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第九章 统计
9.2.3 总体集中趋势的估计
一、基础巩固
1．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的
频数分布表如表：
得分 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 10 6 3 2 2 2
设得分的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图知，众数是 ；
中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是 ；
平均数是 ；
∴ ．
故选：D．
2．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知：A．甲队得分的众数是3
B．甲、乙两队得分在 分数段频率相等
C．甲、乙两队得分的极差相等
D．乙队得分的中位数是38.5
【答案】D
【详解】
A.甲对得分的众数是33和35，所以该选项是错误的；B. 甲、乙两队得分在 分数段频率分别为
和 ，所以甲、乙两队得分在 分数段频率不相等，所以该选项是错误的；C.甲队得分的极差为
51-24=27，乙队得分的极差为52-22=30，所以甲乙两队得分的极差不相等，所以该选项是错误的；D. 乙
队得分的中位数是 ,所以该选项是正确的.故答案为D
3．甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 参赛人数 平均数 中位数 众数 方差
甲 45 83 86 85 82
乙 45 83 84 85 133
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分 分为优秀）；
③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；
④乙班成绩波动比甲班小.其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
①从表看出甲、乙两班学生的平均成绩相同，正确；
②因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；
③根据甲、乙两班的众数，所以正确；
④因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误
故选：C.
4．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）
A．甲得分的平均数比乙的大 B．乙的成绩更稳定
C．甲得分的中位数比乙的大 D．甲的成绩更稳定
【答案】B
【详解】
甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，
甲得分的方差明显比乙大.
故选:B
5．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
【答案】D
【解析】
分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数
的值.
详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，
所以中间一个矩形最该，故数据的众数为 ，
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 轴的直线横坐标，
第一个矩形的面积为 ，第二个矩形的面积为 ，故将第二个矩形分成 即可，
所以中位数是 ，故选D.
点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于
对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
6．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成
茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．17.5和17 B．17.5和16
C．17和16.5 D．17.5和16.5
【答案】D
【详解】
根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,
再根据中位数的概念可得中位数为17.5,
根据平均数的概念可得平均数为 .
故选:D
7．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶6次，两人成绩的条形图如图所示，则甲的成绩的众数与乙的成
绩的中位数分别是A．2，2 B．2，5.5 C．7，5 D．7，5.5
【答案】D
【解析】
【详解】
从甲的条形图可看出：甲命中7环的次数最多，且为2次，所以甲的成绩的众数为7，从乙的条形图可看
出乙的成绩的中位数为
故选D．
8．如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据给出了如下四个结论： 众数是9； 平均数
10； 中位数是9或10； 方差是 ，其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
解：茎叶图中的数据是7，8，9，9，9，10，11，12，12，13；
所以，众数是9， 正确；
平均数是 ， 正确；
中位数是 ， 错误；
方差是， 正确；
所以，正确的命题有3个；
9.下面的茎叶图表示的是甲乙两人在 次综合测评中的成绩、其中一个数字被污损，已知甲、乙的平均成
绩相同，则被污损的数字为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设被污损的数字为x,
由题得 ,
解之得x=9.
故选：C
10．组数据 ， ，…， 的平均值为3，则 ， ，…， 的平均值为
A．3 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【详解】
由题得 ，
所以 ， ，…， 的平均值为 .
故选：B
11．第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行．如下图所示的茎叶
图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数大于乙的中位数
C．甲的方差大于乙的方差
D．甲的极差小于乙的极差
【答案】C
【详解】
由于 ，故A选项错误.甲的中位数为 ，乙的中位数为 ， ，故B选
项错误. ，故C选项判断正确.甲的极差为 ，乙的极差为
， ，故D选项错误.综上所述，本小题选C.
12．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的长度的众
数为（ ）
A．23.25 mm B．21.25 mm C．21.75 mm D．22.50 mm
【答案】D
【详解】
在频率分布直方图中，众数即最高矩形的中间值，所以这批产品的长度的众数是22.50mm．
二、拓展提升13．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，
保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓
质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值
分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方图.
（1）求出直方图中 的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数
据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).
【答案】（1） ；（2）平均数为71，中位数为73.33.
【详解】
（1）由 ，得 .
（2）平均数为 ，
设中位数为 ，则 ，得 .
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
14．2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，
现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求该样本的中位数和方差；
【答案】（1）中位数为81.5，方差为98.83
【详解】（1）样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96.数据的中位数为：
平均数为
方差为
15．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过 的包裹收费10元，重量超过 的包裹，除收费
10元之外，超过 的部分，每超出 （不足 ，按 计算）需要再收费5元．该公司近60天每
天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；
（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的
作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天
的利润有多少元？
【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．
【详解】
（1）每天包裹数量的平均数为
；
的频率为 ， 的频率为
中位数为 ，
所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，
利润为 元，
所以该网点平均每天的利润有1000元．
