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第十四届中环杯五年级决赛
一、填空题（每小题5分，共50分）
1. 计算：11.99×73+1.09×297+ ×(32-12)=_________
【分析】原式=11×1.09×73+1.09×11×27+4=11×1.09×100+4=1199+4=1203
2. 420×814×1616除以13的余数为__________
【分析】420×814×1616≡4×8×4≡128≡11(mod13)
3. 五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7，如果从乙班调3人去甲班，甲班
学生人数就是乙班学生人数的4/5，甲班原有学生_________人
【分析】原来人数比为甲：乙=5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙=4 : 5=16 : 20，前后
两次总人数不变，因此将总人数变为[(5+7),(4+5)]=36份，比例调整如上，发现人数调整为1
份，因此1份为3人，所以甲班原有学生15×3=45人。
4. 已知990×991×992×993= ，则 =
【分析】由于99丨990，所以99 丨
所以99 丨96+64+28+ + +40→99 丨 +247→AB=50
5. 如图，△ABC面积为60，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB=3AE，AC=3AF，点D是
线段 BC 上的动点，设△FBD 的面积为 S, △EDC 的面积为 S ，则 S×S 的最大值为
1 2 1 2
__________.
【分析】由于 ，所以EF ∥ BC
所以S = S =S→S+S=S = S =40
EBD FBD 1 1 2 EBC ABC
和一定时，差越小，积越大，所以当 S =S 时，即D为中点时，S×S 最大为20×20=400
1 2 1 2
6．如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最小值的之差为__________.
【分析】易得，乘数中下方数的十位为1，因为十位数字乘上面的数得到的积为三位数，为
百位上的2乘上面的数得到的积为四位数。由于1乘上面的数得到的积十位为1，因此上面
数的十位也为1。由于百位上的2乘以上面的数得到的个位为4，所以上面的数个位为2或
7。
先考虑乘积的最大值，要使乘积大，则两个乘数要大。考虑上面的数百位为9，经枚举，无论
个位是几，917、912均无法乘出百位为0的乘积。
所以考虑上面的数百位为8，则下面为5符合要求。
所以乘积最大为817×215=175655。
再考虑乘积的最小值，要使乘积小，则两个乘数要小，考虑上面的数百位最小为5，否则乘以
2无法得到四位数，则下面为2符合要求，
所以乘积最小为512×212=108544
所以乘积的最大值与最小值之差为175655-108544=67111
7. 有15位选手参加一个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场，赢一场得2分，平一场各
得1分，输一场得0分，如果一位选手的得分不少于20分，他就能获得一份奖品，那么，最多
有_______位选手获得奖品。
【分析】比赛结束后，15位选手总得分为 ×2=210分，210÷20=10……10
所以理论上最多有10名选手得分能不低于20分
若有10位选手获得奖品，则剩余5名选手得分不能大于10分
而事实上，这5名选手之间共比赛10场，总共能产生20分
所以这5名选手的得分不会少于20分，矛盾
所以10位选手获得奖品的情况不存在
考虑9名选手获得奖品，则剩余6名选手得分不能大于30分
这是可行的，前9名选手两两之间都和棋，各得8分，这9名选手均战胜剩余6名选手，各得
12分，则这9名选手均得20分，而剩余6名选手每人已负9场，得分不能大于10分。
综上，最多有9位选手能获得奖品。
8. 在一场1000米的比赛中，一个沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出来的沙子都掉入一个杯
中（这个沙漏是在比赛进行了一段时间后才开始漏沙的），小明以匀速进行跑动，当他跑到
200米的时候，第a颗沙子正好掉入杯中，当他跑到300米的时候，第 颗沙子正好掉入杯
中, 当他跑到400米的时候，第 颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到500米的时候，第 颗沙
子正好掉入杯中(a、b、c、d、e、f、g都是0-9的数字，并且它们的值可以相等)，我们发现：（1）a是2的倍数，（2） 是一个质数；（3） 是5的倍数；（4） 是3的倍数，那么四位数
=__________(如果有多个解，需要将多个解都写在横线上)。
【分析】由沙漏匀速漏沙子，可知 - = - = -a
所以，不妨设 =a+k， =a+2k ， =a+3k ，
由3丨 →3丨 a+3k→3丨a，又a是2的倍数，所以a是2、3的公倍数
所以a=0或6
若a=0，则由5丨 →5 丨a+2k→5 丨k ，即5丨 ，与 是个质数矛盾
故a=6
由 =6+k→k≥4，由 =6+3k→k≤31
由5丨 →5丨 6+ 2k→k 的个位为2或7
