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专题 12 立体几何专题（新定义）
一、单选题
1．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式 中的常数 称为“立圆率”.
对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式 求体积（在等边圆柱中，
表示底面圆的直径；在正方体中， 表示棱长，在球中， 表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱
（底面圆的直径为 ），正方体（棱长为 ），球（直径为 ）的“立圆率”分别为 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
2．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两
个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的
高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V= h
（S+4S+S'），其中S，S'分别是上､下底面的面积，S 是中截面的面积，h为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的
0 0
建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（
）
（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．63车 B．65车 C．67车 D．69车
【答案】B
【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法
求出所需要的车次.
【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积 ，
中截面积 ，下底面积 ，所以该建筑材料的体积为V= 立方
米，
所以建筑材料重约 （吨），
需要的卡车次为 ，所以至少需要运65车.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，
1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例 ，
泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．
如图，若 ，则由勾股定理， ，即 ，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥
底面是边长约为856英尺的正方形 ，顶点 的投影在底面中心 ， 为 中点，根据以上信息，
的长度（单位：英尺）约为（ ）．A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
【答案】C
【解析】由 和 可得
【详解】解： ，
故选：C
【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：
多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧
度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体
（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.
【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为 ，该正面体共 个顶点，因此，该正八面体的总曲率为 .
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳
直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值）， 为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南
北回归线之间，即 ．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬
度为北纬 ，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为
（ ）
A．北纬 B．南纬
C．北纬 D．南纬
【答案】D
【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角
可得结果.
【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角 ，
由华表的高和影长相等可知 ，所以 .
所以该天太阳直射纬度为南纬 ，
故选：D.
6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子
形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱
洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱
的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知
可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.
【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为 的圆弧构成，所以该零件底面周长为 ，
故其侧面积为 ．
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为
为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且
平面 ， ，……， 遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、
正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意给的定义，结合图形，分别求出a、b、c、d的值即可比较大小.
【详解】对于正四面体，其离散曲率为 ，对于正八面体，其离散曲率为 ，
对于正十二面体，其离散曲率为 ，
对于正二十面体，其离散曲率为 ，
则 ，
所以 .
故选：B.
8．（重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题）如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的
部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球
缺的高．球冠面积公式为 ，球缺的体积公式为 ，其中R为球的半径，H为球
缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为 ，则这两个球缺的体积之
比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求得 ， ，代入体积公式计算即可.
【详解】设小球缺的高为 ，大球缺的高为 ，则 ，①
由题意可得： ，即： ，②
所以由①②得： ， ，所以小球缺的体积 ，
大球缺的体积 ，
所以小球缺与大球缺体积之比为 .
故选：C.
9．（2021秋·江苏南通·高三统考阶段练习）碳 （ ）是一种非金属单质，它是由 个碳原子构成，
形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多
面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）.
A．12 B．20 C．32 D．60
【答案】B
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2求出棱数，设正五边形有 个，正六边形有 个，根据面数和棱数
即可得关于 的方程组，解得 的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳 （ ）由 个顶点，有 个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为 ，
设正五边形有 个，正六边形有 个，
则 ，解得： ，所以六元环的个数为 个，
故选：B.
10．（2018春·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设 ，定义区间 、 、 、 的长
度均为 .在三棱锥 中， ， ，则 长的取值区间的长度为
A． B．2 C． D．4【答案】B
【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A- BCD存在时CD的范围，则答案可求.
【详解】如图，
△ABC是边长为2的等边三角形，取AB中点O,连接CO，DO,可得CO= ,
因为AD⊥BD,当AD=BD时，OD最长为1,则当等腰直角三角形ABD在平面ABC上时，CD的最小值为
-1，最大值为 +1,
则要使三棱锥A- BCD存在，CD∈( -1, +1) ,
所以CD长的取值区间的长度为( +1) - ( -1)=2.
故选：B
【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.
