文档内容
2026 年东北三省一区八校联合体第一次模拟考试
数学科试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：（本题共 8小题，每小题5分，共40分，在．每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知复数 、 、 满足 ， ， ，则复数 在复平面对应的点在（
）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知非零实数 不全相等，给出下面两个命题．命题p：若 成等差数列，则 也成等差
数列；命题q∶ 若 成等比数列，则 也成等比数列，则（ ）
A. 命题p和q均为真命题 B. 命题p和命题 均为真命题
C. 命题 和命题q均为真命题 D. 命题 和命题 均为真命题
3. 已知 是钝角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 已知 、 ，则 的最小值是（
）
A. B. C. D.
6. 用半径为 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大
值是（ ）
A. B. C. D.
7. 7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少
一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知 ，其中c>0，则当 最小时，c 的值为（ ）
A. B. C. D.
二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小
于 ，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面
积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ）
A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好
B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差
C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为 ，则住宅的采光条件一定变差
D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为 ，则住宅的采光条件一定变差
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学科网（北京）股份有限公司10. 在斜三角形 中，下列结论可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下面的图形由铰接的薄片构成，固定某一些点会导致所有两杆固定，则下列选项说法正确的是（ ）
A. 若固定 ，则所有连杆固定 B. 若固定 ，则所有连杆固定
C. 若固定 ，则所有连杆固定 D. 若固定 ，则所有连杆固定
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合 ， ， ，则 的取值范围是______
13. 函数 过原点 切的线方程为________．
14. 设正整数数列 满足 ，则 的前 项中偶数的个
数是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，三角形 中， ， ，点 在线段 上，点 在线段 上，满足 ，
，点 、 分别为 、 中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 、 、 三点共线；
（2）现将三角形 沿 翻折至三角形 ，得到四棱锥 ，若 ， ，
连接 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
16. 在斜三角形 中， .
（1）设 为三角形 内心，当 时，求 的最小值；
的
（2）是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 ，代数式 恒为定值？若存
在，请给出一个满足条件的 ，并证明之；若不存在，请给出理由．
17. 已知双曲线 的焦距为4，左右焦点分别为 ，若点P为双曲线C上一点，
过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线 ，与两条渐近线分别交于点 ，四边形
的面积为 ．设点 分别为双曲线 的左右顶点，过点 的直线与双曲线 交于点 （不同
于点 ．设直线 与 交于点G，直线 与 交于点H，双曲线在点 处的切线交于点R．
（1）求双曲线C的标准方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）试探究 是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
18. 在一个不透明的袋子中，装有 个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸
取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二
次摸取后，也记下摸取到的小球颜色．
（1）求某种特定颜色两次都被记下的概率；
（2）设第一次摸出 个球，两次摸球后，恰有 种颜色两次都被记下．
①求 的分布列；②当 时，求 ．
19. 已知函数 有三个零点 ，满足 ．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若 为 上任意 个实数， ，当
且仅当 时等号成立，则称函数 在 上为“凸函数”．也可设可导函数 在
上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在 上
的为“凸函数”．若 为 上任意 个实数，满足
，当且仅当 时等号成立，则称函数
在 上为“凹函数”．也可设可导函数 在 上的导函数为 在 上的导
函数为 ，当 时，函数 在 上的为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为
著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题．
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学科网（北京）股份有限公司（i）若函数 为凸函数，求b 取值范围；
的
（ii）证明∶ ．
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