而 =6+k是个质数，所以k 为奇数，且不能是3的倍数
于是k 的个位为7，且在4~31之间，且不能是3的倍数
所以， k 的取值可能有7、17
当k=7时，a=6， =13， =20， =27，符合要求，此时 =2013
当k=17时，a=6， =23， =40， =57，符合要求，此时 =4023
综上， =2013或4023
9. 如图a,7个汉字写在图中的7个圆圈中，要求从某一个圆圈开始，沿着线段一笔画这个图
形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图b,从
“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。那么能够组成的不同字串有
_________个。
【分析】从中出发，组成的字串有：
从中到难后，有2条：中难环杯真的好，中难好的真杯环
从中到环，有8条：中环难杯真的好，中环难好的真杯，中环杯难真的好，中环杯难好的真，中
环杯真难好的，中环杯真难的好，中环杯真的难好，中环杯真的好难
所以，从中到好，也有8条
因此从中开始的路线有18条
因此，从环、杯、真、的、好、难开始的路线也有18条
从难开始，第一步有6种选择，以后有顺时针、逆时针2种选择，所以，从南开始的字串有12
条
综上，共有18×6+12=120条不同的字串
10. 如图两个正方形ABEG,GECD，点H是GE中点， .连结DH、CH、AF、BF，正方形ABEG的面积为m平方厘米，阴影部分的面积为n平方厘米，已知m、n都是正整数，且m有
9个约数，则正方形ABEG的边长为_______厘米。
【分析】如下图，连结HF
不妨设两个正方形的边长为a
由已知，GH=HE= a，DF= a，FC= a，
因为GM∥DF，所以
所以MH=GH-GM= a
由沙漏，
所以
因为EN∥CF，所以
所以NH=EH-EN= a
由沙漏，
所以
所以
因为m,n均为正整数，所以m为20的倍数，即m含有质因子2、5，又m有9个约
数，所以m=22×52=100
所以正方形ABEG的边长为10厘米。二、动手动脑题（每小题10分，共50分，除第15题外请给出详细解题步骤）
11. 两人同时从AB两地出发，相向而行，甲每小时行12.5千米，乙每小时行10千米，甲行
30分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带，所以他原速返回A地去拿卡，找
到卡后，甲又用元素返往B地，结果当乙达到A地时，甲还需要15分钟到达B地，那么A、B
间的距离是多少厘米？
【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A地时，又用了半个小
时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5小时
假设乙从B地到A地共用时t+1.5小时
则甲从A地到B地需用t 小时加15分钟，即t+ 小时
可列得方程：
10（t+ 1.5）=12.5×（t+ ）
解得t=
所以A、B间的距离为12.5×（ + ）=62.5千米。
12. 如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如
3的奇约数有1,3，一共2=21，所以3是一个“中环数”。再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22，
所以21 也是一个中环数。我们希望能找到n个连续的中环数。求n的最大值。
【分析】将一个数分解质因数，得到 ，则这个数约数的个数为
而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法
由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数
所以将一个数分解质因数，得到 （ 可以为0）
则N的奇约数个数为现在我们要写出连续的n 个数，
使得每个数均有 =2m
首先证明n≤17
观察如下三个数： ， ，
易知，k ，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数
所以 ， ， 这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：
（ 可以为0）
形如这样的数，奇约数个数为 不可能是2的幂，即不符合要求
因此 ， ， 这三个数中至少有2个不符合要求
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数
因此，n≤17
而127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143这17
个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，均为“中环数”
因此n 的最大值为17
13. 下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口输
入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是：
（1） 如果输入的是奇数k输出的是，4k+1
（2） 如果输入的是偶数k,输出的是，k÷2
比如输入的是数字8，那么输出的就是8÷2=2, 输入的是数字3，那么输出的就是3x4+1=13.