二、多选题
11．（2022·全国·高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，
则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为
斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的 倍，已知某圆
柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜
圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
【答案】ABD
【分析】不妨过斜圆柱的最高点 和最低点 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出
过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆
柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，
得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜
圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．
【详解】不妨过斜圆柱的最高点 和最低点 作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，
矩形 是圆柱的轴截面，平行四边形 是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知 ，
则 ，设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，则 ， ，
，
所以离心率为 ，A正确；
，垂足为 ，则 ，
易知 ， ，又 ，
所以斜圆柱侧面积为 ，B正确；
， ， ， ，
椭圆面积为 ，D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表
面积为 ，C错．
故选：ABD．12．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的
运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和
的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体
的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以
正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 ．给出下列四个结论，其中，所有正确结论
的有（ ）
A．正方体在每个顶点的曲率均为
B．任意四棱锥的总曲率均为 ；
C．若一个多面体满足顶点数V＝6，棱数E＝8，面数F＝12，则该类多面体的总曲率是 ；
D．若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则该类多面体的总曲率是常数
【答案】ABD
【分析】根据曲率的定义依次判断即可.
【详解】对于A，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ，故A正确；
对于B，由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为 ，故B正确；
对于C，由多面体顶点数、面数、棱数的关系有 ，而选项C中所给的多面体的顶点数、面数、
棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；
对于D，设每个面记为 边形，
则所有的面角和为 ，
根据定义可得该类多面体的总曲率 为常数，故D正确.
故选：ABD.
13．（2020秋·山东济南·高三统考期末）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算： ．规定：
① 为同时与 ， 垂直的向量；② ， ， 三个向量构成右手系（如图1）；③
．如图2，在长方体 中，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．【答案】ACD
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可.
【详解】在长方体 中，AB=AD=2， ，
A： 同时与 垂直， ，
又因为 ，所以 ，且 ， 构成右手系，
故 成立，故A正确；
B：根据 三个向量构成右手系，可知 ， ，
则 ，故B错误；
C： ，且 与 同向共线，
，且 与 同向共线，
又 ，且 与 同向共线，即 与 同向共线，所以
，且 与 同向共线，
所以 ，故C正确；
D：长方体 的体积 ，
，所以 ，故D正确.
故选：ACD
14．（2022春·全国·高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之
一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（
）
A．长方体中含有两个相同的等腰四面体
B．“等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C．“等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到
D．三组对棱长度分别为 ， ， 的“等腰四面体”的外接球直径为
【答案】ABC
【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项．
【详解】如图，长方体 有两个相同的等腰四面体： 和 ，A正确；
如等腰四面体 中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的，
如图，设 的长分别为 ，不妨设 ，
则 ， ， ， 最大，
其所对角的余弦值为 ，最大角 为
锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，
面积相等，B正确；
把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的
三条中位线，
如等腰四面体 ，沿 剪开摊平， 共线，同理可得 共线， 共线，
为锐角三角形（与等腰四面体 的面相似），且 是这个三角形的中位线，因此
C正确；如上等腰四面体 中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外
接球直径，因此直径长为 ，D错。
故选：ABC．
三、填空题
15．（2022·高二课时练习）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角α
（0°<α<360°），使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴．如图，八面体的每一个
面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有______条．
【答案】13
【分析】根据八面体的结构特征：所有棱长相等，根据旋转轴的定义即可判断旋转轴的条数.
【详解】由题设，八面体所有棱长都相等，
所有以 为轴旋转 可以与自身重合，共3条；过正方形 对边中点的直线为旋转轴，旋转 可以与自身重合，共有6条轴；
过八面体相对面中心为旋转轴，旋转 可以与自身重合，共有4条轴.
故答案为：13
16．（2022秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系 中，过点
且一个法向量为 的平面 的方程为 .用以上知识解
决下面问题：已知平面 的方程为 ，直线 是两个平面 与 的交线，
试写出直线 的一个方向向量为___________，直线 与平面 所成角的余弦值为___________.
【答案】 （答案不唯一，满足 共线即可）
【分析】由题意可得平面 的法向量，同理可得平面 的法向量以及 的法向量，根据
已知可知直线 与这两个法向量垂直，可设直线 的方向向量为 ,即得方程组，求得直线 的一个
方向向量；继而利用向量的夹角公式可求得直线 与平面 所成角的余弦值.
【详解】平面 的方程为 ，可得平面 的法向量为 ,
平面 的法向量为 的法向量为 ,
设直线 的方向向量为 ，则 ，即 ,
令 则取 ，
设直线 与平面 所成角 ， ，
则 ，
故答案为： ；
17．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也
有方程．即过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 ，过点 且方向向量为 的直线l的方程为 ．三个“臭皮
匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面 的方程为 ，直线l是两个平面 与
的交线，则直线l与平面 所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁
知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是______．
【答案】
【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线l是两个平面 与 的交线，求出直线
的方向向量，再根据线面角的向量求法，可得答案.
