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绝密★启用前
河北省“五个一”名校联盟 2025 届高三第一次联考
数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若复数 ，则 （ ）
A. B.5 C. D.
2.点 为等轴双曲线 的焦点，过 作 轴的重线与 的两浙近线分别交于 两点，
则 的面积为（ ）
A. B.4 C. D.8
3.“ ”是“不等式 对一切实数 都成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.用 能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A.212 B.213 C.224 D.225
5.过圆锥 高的中点 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 上部分圆锥与下部分圆台体积比为（
）
A. B. C. D.
6.平面四边形 中，点 分别为 的中点， ，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.已知首项为2的数列 满足 ，当 的前 项和 时，则 的最小值为
（ ）
A.40 B.41 C.42 D.43
8.当 成立， 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知五个数据 的 分位数为15，则这组数据（ ）
A.平均数为9 B.众数为10
C.中位数为10 D.方差为30
10.已知函数 在 上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是
（ ）
A. 的范围是
B.函数 在 上单调递增
C. 不可能是函数 的图像的一条对称轴
D. 的最小正周期可能为
11.已知函数 的零点分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
学科网（北京）股份有限公司12.已知 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为__________.
13.抛物线 上的动点 到直线 的距离最短时， 到 的焦点距离为__________.
14.下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第 个数从上
到下形成以 为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第 行 所有数据的和 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的最大值.
16.（15分）如图所示，三棱柱 中， 分别为棱 的中点， 分别是棱
上的点， .
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若三棱柱 为正三棱柱，求平面 和平面 的夹角的大小.
17.（15分）已知 ，平面内动点 满足直线 的斜率之积为 .
（1）求动点 的轨迹方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）过点 的直线交 的轨迹 于 两点，以 为邻边作平行四边形 （ 为坐标
原点），若 恰为轨迹 上一点，求四边形 的面积.
18.（17分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
19.一个质点在随机外力的作用下，从平面直角坐标系的原点 出发，每隔1秒等可能地向上､向下､向左或
向右移动一个单位.
（1）共移动两次，求质点与原点距离的分布列和数学期望；
（2）分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率；
（3）若共移动 次（ 大于0，且 为偶数），求证：质点回到原点的概率为 .
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