文档内容
机密"启用前!全国卷文科数学"
华大新高考联盟#$#%届高三%月教学质量测评
文科数学参考答案和评分标准
一#选择题
题号 ! # & % ’ ( " ) * !$ !! !#
答案 + , - , . , . - , + , .
!!#答案$+
#命题立意$本题考查集合元素的性质%集合间的关系&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
#解析$依题意&"##&若$%/!(&解得$/0#!$/#舍去"&若$%/)$&解得$/$!$/#舍去"&综上所述&
$/$或$/0#&故选+!
#!#答案$,
#命题立意$本题考查复数的概念%复数的四则运算%复数的几何意义&考查数学运算%逻辑推理%直观想象
的核心素养!
% #0&1 !#0&1"!&0’1" * !* !*
#解析$依题意&%/#0&1&%/&2’1&则 !/ / /0 0 1&故所求虚部为0 &故
! # % &2’1 !&2’1"!&0’1" &% &% &%
#
选,!
&!#答案$-
#命题立意$本题考查频率分布直方图%样本的数字特征&考查数学运算%逻辑推理%直观想象%数学建模的
核心素养!
#解析$依题意&$!!’2$!#2#$2$!#2$!!2$!$’/!&解得$/$!!’&则前三块小矩形的面积分别为$!!’&
$!!’
$!#&$!&&故所求中位数为’2 3#/(&故选-!
$!&
%!#答案$,
#命题立意$本题考查指对数的运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
& &
#解析$依题意&%!’/’245&&%!*/’245&&两式相减可得&$!%/45& 045& /45 #&故 #/!$$!%/
! # # ! & &
! !
槡 ’ !$$&而#!’’$*)%!$$%&’/#%&&故槡 ’ !$$&!#!’&&"&故选,!
’!#答案$.
#命题立意$本题考查分层抽样的平均数与方差&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
’$3’2%$3&2!$3&
#解析$所有人的平均工资为 /%千元&故该公司所有员工工资的方差为
!$$
!
!$$
’’$3(%2!’0%"#)2%$3()2!&0%"#)2!$3((2!&0%"#)*/(6)&
D 1 F C 1
故选.!
(!#答案$, A 1 I B 1 H G
#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%基本事实以及面面平行的性
E
质定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$作出图形如图所示+不妨设#"/(&分别延长#’%#" 交于点(&
! ! D C
此时"(/&&连接)(交"* 于+&连接’+&设平面#’)与平面
! ! !
,** ! , ! 的交线为-&则)&-&因为平面#"" ! # ! ’平面,** ! , ! &平面 A B
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!!页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}
书书书#’)(平面#""#/#’&平面#’)(平面,**,/-&所以-’#’&设-(,,/.&则).’#’&此时
! ! ! ! !
%
)),.*)#"’&故.,/ &连接#.&则五边形#.)+’为所求截面图形&故选,!
! ! &
"!#答案$.
#命题立意$本题考查空间几何体的结构特征%空间点线面的位置关系&考查数学运算%逻辑推理%直观想象
的核心素养!
#解析$因为点/不在平面#*0上&故#&*&/&0四点不共面+而#//槡#"#2"/#/#槡(&*0/
槡*"#2"0#/#槡’&故#/+*0+#*,",&而*/不垂直于平面#"*,&则*/与",不构成垂直关
系&",不垂直于平面#/*&故#/与",不垂直+/*//"/#槡#&#*/%槡#&#/#2/*#/#*#&则
)#*/为直角三角形&故选.!
)!#答案$-
#命题立意$本题考查三角函数的诱导公式%二倍角公式%同角三角函数的基本关系&考查数学运算%逻辑推
理%直观想象的核心素养!
#718!
#0
#718#!2!29:7#!0#;<8! #0#;<8! 9:7! %!9:7!0718!"
#解析$ / / / !-"
718! 718! 718! #718!9:7!
!&" " 槡# 槡# % %槡# &# !"
而9:7 0!/0 9:7!2 718!/ &则718!09:7!/ &则!0#718!9:7!/ &则#718!9:7!/ &代
% # # " " %* %*
#718#!2!29:7#!0#;<8! !(槡# %* !!#槡#
入!-"式可知 /0 3 /0 &故选-!
718! " !" !"