【详解】因为平面 的方程为 ，故其法向量可取为 ，
平面 的法向量可取为 ，
平面 的法向量可取为 ，
直线l是两个平面 与 的交线，设其方向向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
故设直线l与平面 所成的角为 ，
则 ，
故答案为：
18．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为
，点 到平面 的距离
，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于________．【答案】
【解析】以底面中心 为原点建立空间直角坐标系 ，求出点 的坐标，求出侧面的方程，最
后利用所给公式计算即可．
【详解】如图，以底面中心 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的方程为 ，
将 坐标代入计算得
解得 ， ， ，
，
即 ，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点到平面的
距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
19．（2022秋·山东潍坊·高二校考期中）两个非零向量 ， ，定义 ．若 ，
，则 ___________．【答案】
【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
故答案为：
20．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点
到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是
__________.
【答案】
【分析】建系，求利用空间向量设点 ，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.
【详解】如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，
可得 ，
设 ，则 ，
可得 ，即 ，
故 ，同理可得： ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
对 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
即直线 与 之间的距离是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：
（1）建立适合的坐标系并标点；
（2）将图形关系转化为数量关系；
（3）代入相应的公式分析运算.
21．（2021秋·陕西西安·高一西安市第三中学校考期末） ， ， ， 为球面上四点， ， 分别是
， 的中点，以 为直径的球称为 ， 的“伴随球”，若三棱锥 的四个顶点在表面积
为 的球面上，它的两条边 ， 的长度分别为 和 ，则 ， 的伴随球的体积的取值范
围是________．
【答案】【解析】由已知求出三棱锥 的外接球 半径，求出 ，进一步求出 的范围，从而得出
答案即可.
【详解】
由题意知，三棱锥 的外接球 半径为4，故 ，且 ，
由勾股定理由 ，
由题意知， ， 的伴随球 是以 ， 为切线，
故 的最大值和最小值分别为5和1，
当 三点共线且 在线段 之间时取得最大值，
当 三点共线且 在线段 之外，满足 时取得最小值，
故球 的半径的取值范围为
， 的伴随球的体积的取值范围是
故答案为：
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的
位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中
心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于
球的直径.四、解答题
22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，定义一种运算：
，已知四棱锥 中，底面 是一个平
行四边形， ， ，
（1）试计算 的绝对值的值，并求证 面 ；
（2）求四棱锥 的体积，说明 的绝对值的值与四棱锥 体积的关系，并由
此猜想向量这一运算 的绝对值的几何意义.
【答案】（1）48，证明见解析；（2）体积为16， ， 的绝对值表
示以 为邻边的平行六面体的体积．
【分析】（1）根据新定义直接计算，由向量法证明线线垂直，得线面垂直；
（2）计算出棱锥体积后，根据数据确定关系．
【详解】（1）由题意 ＝
48．
， ，
∴ ，即 ． 是平面 内两相交直线，
∴ 平面 ．
（2）由题意 ， ，
，
，∴ ．
∴ ，
猜想： 的绝对值表示以 为邻边的平行六面体的体积．
【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题时根据新定义的规则运算即可．考查学生的创新意识，同时考
查学生的归纳推理能力．
23．（2021春·福建泉州·高一统考期末）球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是
三角形)的角､边､面积等问题，其在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端
点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点
， ， ，过任意两点的大圆上的劣弧 ， ， 所组成的图形称为球面 ，记其面积为
.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的 和 ；若球面上 ， ， 的对径点
分别为 ， ， ，则球面 与球面 全等.如图2，已知球 的半径为 ，圆弧 和 所在
平面交成的锐二面角 的大小为 ，圆弧 和 所在平面､圆弧 和 所在平面交成的锐二
面角的大小分别为 ， .记 .
（1）请写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）求 (用 ， ， ， 表示).【答案】（1） ， ， ，猜测 ；（2）
.
【分析】（1）根据已知写出 ， ， 的值，并猜测函数 的表达式；
（2）推理得到 ，因为 ，化简即得解.
【详解】解：（1） ， ， .
猜测 .
（2）
因为 ，
所以 ，
即 .
