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第 01 讲 函数
课程标准 学习目标
1．掌握函数的概念以及表示方法；
①掌握函数的概念
②会求函数的值
2．会求函数的值，并确定自变量的取值范围；
知识点01 函数的概念
函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有
唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，分别给出了变量 与 之间的相应关系， 不是 的函数的是
（ ）A． B． C． D．
知识点02 函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
【微点拨】
1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一
个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以
是多个.比如： 中，当y的值为4时， 的值为±2.
【即学即练2】
1.下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦·时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（
）
用电量x（千瓦·时） 1 2 3 4 …
应交电费y（元） 0.55 1.1 1.65 2.2 …
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦·时，则应交电费4.4元 D．若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时
2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器
内水面高度 随时间 变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 运
动，至点 处停止．点 运动的路程为 ， 的面积为 ，且 与 之间满足的关系如图2所示，则当
时，对应的 的值是（ ）A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
题型01 函数的概念及图象识别
【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各曲线中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中， 不是 函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
B．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
C．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
4
D．在 中， 是常量， ， 是自变量， 是 的函数
3题型02 函数的三种表示方法之列表法
【典例2】（23-24七年级下·陕西·期末）课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行
高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同
D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米
【变式1】（23-24七年级下·四川达州·期末）李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱
加满油．下表记录了轿车行驶的路程 与油箱剩余油量 之间的部分数据：
30
轿车行驶的路程 0 100 200 400 …
0
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油
【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向
前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过
，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
…
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
…
刹车距离（m） 0 5 10 …
下列说法中错误的是（ ）
A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离
B．刹车时的车速每增加 千米，刹车距离就增加
C．当刹车距离为 时，刹车时的车速为D．当刹车时的车速为 时，与其前方距离为 的车辆不会追尾
【变式3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习
强国” ，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积
分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（ ）
学习天数n（天） 1 2 3 4 5 6 7
周积分w（分） 55 110 160 200 254 300 350
A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B．周积分随学习天数的增加而增加
C．从第 天到第 天，周积分的增长量为50分
D．天数每增加 天，周积分的增长量不一定相同
题型03 函数的三种表示方法之解析式
【典例3】（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣
传单，校园附近有一家印刷社，收费 （元）与印刷数量 （张）之间的关系如表：
印刷数量 （张）
收费 （元）
(1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是
(2)从上表可知：收费 （元）随印刷数量 （张）的增加而
(3)若要印制1000张宣传单，收费 元
【变式1】（23-24七年级下·四川成都·期末）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为
标准大气压，并得到几组对应的数据如下：
1
加热时间 0 20 30
0
1
液体温度 8 28 38
8
(1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的
值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当加热 时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【变式2】（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为 的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙长 ，另外三边是篱笆，其中 不超过 设垂直于墙的两边 的长均为 ，长方形花
圃的面积为 ．
(1)判断 是否符合题意，并说明理由
(2)求 与 之间的关系式
(3)根据关系式补充表格：
观察表中数据，写出 随 变化的一个特征： ．
【变式3】（23-24七年级下·广东佛山·期中）小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开
车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能
停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过 ）
进行了测试，测得的数据如下表：
．．
刹车时车速 0 10 20 30 40 50
．
．．
刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5
．
请回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)当刹车时车速为 时，刹车距离是 ；
(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式： ；
(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超
速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里）
题型04 函数的三种表示方法之图象法【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的
是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【变式1】（23-24七年级下·全国·期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器
内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 与注水时间 的
图象大致为图中的（ ）
A ． B ． C ． D ．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化
的情况．
(1)上午8时的温度是多少？16时呢？(2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？
(3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
(5)图中的点 A 表示的是什么？点 B 呢？
【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开
口，壁厚不计．容器A底面积为 ，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均
匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图．
(1)注水速度为 ，容器A高度为 ．
(2)请计算容器B的底面积是多少？
(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？
(4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像．
题型05 求自变量的取值范围
【典例5】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是
．
【变式1】（24-25八年级上·上海·单元测试）要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时
出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为
，其时间t的取值范围为 ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为 的等腰三角形中，底边长为 ，腰长为
，则 关于 的函数解析式为 ，定义域为 ．
【变式3】（24-25八年级上·上海·单元测试）现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y
与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ．题型06 求自变量的值或函数值
【典例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 ，则 ．
【变式1】（2024·山西·三模）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标
与摄氏温标 之间的函数关系为 ，热力学温标 与摄氏温标 之间的函数关
系为 ．当热力学温度 时，所对应的华氏温度为 ．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量
与售价y（元）之间的关系如下表：
质量 1 2 3 4
售价
元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果 ，售价为 元．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知气温 （℃）与海拔高度 的函数关系式为
．
（1）变量是 ，常量是 ；
（2）当函数值为 时，对应的自变量的值为 ．
题型07 动点问题画函数图象
【典例7】（23-24七年级下·山东青岛·期末）．如图1，四边形 是长方形，动点E从点B出发，沿
匀速运动，到达点A停止运动，速度为 ，设点E的运动时间为 ， 的面积
为 ，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（ ）
