ，则 是等比数列，所以 不是局部等比数列. 故
C错误；
对于D：若 ，则 ， ， ，由 ，得 ， ， 成等比数列，
因为 不是等比数列，所以 是局部等比数列. 故D正确.
故选：ABD.
24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列 是各项均为正数且公比不等于1的等
比数列 ，对于函数 ，若数列 为等差数列，则称函数 为“保比差数列函数”，则定义在 上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ）
A． 为“保比差数列函数” B． 为“保比差数列函数”
C． 为“保比差数列函数” D． 为“保比差数列函数”
【答案】ABD
【分析】设数列 的公比为 ，利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可.
【详解】设数列 的公比为 ，
选项A： ，
所以 是常数，
所以数列 为等差数列，A满足题意；
选项B： ，
所以 是常数，
所以数列 为等差数列，B满足题意；
选项C： ，
所以 不是常数，
所以数列 不为等差数列，C不满足题意；
选项D： ，
所以 是常数，
所以数列 为等差数列，D满足题意；故选：ABD
25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列 中，若 为常数），则称
为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A． 是平方等差数列
B．若 是平方等差数列，则 是等差数列
C．若 是平方等差数列，则 为常数）也是平方等差数列
D．若 是平方等差数列，则 为常数）也是平方等差数列
【答案】BD
【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，当 为奇数时，则 为偶数，所以 ，
当 为偶数时，则 为奇数，所以 ，
即 不符合平方等差数列的定义，故错误；
对于B，若 是平方等差数列，则 为常数），即 是首项为 ，公差为
的等差数列，故正确；
对于C，若 是平方等差数列，则 为常数），
则 ，
即 ，
当 为等差数列时， ，则 为平方等差数列，
当 不为等差数列时，则 不为平方等差数列，故错误；对于D，因为 是平方等差数列，所以 ，
把以上的等式相加，得 ，
，则 ，即数列 是平方等差数列，故正确；
故选:BD
26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；
第二次得到数列1，4，4，16，4， ，设第n次“美好成长”后得到的数列为 ，并记
，则（ ）
A． B．
C． D．数列 的前n项和为
【答案】ABD
【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据第 次“美好成长”与第n次“美好成长”的关系分
析运算；对C：根据题意分析可得： ，利用构造法结合等比数列分析运算；对D：由
，利用构造法结合等比数列可得 ，利用裂项相消结合分组求和运算求解.
【详解】对A： ，A正确；
对B：由题意可知：
，故 ，B正确；
对C：设第n次“美好成长”后共插入 项，即 ，共有 个间隔，且 ，
则第 次“美好成长”后再插入 项，则 ，
可得 ，且 ，
故数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
则 ，故 ，C错误；
对D：∵ ，则 ，且 ，
故数列 是以首项为 ，公比为3的等比数列，
则 ，即 ，
设 ，
则 ，解得 ，
故 ，
设数列 的前 项和为 ，
则
，即数列 的前n项和为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：
（1）构造法： ；
（2）裂项构造： .
27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在
数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数
列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第
次得到数列1， ， ， ，…， ,2．记 ，数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可．
【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，3，2，此时 ，
第2次得到数列1，4，3，5，2，此时 ，
第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时 ，
第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时 ，
第 次得到数列1， ， ， ， ， ，2，此时 ，
由此可得 ， ， ，故A正确；
，…， ，故C错误；由 ，可得 ，故B正确；
由 ，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列 ，若存在正整数 ，使得对任意正
整数 ，都有 （其中 为非零常数），则称数列 是以 为周期，以 为周期公比的“类周期
性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列 前
21项的和为__．
【答案】1090
【分析】确定 ，数列 从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案.
【详解】 ，故 ，由题意得数列 从第二项起连续四项成等比数列，
，
则数列 前21项的和为 ．
故答案为：
29．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列 ，记： …，
（其中 ），并称数列 为数列 的k阶商分数列.特殊地，当 为非零常数数列
时，称数列 是k阶等比数列.已知数列 是2阶等比数列，且 ，若 ，则m=___________.
【答案】23
【分析】根据给定的定义，计算 ，进而求出数列 的公比及通项，再借助累乘法求出数列
的通项即可推理计算作答.
【详解】由数列 是2阶等比数列，得 ，即 ，
且 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则有 ，即 ，当 时，
，
而 满足上式，因此 ，
由 得： ，即 ，
整理得 ，又 为小于 的任意正整数，所以 .
故答案为：23
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数
列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一
项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个
1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2
个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推
出数列后面的项．则对于外观数列 ，下列说法正确的有______．
①若 ，则从 开始出现数字2；②若 （ ，2，3，…，9），则 的最后一个数字均为k；
③ 不可能为等差数列或等比数列；
④若 ，则 均不包含数字4．
【答案】②④
【分析】对①，由外观数列定义列举判断；
对②，由外观数列定义判断；
对③，取反例，如 ；
对④，由反证法，结合外观数列定义判断.
