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南宁二中 2024 年 5 月高三月考
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知复数 满足 ，复数 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C．
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限，故选：C．
2．已知 ，则
A．- B． C．1 D．-1
【答案】A．
【解析】由 ，解得 ，
所以 ．故选：A．
3．若函数f (x)=log |x-1|在区间(1，2)上有f (x)>0，则f(x)的递增区间是
a
A．(-∞，1) B．(1，+∞) C．(-∞，-1) D．(-1，+∞)
【答案】A．
【解析】设t=|x-1|，当1<x<2时，0<t<1，因为f (x)>0，所以0<a<1，
函数y=log t在(0，+∞)上单调递减，因为y=|x-1|的单调递减区间为(-∞，1)，
a
所以f(x)的递增区间为(-∞，1)，故选A．
4．已知集合 ，集合 ，则 的子集个数为
A．8 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】集合A表示直线 上的所有点的集合，集合B表示圆 上所有点的集合，
【5月月考数学试题 第1页，共12页】
学科网（北京）股份有限公司因为圆心 到直线 的距离为 ，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故 中只有一个元素，故 的子集个数为 ．故选：C．
5．已知平面直角坐标系 中，椭圆 ： （a>b>0）的左顶点和上顶点分别为 ，过椭圆
左焦点 且平行于直线 的直线交 轴于点 ．若 ，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆 ： 的方程可得：
，其中 ，则 ，
过椭圆 左焦点 且平行于直线 的直线方程为： ，
将 代入该直线方程，可得点 的坐标为 ，若 ，则 ，得 ．故选：D．
6．8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，
则不同的排列方式共有（ ）
A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种
【答案】C
【解析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排，则不同的排列方式共有 ；
若E和F站在后排，则不同的排列方式共有 ；
所以不同的排列方式共有 种．故选：C．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
因 则等差数列 的公差 ，故 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
即当 时， 取得最大值25．故选：B．
8．在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点， 是正方体表面上的一点，若
【5月月考数学试题 第2页，共12页】，则线段 长度的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】C
A B C D
【解析】连接 ，在正方体 中， 平面 1 1 1 1，
A B C D A B C D
四边形 1 1 1 1是正方形，因为 平面 1 1 1 1，所以 ，
又 ， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以当点P在线段 （点 除外）时， ，取 的中点E，连接 ，
在正方形 中，因为E为 的中点， 是棱 的中点，所以 ，因为AB⊥平面 ，
平面 ，所以 ，因为 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，设平面 平面 ，则 ，所以 ，则 是棱 的
中点，
所以当点 在正方体 的表面线段 上时， ,
由题意可知，在梯形 中，
， ， ，
，
所以线段 长度的最大值是 ．故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，
记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件 ，则
【5月月考数学试题 第3页，共12页】
学科网（北京）股份有限公司A． B． 为互斥事件
C． D． 相互独立
【答案】AC
【解析】 正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”， 不互斥， 错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为 正确；
不独立，
D错误．故选：AC．
8．已知函数 ，对于任意 ，有 ，则
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 上共有6个极值点
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，
因此 ，从而 ，注意到 ，
故 ，所以 ，
又 ，即 的图象关于直线 对称，从而 ，
即 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 的最小正周期为 ，A正确．
因为 ，所以函数 的图象不关于点 对称，B错误．
当 时， ，故函数 在 上单调递减，C正确．
令 ，得 ,令 ,得 ,故 ,易
【5月月考数学试题 第4页，共12页】知函数 在 单调递增，在
单调递减，故函数 在 上共有6个极值点，D正确．
故选：ACD．
11．已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满
足： ，且 在(-∞，0)上单调递减， ，则下列结论错误的
是
A． B．
C． 在定义域内单调递减 D． 为奇函数
【答案】BC
【解析】对于 ，令 ，则 ，
因 ，故得 ，故A正确；
对于 由 ，令 ，则 ，
则 ，即 ，
故 是以 为首项，2为公比的等比数列，
于是 ，故B错误；
对于 ，由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ①，
把 都取成 ，可得 ②，
将②式代入①式，可得 ，化简可得 即 为奇函数，故D正确；
对于C， 在 上单调递减，函数为奇函数，可得 在 上单调递减，
【5月月考数学试题 第5页，共12页】
学科网（北京）股份有限公司但是不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故C错误．故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为_____________．
【答案】
【解析】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为 ，底面半径为2，圆锥的
高为 ，所以圆锥的体积为 故答案为
13．在△PAB中， ，点Q满足 ，则 的最大值为_____________．
【答案】
【解析】设 中点为M，则 ，
，
由 ，知P点轨迹是以 为弦，圆周角为 的优弧，
∴当 时， 最大，此时△PAB是等边三角形，
则 ．
故答案为： ．
14．设a，b≥0，a+b=1．将a2，b2，2ab这三者中的最大值记为M．当a，b变化时，M的最小可能值