*!#答案$,
#命题立意$本题考查二次函数的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
030#
.
!
&
030#
.
!
&
030#
20
!
&
030#
20
!
&
# # # # # # # #
#解析$令1!2"/2#0!30#"22!&则/ 或/ 或/ 或/ 解
!!" ! !" ! !" !!"
1 .$ 1 0 2$ 1 0 .$ 1 2$&
1 # 1 # 1 # 1 #
* !
得&232 或0 232!&故选,!
# #
!$!#答案$+
#命题立意$本题考查三角函数的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
0#
%
!
2$/#4
!
!2
#
!
!4
!
&!"&
’#! ( !)
#解析$令/
&
2$/4
#
!!4
#
&!"& 则#/
!"
或
!"
&故选+!
5 ! ’! ! "!
/ . 0 / &
1# # ( % !#
!!!#答案$,
#命题立意$本题考查抛物线的方程%直线与抛物线综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核
心素养!
#解析$依题意抛物线*,6#/%2&设直线#/,20%/7!60%"!7+$"&设/!2&6"&0!2&6"&联立
! ! # #
020%/7!60%"&
/ 则6#0%762!(!70!"/$&故6/%或6/%70%&则点/到直线6/0%的距离为
16#/%2&
! % %
62% / %7&则点0到直线6/0%的距离为 %- / &故所求距离之积为 %7- /!(&故
! 07 7 7
选,!
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!#页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}!#!#答案$.
#命题立意$本题考查利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$依题意&$248!$2"2#2=#2&故=48!$2"48!$2"2#2=#2&令8!2"/2=2&2&"&由89!2"/!22!"=2可
得2/0!是8!2"的极小值点&8!2"在!0>&0!"上单调递减&在!0!&2>"上单调递增&且当2%$
=#2
时&8!2"%$&当23$时&8!2"3$!由8!48$2"28!#2"!23$"&得48!$2"2#2&则$2 对任意的2&
2
=#2 !#20!"=#2 ! !"
!$&2>"恒成立&令1!2"/ &2&!$&2>"&则19!2"/ &故当2& $& 时&19!2"%$&
2 2# #
!! " !!"
1!2"单调递减&当2& &2> 时&19!2"3$&1!2"单调递增&故(1!2") /1 /#=&则$2#=&
# ?18 #
故$&!$&#=)&故选.!
二#填空题
!&!#答案$小强!
#命题立意$本题考查双曲线的标准方程%双曲线的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$分析可知&小明%小红%小强三个人中必有!位同学说法错误&则小同的说法一定是正确的&即:0
2# 6#
$/!&则小明和小红正确&即双曲线*, 0 /!&故小强的说法错误!
!( *
!%!#答案$’槡(!
#命题立意$本题考查正弦定理%余弦定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
&(2!$$0!*( ! #!
#解析$在)#/*中&由余弦定理&得9:74#/*/ /0 &则4#/*/ &即4#/"/
#3(3!$ # &
! ! ! !$ #"
&在)#"/中&#//!$&4#"// &4#/"/ &由正弦定理得 / &解得#"/’槡(!
& % & ! !
718 718
% &
!’!#答案$(0!)&!))! y
#命题立意$本题考查平面向量的数量积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象 B
的核心素养!
C A
#解析$解法一,#"/"*/",&记#*&",的交点为;&以;为原点&#*&", O x
M
所在直线分别为2&6轴建立如图!所示的平面直角坐标系&则"!$&&"&
D
665 665 665
*! 0&槡&&$ "&"*/! 0&槡&&0& "&#! &槡&&$ "&,!$&0&"&故#//%#,/
665 图!
! 0&槡&%&0&% "&则/! &槡&0&槡&%&0&% "&故"//! &槡&0&槡&%&0&%0& "&
665 665
则"*-"//&(%0!)&(0!)&!))! A M D
665 665 665 665
解法二,"*-"//7"*77"/79:74/"*&如图#所示&当/在线段#,上
665 665 665
运动时可得07#"727"/79:74/"*27",7&即0&27"/79:74/"*
! !