【详解】对①， ，①错；
对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k（ ，2，3，…，9）始终在最右边，
即最后一个数字，②对；
对③，取 ，则 ，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；
对④， ，
设数列 首次出现数字4，则 必出现了4个连续的相同数字m（ ，2，3，…，9），
而 的描述必包含“1个m，1个m”，与 的描述矛盾，故 均不包含数字4，④对.
故选：②④
31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列 的前n项和为 ，对任意
都有 （t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列 为“2数列”，且 ，则
______.
【答案】2021
【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到： ，
所以 .
故答案为：2021.
32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n个正数 的“均倒数”为 ，
若各项均为正数的数列 的前n项的“均倒数”为 ，则 的值为______
【答案】8091
【分析】利用“均倒数”的概念求出 ，再利用递推关系求出 ，再代入值即可.
【详解】由已知可得数列 的前 项的“均倒数”为
可得 ,则 时,
，
当 时, ,满足 ,
.
故答案为: 8091 .
33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列 ，记 ，则称数列
为数列 的一阶商数列；记 ，则称数列 为数列 的二阶商数列；以此类推，可得数列
的P阶商数列 ，已知数列 的二阶商数列的各项均为 ，且 ，则___________．
【答案】
【分析】由题意可得 ，从而得 ，即 ，由累乘法即可求得 的值.
【详解】解：由数列 的二阶商数列的各项均为 ，可知 ，
而 ，
故数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，
即 ，
即 ，
即 ．
所以 ，
故 ．
故答案为：
34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的正整数 都有
,且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有 （ 为常数,且
）,它的前 项和为 ,并且满足 ,令 ,记数列 的“上渐近
值”为 ,则 的值为 _____．
【答案】 ##-0.5【分析】先根据 求解数列 的通项公式,得出等差数列后,利用等差数列求和方法求出 ,代入 得出
的表达式,最后即可得出上渐近值．
【详解】解:当 时, ,
当 时, ,
得到 ,
根据累乘法: ;满足n=1情况，
故而数列 是首项为0,公差为 的等差数列,
,
,
,
,
,
.
故答案为:35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为
这个数列 的变号数.已知数列 的前 项和 （ ， ），令 （
），若数列 的变号数为2，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据 ，求出 的通项公式，即可得到 的通项公式，再列出前几项，得到
，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：依题意当 时， ，
，
当 时，
，
， ， ， ， ，且 时， ，
，
要使数列 的变号数为 ，则 ，解得 或 ，即 ．
故答案为：
36．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知数列 满足
，定义使 （ ）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____．
【答案】2036
【分析】先用换底公式化简之后，将 表示出来，找出满足条件的“幸福数”，然后求和即可.
【详解】当 时， ，
所以 ，
若满足 为正整数，则 ，即 ，
所以在 内的所有“幸福数”的和为：
,
故答案为：2036.
37．（2022春·高二单元测试）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项
的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，
6，11，5，依此类推，第n次得到数列1， ， ， ，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为 ，则
的通项公式 ______.
【答案】
【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前 项和公式即可求解.
【详解】由题意得，
，
，
，， ，
，
由等比数列的前 项和公式可得， ，
所以 的通项公式 .
故答案为： .
38．（2022·黑龙江绥化·绥化市第一中学校考模拟预测）定义：若有穷数列 ， ，…， ，满
足 ， ，…， ，即 （ ，且 ），则称该数列为“对称数列”．若
数列 是项数为 的对称数列，且 ， ，…， 构成首项为 ，公差为 的等差数列，
记数列 的前 项的和为 ，则 取得最大值时 的值为__________．
【答案】 或
【分析】根据题意可得 ，则 ，再根据等差数
列前 项和公式及函数特征即可得出答案.
【详解】解：因为数列 是项数为 的对称数列，
所以 ，
所以，
对称轴为 ，
又 ，
所以当 或 时， 取得最大值.
故答案为： 或 .
39．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的
和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 是等和数列，
且 ，则这个数列的前 项的和为____.
【答案】
【解析】设等和数列的公和为m．根据 ，利用等和数列的定义求得通项公式，然后利用并项求和法
求解.
【详解】设等和数列的公和为m．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
，
故答案为：6060【点睛】本题主要考查数列的新定义以及通项公式的求法和并项求和法的应用，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
40．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的
积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列 是等积数列，且
，公积为 ，那么这个数列的前 项的和为____.
【答案】
【分析】由新定义求出数列的前几项，得出数列的周期性，然后求和．
【详解】由题意 ， ，所以 ， ， ，
所以数列 是周期为2的周期数列，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由新定义计算数列的项，归纳出数列的性质：周期数列，从而
易求和．
四、解答题
41．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列 的前 项和为 .若
，则称 是“紧密数列”.