是_____________．
4
【答案】 ．
9
【解析】不妨设a≥b，则只需考虑M=a2(≥2ab)及M=2ab(≥a2)两种情形．
2 4
若a2≥2ab，则 ≤a≤1，则M=a2≥ ；
3 9
1 2 2 1 4
若a2<2ab，即b≤a<2b，即 ≤a< ，则M=2ab=2a(1-a)>2× × = ，
2 3 3 3 9
2 1 4
当a= ，b= 时，M取到最小值 ．
3 3 9
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列 满足 ．
（1）若数列 满足 ，证明： 是常数数列；
【5月月考数学试题 第6页，共12页】（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1）因为
，
所以 ，所以 是常数数列．
（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以
，所以 ．
16．（15分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区植
物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个
作为样区，调查得到样本数据 ，其中 和 分别表示第 个样区的植物覆盖面积（单
位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
．
（1）求样本 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：
只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，
记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列．
附：相关系数 ．
【解析】（1）样本 ， ，2， ， 的相关系数为
【5月月考数学试题 第7页，共12页】
学科网（北京）股份有限公司．
由于相关系数 , ，则相关性很强， 的值越大，相关性越强．
故 ，故相关性越强．
（2）由题意得： 的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样
本平均数，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
17．（15分）在梯形 中， ， ，四边形 为矩形，平面
平面 ， ．
（1）求证：BC⊥平面 ；
（2）若点 在线段 上运动，设平面 与平面 的夹角为 ，试求 的范围．
【详解】（1）证明：在梯形 中，因为 ， ， ，
所以 ，由余弦定理得 ，
可得 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以BC⊥平面 ．
（2）解：因为四边形 为矩形，所以 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又因为 ，
以 为原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，
由 平面 ，可得平面 的法向量 ，
又由 ，设 ，
【5月月考数学试题 第8页，共12页】可得 ， ，
设平面 的法向量 ， ，
令 ，可得 ，所以 ，
则 ，
当 时，可得 最小为 ；当 时， 最大为 ，
所以 的范围为 ．
18．（17分）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且
．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于
点P，Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围．
y
l
【解析】（1）因为 ，故 ，故抛物线的方程为： ．
P
A
（2）【方法一】（通解通法）：设 ， ， ，
R
所以直线 ，由题设可得 且 .
N
O F x
M
由 可得 ，故 ，
B
Q
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，同理 ，
由 可得 ，所以 ，
【5月月考数学试题 第9页，共12页】
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，故 ，
令 ，则 且 ，故 ，
故 即 ，解得 或 或 ．
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或 ．
【方法二】（利用焦点弦性质）：
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，由题设可得 且 ．
由 得 ，所以 ．
因为 ， ，
．
由 得 ．同理 ．
由 得 ．因为 ，
所以 ，即 ．故 ．
【5月月考数学试题 第10页，共12页】令 ，则 ．
所以 ，解得 或 或 ．
故直线 在x轴上的截距的范围为 ．
【方法三】（最优解）：设 ，
由 三点共线得 ，即 ．
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ．
设直线 的方程为 ，则 ．
所以 ．故
（其中 ）．
所以 ．因此直线 在x轴上的截距为
．
19．（17分）设 是定义在 上的函数，若存在区间 和 ，使得 在 上
单调递减，在 上单调递增，则称 为“含谷函数”， 为“谷点”， 称为 的
一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i） ，（ii） ；
（2）已知实数 ， 是含谷函数，且 是它的一个含谷区间，求 的取
值范围；
（3）设 ， ．设函数 是含谷函数， 是它的一个
含谷区间，并记 的最大值为 ．若 ，且 ，求 的最小值．
【5月月考数学试题 第11页，共12页】
学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）函数 ，当 时，单调递减，当 时，单调递增，所以
是含谷函数，谷点 ；
函数 ，求导 恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数．
（2）由题意可知函数 在区间 内先减后增，且存在谷点，
令 ，所以 ，
设 ，所以 ，由 可知 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，若满足谷点，则有 ，解得 ，
故m的取值范围是 ．
（3）因为 ，
所以 ，
若 恒成立，
则函数 在 时单调递增，在 时单调递减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程 有两个相异实根，即 ，
设两根为 ， 且 ，
因为 ，所以函数 在区间 上不单调递增，
但是当 时， ， 为单调递增，
所以 在区间 上的单调性至少改变一次，从而h'(x)必有一个零点，即 ，
同理，因为 ，所以 ，
因此， 在区间 和 上单调递增，在区间 和 上单调递减，
从而函数 的含谷区间 必满足 ，
【5月月考数学试题 第12页，共12页】即 ，
因为 ，
，
由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
因此 的最小值为 ，当 时成立．
【5月月考数学试题 第13页，共12页】
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