现在将3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子
的输入，依次类推，比如输入的数字16，经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个8就作为
第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个4就作为第三个黑箱子的输入，
经过第三个黑箱子，得到结果2，这个2结果就是最后的输出了。我们可以用16→8→4→2来
表示这样的过程。
现在，美羊羊，喜羊羊，懒羊羊，羊爸爸在这个串联的黑箱子输入串输入不同的正整数，其中
羊爸爸输入的数字最大，得到的4个最终输出结果竟然是相同的，当这个输出结果最小时，
求：羊爸爸的输入值是多少？
【分析】不妨设输入的四个数字为a＜b＜c＜d
由于最后输出的结果相同，不妨设这个结果为m
若m 是一个偶数
因为4k+1是奇数，奇≠偶，所以最后输入的结果也一定是个偶数，为2m
依次类推，四个人输入的数就都为8m，与输入的正整数均不同矛盾
所以m 是一个奇数那么前一步有2种选择：2m，
若前一步为2m ，则由2m 是一个偶数，可知这串过程一定为：
8m→4m→2m→m
接下来考察 的奇偶性
同理，若 为偶数，则这串过程只能为
m-1→ → →m
这样就只有2种输入值，与输入的正整数均不同矛盾
所以 也为奇数
那么前一步有2种选择： ， =
接下来考察 的奇偶性
同理， 为奇数
因此，四串过程分别为：
8m→4m→2m→m
m-1→ → →m
→ → →m
→ → →m
由于这些数均为正整数，所以64丨m-21，且 为奇数
要使m 最小，则
此时，输入的四个数字分别为：680、84、10、1
因此，羊爸爸输入的值为680
14. 如图，如果我们将很多边长为1的正方形放入等腰△ABC中，BC边上的高为AH，AB和
BC的长度都是正整数，要求所有小正方形都有两条边与BC平行（如图所示），先放最下面
一层，从两边往中间放（最靠边的小正方形的一个顶点正好在三角形的边上），直到中间的空
隙放不下一个小正方形为止，然后放倒数第二层，同样从两边往中间放，直到中间的空隙放
不下一个小正方形为止，依次类推，不断地往上面叠放小正方形，点到无法往上叠为止，我们
发现，每层的中间都没产生空隙，而且 ≤8，最后整个△ABC内一共放了330个小正方形，
求BC长度的最大值。【分析】不妨设BC的长度为a，设 = 2k ( k≤4)
则 =k
如下图，由于DE∥AH，所以
则最下面小正方形能使用的长度为a-2k ，最下面一层小正方形的个数为[a-2k]
这意味着第二层下底总长度为a-2k ，同理可得第二层小正方形能使用的长度为a-4k ，小正
方形的个数为[a-4k]
依次类推，以后每层小正方形的个数依次为[a-6k]，[a-8k]，…
要使BC最长，那么最低下一层放的小正方形的个数一定最多
所以，此时层数一定最少
而要使层数少，则AH要短
而 ≤8 ，所以优先考虑BC=8AH
即k=4，
此时，从下到上，每一层的个数为[a-8]，[a-16]，[a-24]…
易知，这是一个公差为8的等差数列
若为8层，则最多有8+16+24+32+40+48+56+64=288＜330
若为10层，最少有1+9+17+25+33+41+49+57+65=370＞330
所以，应有9层
由于有9层，所以 AH＞9→AH=10，此时BC为80
但330 ÷9= 并非整数，所以做不到
由上述讨论可知AH至少为10，BC至多为80
依次检验BC为79、78、77、76……时，AH为10、11、12时小正方形的个数
例如，BC为79、AH为10时，小正方形个数为：71+63+55+47+39+31+23+15+7=351＞330，所以BC不为79
当BC为78、AH为10时，小正方形个数为：
70+62+54+46+39+31+23+15+7=347＞330，所以BC不为78
……
BC为74、AH为10时，小正方形个数为：
66+59+51+44+37+29+22+14+7=329＜330
而AH为11时，小正方形个数为：
67+60+53+47+40+33+26+20+13+6=365＞330，所以BC不为74
……
当BC为67，AH为11时，小正方形的个数为：
60+54+48+42+36+30+24+18+12+6=330
所以BC的最大值为67.
15（. 1）你能将下面的长方形图纸分隔成全等的4个图形吗（如参考图）？请给出不同于参考
图的另外三种分隔方法。
（2）画一个封闭的环，水平或竖直穿过相邻的单元格，环不能交叉或重叠，下图就是一些不允
许出现的情况。
下图中有数字的单元格不能作为环的一部分，单元格内的数字表示其周围八个相邻的单元
格内被环占住的个数，请在图中画出这个环。【分析】（1）如下图：
（2）如下图