(1)已知数列 是“紧密数列”，其前5项依次为 ，求 的取值范围;
(2)若数列 的前 项和为 ，判断 是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列 是公比为 的等比数列.若数列 与 都是“紧密数列”，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)数列 为“紧密”数列；理由见详解.
(3)
【分析】（1）根据题意，得到 ，且 ，求解，即可得出结果；
（2）根据 ，求出 ，计算 的范围，即可得出结论；
（3）先讨论 ，易得满足题意；再讨论 ，得到 ， ，根据 为“紧密”
数列，得到 或 ，分别根据这两种情况，计算 的范围，即可得出结果.
【详解】（1）若数列 为“紧密”数列，
则 ，且 ，
解得： ，
即 的取值范围为 .
（2）数列 为“紧密”数列；理由如下：
数列 的前项和 ，
当 时， ；
当 时， ，
又 ，即 满足 ，因此 ，
所以对任意 ， ，
所以 ，
因此数列 为“紧密”数列；
（3）因为数列 是公比为 的等比数列，前 项和为 ，
当 时，有 ， ，
所以 ， ，满足题意；
当 时， ， ，
因为 为“紧密”数列，
所以 ，
即 或 ，
当 时，
，
，
所以 ，满足 为“紧密”数列；当 时， ，不满足 为“紧密”数列；
综上，实数 的取值范围是 .
42．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的正整数k，若数列 满足：
，对任意正整数 总成立，则称数列 是“P
（k）数列”．若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明： 是等差数列．
【答案】证明见解析
【分析】做差得到 利用等差中项的性质，即可证明.
【详解】数列 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，因此，
当 时， ①
当 时， ②
由①知， ③
④
将③④代入②，得 其中 ，
所以 ， ， ，…是等差数列，设其公差为 ．
在①中，取 ，则
所以
在①中，取 ，则
所以 所以数列 是等差数列．43．（2023春·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，
且从第 项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个
数列的公方差．
(1)设数列 是公方差为 的等方差数列，且 ，求数列 的通项公式；
(2)若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 为常数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列 的通项公式；
（2）由数列 既是等方差数列，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列 为常数列．
【详解】（1）由等方差数列的定义可知 ，
由此可得 ，
又 ，所以 ．
（2）证明：因为 是等差数列，设其公差为 ，
则 ．
又 是等方差数列，所以 ．
故 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，故 是常数列．
44．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）对于给定数列 ，如果存在实常数 、 使得对于任意 都成立，我们称数列 是“ 类数列”．
(1)若 ， ， ，数列 、 是否为“ 类数列”？
(2)若数列 是“ 类数列”，求证：数列 也是“ 类数列”；
(3)若数列 满足 ， ， 为常数．求数列 前2022项的和．
【答案】(1)是；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）根据给定的数列，利用“ 类数列”的定义直接判断作答.
（2）利用“ 类数列”的定义推理作答.
（3）根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）因为 ，有 ，则 ， ，
故数列 是“ 类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为 ，有 ，则 ， ，
故数列 是“ 类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（2）若数列 是“ 类数列”，则存在实常数 、 ，
使得 对于任意 都成立，
显然 对于任意 都成立，
因此 对于任意 都成立，
故数列 也是“ 类数列”，对应的实常数分别为 、 ．
（3）因为 ，则 ， ， ， ，数列 前2022项的和
．
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数
列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
45．（2023·高二课时练习）定义：称 为 个正数 ， ，…， ，的“均倒数”．已知
数列 的前 项的“均倒数”为 ，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，试判断并说明 （ 为正整数）的符号；
(3)设函数 ，是否存在最大的实数 ，当 时，对于一切的自然数 都有
．
【答案】(1)
(2)正，答案见解析
(3)存在最大的实数 满足.
【分析】（1）由题知 ，再根据前 项和与通项的关系求解即可；
（2）由题知 ，进而作差判断即可；
（3）结合（2）得 ，进而当 时， 恒成立，再解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：因为数列 的前 项的“均倒数”为 ，
所以 ，所以 ①，
所以，当 时， ；
当 时， ②，
① ②得： ，
显然 时， 满足；
所以， .
（2）解：由（1）得 ，
因为 为正整数，所以 ；
下面证明 ，
因为 为正整数，所以 ，
所以， .
（3）解：假设存在最大的实数 ，当 时，对于一切的自然数 都有 ，
则 ，当 时，对于一切的自然数 恒成立，
由（2）知，数列 为单调递增数列， ，
所以，当 时， 恒成立，即 恒成立，
因为 的解集为 或 ，
所以，当 时，对于一切的自然数 都有综上，存在最大的实数 ，当 时，对于一切的自然数 都有 .