665 665
2&&所以0!)2"*-"/2!)! A
1
B D
1
C
!(!#答案$&(!! 图#
#命题立意$本题考查空间几何体的表面积与体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$设’&)分别为"*&#,的中点&连接#’&,’&")&*)&由已知&#"/,"&#*/,*&"*/"*&故
)#"*8),"*&因为’是"*的中点&所以#’/,’&因为#)/,)&故’),#,&即’)是线段#,
的垂直平分线&同理可得&’)是线段"*的垂直平分线&故球心在’)上&设球的半径为<&则
’;"2;*."*/&& ’#<.&&
即 故<.&&此时;为线段#,的中点&故所求外接球体积的最小值为&(!!
;#2;,.#,/(& #<.(&
三#解答题
!"!#命题立意$本题考查回归直线方程的概念与运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!&页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}!2#2&2%2’2(2"2)2*2!$
#解析$!!"依题意&29/ /’!’&…………………………………… !!分"
!$
0!2!2#2&2&2%2%2%
6 :/!$2 /!#&…………………………………………………………… !#分"
!$
!$ !$
;!2A29"!6A6 :" ;26A!$29
6
:
@ @ @@
故= >? @?! ? @?! ? "!$A!$B’!’B!# ? #$ & ……………… !(分"
!$ !$ &)’A!$B’!’# &&
; !2A29"# ;2#A!$29#
@ @
@?! @?!
= $/!#0 #$ 3 !! / #( &故所求回归直线方程为= 6/ #$ 22 #( !……………………………………… !"分"
&& # & && &
!#"由!!"可知&当2/##时&= 6/ #$ 3##2 #( /##9?& …………………………………………… !!$分"
&& &
故所求残差为#!!&0##/0$!"9?! ……………………………………………………………… !!#分"
!)!#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%空间几何体的体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核
心素养!
!
#解析$!!"取C,的中点D&连接/D&0D&则/D’*,&且/D/ *,&………………………… !!分"
#
故/D’"0&/D/"0&则四边形/D0"为平行四边形&………………………………………… !#分"
故"/’0D&…………………………………………………………………………………………… !&分"
而"/<平面C,0&0D=平面C,0&故"/’平面C0,!………………………………………… !%分"
!#"取#,的中点;&连接;C&因为)C#,为等边三角形&故C;,#,&
因为C#,,平面#"*,&且C#,(平面#"*,/#,&故C;,平面#"*,&…………………… !’分"
因为#,/%&故C;/#槡&& S
! M
因为/为C*的中点&故/到平面",*的距离为 C;/槡&&
# P
D
在菱形#"*,中&4,#"/($@&故)",*为等边三角形& C
! 槡& O
又#,/%&故C / 3 3%#/%槡&&
)",* # #
A N B
! ! !
故& / -C - C;/ 3%槡&3槡&/%&………… !!$分"
/E",* & )",* # &
由/为C*的中点可得&点C到平面",/的距离等于点*到平面",/的距离&
故& /& /& /%&即四面体C",/的体积为%!…………………………………… !!#分"
CE",/ *E",/ /E",*
!*!#命题立意$本题考查数列的递推关系%裂项相消法&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
#解析$!!"当F/!时&#C/#$/$2#&解得$/#+……………………………………………… !!分"
! ! ! !
当F.&时&#C/F!$2#"&#C /!F0!"!$ 2#"&
F F F0! F0!
两式相减可得&!F0#"$0!F0!"$ /0#&
F F0!
$ $ !! ! "$ $ !! ! " $ $ ! !"
则 F 0 F0!/0# 0 &F0!0 F0#/0# 0 &.&&0 #/0#!0 &
F0! F0# F0# F0! F0# F0& F0& F0# # ! #
$ $ %0#F
累加可得& F 0 #/ &则$/F2!+ ………………………………………………………… !’分"
F0! ! F0! F
而F/!&#也符合题意&故$/F2!+………………………………………………………………… !(分"
F
! ! ! !
!#"依题意& / / 0 &………………………………………………… !"分"
$$ !F2!"!F2#" F2! F2#
FF2!
! ! ! ! ! ! ! ! ! F
故 2 2.2 / 0 2 0 2.2 0 / &…………………… !)分"
$$ $$ $$ # & & % F2! F2# #!F2#"
! # # & FF2!
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!%页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}! ! ! F F
解法一,故 2 2.2 .%$ > .%!F2#">%2 &
$$ $$ $$ F2! #!F2#" #!F2#"#
! # # & FF2!