A． B．S的最大值为
C．当 时， D．当 时，
【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形 中，点P从点A出发，匀速沿
向点 运动，连接 ，设点 的运动距离为 ， 的长为 ， 关于 的函数图象如图2所示，则当点 为 中点时， 的长为 ．
【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图， 中， 是 边的中点， 是 边上的一个动
点，连接 ．设 的面积是变量 ， 的长是变量 ，小明对变量 和 之间的关系进行了探究，
得到了以下的数据：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)自变量和因变量分别是什么？
(2) 和 的值分别是多少？
(3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说 的面积是怎样变化的？
【变式3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知动点 以 的速度沿如图1所示的边框以
的路径运动，记 的面积为 ， 与运动时间 的关系如图2所示，若
，请回答下列问题：
(1)图1中 ， ， ．
(2)求图2中m，n的值；
(3)分别求出当点P在线段 和 上运动时s与t的关系式．题型08 从函数的图象获取信息
【典例8】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图
书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，
玲玲刚好到达图书馆．图中折线 和线段 分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的
时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟．
(2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车
上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后
继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)图中自变量是__________，因变量是__________；
(2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟；
(3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度．
【变式2】（24-25八年级上·山东济南·开学考试）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀
速游玩，甲、乙两人距出发点的路程 与乙行驶的时间 的关系如图①所示，其中 表示甲运动的
图象，甲、乙两人之间的路程差 与乙行驶的时间 的关系如图②所示，请你解决以下问题：(1)图②中的自变量是______，因变量是______；
(2)甲的速度是______ ，乙的速度是______ ；
(3)结合题意和图①，可知图②中： ______， ______；
(4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为 ？
【变式3】（23-24六年级下·山东东营·期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出
发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s( )与甲行驶的时间为t（ ）之间的关系
如图所示．
(1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点．
(2)求甲、乙各自的速度；
(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；
(4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米．一、单选题
1．（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为 ，当自变量 时，因变量y
的值是（ ）
A． B． C．1 D．5
2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元
购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1，在长方形 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位
长度的速度，沿 运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为 ， 的面积为y．如果y关
于x的变化情况如图2所示，则 的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
5．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀
速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直
至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离 （千米）与货车行驶时间 （小时）之
间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地
之间的距离为120千米；③图中点 的坐标为 ；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其
中正确的是（ ）A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③
二、填空题
6．（23-24七年级下·四川成都·期末）长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为
．
7．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列 与 的关系中， 不是 的函数关系的是 ．（填序
号）
； ； ； ； ； ．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
8．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池，现需注满水，水池深 ．现以不变的流量注水，水的
深度与对应的注水时间如下表：
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）能推出注满水的时间是 ．
9．（23-24七年级下·福建三明·期中）宁化儿童公园的摩天轮可抽象成图中的一个圆，圆上一点离地面的
高度 与旋转时间 之间的关系如图所示．根据图中的信息，摩天轮的直径为 ．
．
10．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图①，在 中， ，动点P以每秒2个单位长度
的速度从点A出发，沿折线 运动到点B停止． 的长y随点P的运动时间x（s）变化的函数图象
如图②所示，则AB的长是 ．三、解答题
11．（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油
0.6升，如果设剩油量为 （升），行驶路程为 （千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含 的代数式表示 ；（写出自变量的取值范围）
(3)当 时， 是多少？当 时， 是多少？
12．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，圆柱的高是 ，底面半径是 ，体积是 ，当r由小
到大变化时，V也随之发生了变化．
(1)在这个变化中，自变量是_______，因变量是_______．
(2)体积V与底面半径r的关系式为_______．
(3)当底面半径由 变化到 时，圆柱的体积增加了多少立方厘米？
13．（23-24七年级下·福建三明·期中）温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据下图，讨论某地某天
温度变化的情况：(1)上午 时的温度是____度； 时的温度是____度；
(2)这一天最高温度是____度，是在____时达到的；
(3)这一天最低温度是___ ，从最低温度到最高温度经过了____小时；
(4)图中 点表示的是________， 点表示的是__________．
14．（23-24八年级下·全国·期中）一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4 内只进水不出
水，在随后的14 内既进水又出水，在第18 后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，
容器内的水量）（单位： ）与时间x（单位： ）之间的关系如图所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)每分钟的进水量为_____ ，每分钟的出水量为_____ ；
(2)求m的值；
(3)若在某一时间x（ ） 时，容器内水量恰好为30 ，直接写出此时x的值为_____．15．（23-24七年级下·河南郑州·期末）我国的高铁技术发展日新月异，一次次惊艳世界，成为擦亮中国的
一张名片．在高铁行驶过程中，司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄，如图表示
了司机的视野 （度）随车速 （千米/时）变化而变化的情况．
速度v(千米/时) 50 100 b 400
视野f(度) a 40 20 10
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是_____；
(2)结合图象，表格中 _____， _____；
(3)若高铁司机视野不小于 度，则高铁行驶的速度最快是______；
(4)请举出生活中一个变量随另一个变量变化而变化的例子，并写出自变量和因变量．
16．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小
凡从路边超市买了一些学习用品，如图反映了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，
请根据图象提供的信息回答问题：
(1) 和 中，_______描述小凡的运动过程；
(2)________谁先出发，先出发了_______分钟；(3)_______先到达图书馆，先到了______分钟；
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/时？（不包括中间停留的时间）
17．（2023·广西桂林·模拟预测）如图①，四边形 中， ， ．
(1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线 运动到点D停止．设运动时间为a，
的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求 的长．
(2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线 运动到点C停止．同时，动点Q
从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线 运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到
边上时，连接 ，当 的面积为8时，求t的值．
18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1， 两地之间有一条笔直的道路， 地位于 两地
之间，甲从 地出发驾车驶往 地，乙从 地出发驾车驶向 地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘
客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达 地．图2中线段 和折线段 分别表示甲、
乙两人与 地的距离 与甲行驶的时间 的变化关系，其中 与 交于点 ．(1)在图2中表示的变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______ ， 两地相距______ ；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4) ______， ______；
(5)在图2中点 表示的含义是______；
(6)请直接写出当 ______ 时，甲、乙相距 ．
