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5.7 三角函数的应用
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
三角函数的应用 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是 ( )
A. B.50 C. D.100
【答案】A
【解析】选A.T= = = .
2.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关
系式θ= sin ,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是( )
A. , B.2,
C. ,π D.2,π
【答案】A
【解析】选A.当t=0时,θ= sin = ,由函数解析式易知单摆的周期为 =π,故单摆的频率为 .
3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是 ( )A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【答案】D
【解析】选D.该质点振动周期为0.8 s,振幅为5 cm,故A,B错误.该质点在
0.1 s和0.5 s时的速度为零,故C错误.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零,故D正确.
4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin ,则下列判断正确的是( )
A.电动势的最大值为110
B.电动势的最小正周期为
C.电动势的初相位为100π
D.电动势等于0时,时间t的值为0.017 5
【答案】B
【解析】选B.因为电动势的最大值为220,所以A错误,因为电动势的最小正周期为T= = ,所
以B正确,因为电动势的初相位为100π×0+ = ,所以C错误,因为当220sin =0时,t=
,k∈Z,所以D错误.
5.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】选C.函数y=-sin x的周期T=4且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7.
6.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos ,则这个物体的位移的最
小正周期为________.
【答案】 π
【解析】因为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是 ,所以T=
.
7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,
周期为 ,初相为 ,则这个函数的解析式为________.
【答案】y=3sin
【解析】由题意得A=3,T= ,φ= ,则ω= =7,故所求函数解析式为y=3sin .
8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)= Asin(ωx+φ)+B
A>0,ω>0, < 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根
据以上条件求f(x)的解析式.【答案】函数解析式f(x)=2sin x+7.
【解析】由题意得T=2×(9-3)=12,故ω= = ,
A= = =2,B= =7,
又f(3)=9,故 ×3+φ= ,即φ=0,
所以函数解析式f(x)=2sin x+7.
能力提升
9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,
某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,
单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
【答案】C
【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;
当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,
所以ω可取 ,φ可取π,
即y=500sin +9 500.
当x=3时,y=9 000.
10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________.
【答案】80.
【解析】因为T= = ,所以此人每分钟心跳的次数为f= =80.
11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30
s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.
(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
【答案】(1) h=10sin t+12(t≥0).
(2)此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
【解析】(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角度为 t= t,故在t s时,此人
相对于地面的高度为h=10sin t+12(t≥0).
(2)由10sin t+12≥17,得sin t≥ ,则 ≤t≤ .
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
素养达成
12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距
离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P 处.
0
(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?
【答案】(1)h=10-8cos t(t≥0). (2)有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.
【解析】(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P,由OP在t分钟内所转过的角为 t= t,
可知以Ox为始边,OP为终边的角为 t+ π,则P点的纵坐标为8sin ,
则h=8sin +10=10-8cos t,
所以h=10-8cos t(t≥0).
(2)h=10-8cos t≥14 cos t≤- π+2kπ≤ t≤ π+2kπ(k∈Z).
⇒ ⇒
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,故不妨令t∈[0,12],所以4≤t≤8.
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.