( F )
则%2 & ……………………………………………………………………………… !!$分"
#!F2#"#
?& !………………………………………………………………… !!#分"
!(
! ! ! ! ! ! ! !! !"#
解法二,故 2 2.2 / 0 .%!F2#">%2 0 /0 0 2
$$ $$ $$ # F2# #!F2#" !F2#"# F2# %
! # # & FF2!
!
&……………………………………………………………………………………………………… !!$分"
!(
( ! ! ) !
当F2#/%即F/#时& 0 / &
#!F2#" !F2#"# !(
?& !……………………………………………………… !!#分"
!( !(
#$!#命题立意$本题考查导数的几何意义%利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的
核心素养!
#解析$!!"依题意&8!2"/!=2020!"=2&则89!2"/!#=2020#"=2&…………………………… !!分"
则89!$"/$&8!$"/$&故所求切线方程为6/$+…………………………………………………… !%分"
!#"由89!2"/$得#=2 $020#/$&设G!2"/#=2020#&则G9!2"/#=20!&
$ $
令G9!2"3$得23048#&令G9!2"%$得2%048#&
故G!2"在!0>&048#"上单调递减&在!048#&2>"上单调递增&……………………………… !(分"
!@在单调递增区间!048#&2>"上&G!$"/$&故2/$&由8!2"/$得3/$+ ………………… !"分"
$ $
#@在单调递减区间!0>&048#"上&G!0#"/#=0#3$&G!0 & "/#=0& #0 ! %$&
# #
& 22#
故在区间!0#&0 "上存在唯一的2&使得#=2 $020#/$&故=2 $/ $ +…………………… !*分"
# $ $ #
!22# "22# ! !
此时由8!2"/$&得3/!=2 $020!"=2 $/ $ 020! $ /0 2!22#"/0 !22!"#2
$ $ # $ # % $ $ % $
! ! ! ! &" ! &" & &
&函数 $ !2"/0 !22!"#2 在 0#&0 上递增& $ !0#"/$& $ 0 / &故$%3% !
% % % # # !( !(
综上!@&#@所述&$2!(3%&!………………………………………………………………………… !!#分"
#!!#命题立意$本题考查椭圆的方程%直线与椭圆的综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
2#
#解析$依题意&>/!&故椭圆*, 26#/!+ ………………………………………………………… !!分"
$#
!! !" 665 665 ! !" ! !"
!!"易知点( & 为)/)) 的重心&则;//&;(/ !& &故/!& &
! & ( ! # ! # #
! ! % &2#
代入椭圆方程得 2 /!>$#/ &B椭圆*的方程为 26#/!!…………………………… !%分"
$# % & %
!#"解法一,易知点(&( 分别为)/))&)0)) 的重心&设C /C&C /C&设点/!2&
! # ! # ! # )))/ ! )))0 # !
!# !#
! !
6"&0!2&6"&则根据重心性质及面积公式得C / C / !C2C"& ……………… !’分"
! # # )/0( # & )/0) ! & ! #
! ! ! #
C /C2C0 C0 !C2C"/ C2 C&……………………………………………… !(分"
)0) ! ( ! ! # & ! & ! # & ! & #
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!’页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}% !! # " ’
而%C 2&C 2’C &B !C2C"2& C2 C 2 !C2C"&……………… !"分"
)/0( # )0) ! ( ! )/0( # & ! # & ! & # & ! #
B/ 0C ! 2#C # & > ! 2 C !2#&B ! 2 6 ! 2#&B 6 !& ( 0#&0 !) & ………………………………… !)分"
1C # 2#C ! & # C # # 06 # 6 # #
#
解法二,易知点( 为)0)) 的重心&0(/ 0;&
# ! # # &
# # !
BC / C / -!C 2C "&C /C 2C 2C &C / C &
)/0( # & )/0; & )/;) # )0;) # )0) ! ( ! )0;) ! )0;( ! )( ! ;) ! )0;( ! & )/0;
……………………………………………………………………………………………………… !’分"
!! ! "
此时&设点/!2&6"&0!2&6"&)!0:&$"&)!:&$"&则根据重心的性质可得( 2&6 &
! ! # # ! # ! & ! & !
! ! ! !
CC / - ;) - 606 / :!606"&C / - ;) - 6 /0 :6&C /
)/0; # # ! # # ! # )0;) ! # ! # # # )( ! ;) !
! ! !
- ;) - 6 / :6&
# ! & ! ( !
! ! ! ! ! :6 #:6
BC / C / :!606"&C /0 :62 :!606"2 :6/ !0 #&C /
)0;( ! & )/0; ( ! # )0) ! ( ! # # ( ! # ( ! & & )/0( #
# !
C / :!606"+……………………………………………………………………………… !(分"
& )/0; & ! #
C
% )0)( ’
而%C 2&C 2’C &B 2 !!2 &……………………………………………… !"分"
)/0( # )0) ! ( ! )/0( # & C )/0( &
#
6
!0#
60#6 (% ’)60#6 6 ! 6 ( !)
B ! #& & &! #/ # /!0 > !& 0#&0 &………………………… !)分"
606 & & 606 6 6 6 #
! # ! # !0! !0! #
6 6
# #
02/762:&
设直线-,2/762:&则联立椭圆方程得/2#
26#/!&
1$#
消元化简得&!7#2$#"6#2#7:60!/$&
0#7: 0!
B626/ &66/ & …………………………………………………………………… !*分"
! # 7#2$# ! # 7#2$#
6 6 6#26# !626"#0#66 %7#:# ( ’ )
B !2 #/ ! #/ ! # ! #/0 0#& 0 &0# &
6 6 66 66 7#2$# #
# ! ! # ! #
%7#:# !
B$2 2 >!)$#0*"7#2$#对任意的7恒成立&…………………………………………… !!!分"
7#2$# #
即得)$#0*2$>!%$2 &槡# &故实数$的取值范围为 ! !& &槡# ) !………………………………… !!#分"
% %
##!#命题立意$本题考查极坐标方程%参数方程之间的转化%直线与圆的位置关系&考查数学运算%逻辑推理%
直观想象的核心素养!
’20!/9:7#!&
#解析$!!"依题意&曲线*, 则!20!"#26#/!&…………………………………… !!分"
6/718#!&
即2#26#0#2/$&则
&
#0#&9:7’/$&故曲线*的极坐标方程为 &/#9:7’&……………………… !&分"
而直线-, &9:7’0&718’2槡#$/$&则直线-的一般方程为2062槡#$/$&………………………… !’分"
! !
!#"设圆心*!!&$"&因为点;在圆上&且4#;"/ &所以4#*"/ &
% #
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!(页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}槡# !2槡#$ 槡#
则点*!!&$"到直线-的距离为 &所以H/ / &
# 槡# #
则$/$或$/0槡#&…………………………………………………………………………………… !"分"
当$/$时&直线-过原点&舍去+故$/0槡#&则直线-,2060#/$&……………………………… !)分"
! 槡# 槡#
故圆心*!!&$"到直线-的距离H/ / &故所求距离的最大值为 2!!…………………… !!$分"
槡# # #
#&!#命题立意$本题考查绝对值不等式的解法%绝对值函数的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想
象的核心素养!
!!"8!2" !!""
#解析$!!"依题意& 2 &故8!2"/ #20% 2 22& ."& ………………………… !!分"
# #
当2%0&时&%0#2020&."&解得220#&故2%0&+ ………………………………………… !#分"
当0&222#时&%0#2222&."&解得22$&故0&222$+……………………………………… !&分"
) )
当23#时%222&."&解得2. &故2. + ……………………………………………… !%分"
& &
!!"8!2" ! ’ )* y
综上所述&不等式 2 的解集为 222$或2. & …… !’分"
# !#) &
0!0&2&2%0&&
!#"由!!"可知&8!2"//"02&0&222#&作出函数8!2"的图象如右图
1&20!&23#&
所示& …………………………………………………………………… !"分"
B
观察可知&临界状态为直线6/422!过"!#&’"或与直线6/!0&2平行& A
O x
故实数4的取值范围为!0&&#"! …………………………………… !!$分"
文科数学参考答案和评分标准!第!!!!"页!共"页"
{#{QQABYQyQogggApAAARgCUQFQCgCQkBEACAoOQBAEIAAAyQFABAA=}#}
