2007年广西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_广西

2007 年广西高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3 至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 P(AB) P(A)P(B) S 4πR2 如果事件A，B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A B) P(A) P(B) 球的体积公式   4 如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V  πR3 3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 P (k)Ckpk(1 p)nk(k 0，1，2，… ，n) n n 一、选择题 5 （1）是第四象限角，tan ，则sin（ ） 12 1 1 5 5 A． B． C． D． 5 5 13 13 a 1i （2）设a是实数，且  是实数，则a （ ） 1i 2 1 3 A． B．1 C． D．2 2 2 （3）已知向量a (5，6)，b(6，5)，则a与b（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 （4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 4 12 12 4 10 6 6 10  b  （5）设a，bR，集合1，ab，a0，，b，则ba （ ）  a  第1页 | 共9页A．1 B．1 C．2 D．2 2 x y10， （6）下面给出的四个点中，到直线x y10的距离为 ，且位于 表示 2 x y10 的平面区域内的点是（ ） D C A．(1，1) B．(1，1) C．(1，1) D．(1，1) 1 1 A B 1 1 （7）如图，正四棱柱ABCDABC D 中，AA 2AB，则异面直线 1 1 1 1 1 AB与AD 所成角的余弦值为（ ） 1 1 C D 1 2 3 4 A． B． C． D． A B 5 5 5 5 1 （8）设a 1，函数 f(x)log x在区间a，2a上的最大值与最小值之差为 ，则a  a 2 （ ） A． 2 B．2 C．2 2 D．4 （9） f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x) f(x)g(x)，则“ f(x)，g(x)均为偶 函数”是“h(x)为偶函数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 n  1 （10） x2   的展开式中，常数项为15，则n（ ）  x A．3 B．4 C．5 D．6 （11）抛物线y2 4x的焦点为F ，准线为l，经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在x轴 上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF 的面积是（ ） A．4 B．3 3 C．4 3 D．8 x （12）函数 f(x)cos2 x2cos2 的一个单调增区间是（ ） 2  2        A． ，  B． ，  C． 0，  D．  ，  3 3  6 2  3  6 6 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，在试题卷上作答无效． 第2页 | 共9页3．本卷共10题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中 甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数 y  f(x)的图像与函数 y log x(x0)的图像关于直线 y  x对称，则 3 f(x) ． （15）等比数列a 的前n项和为S ，已知S ，2S ，3S 成等差数列，则a 的公比 n n 1 2 3 n 为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面 边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）求cosAsinC的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为  1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250 元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； （Ⅱ）求的分布列及期望E． （19）（本小题满分12分） 四棱锥 SABCD中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD．已知 ∠ABC 45，AB2，BC 2 2，SASB 3． S （Ⅰ）证明SA BC； （Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小． C B D A （20）（本小题满分12分） 设函数 f(x)ex ex． 第3页 | 共9页（Ⅰ）证明： f(x)的导数 f(x)≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有 f(x)≥ax，求a的取值范围． （21）（本小题满分12分） x2 y2 已知椭圆  1的左、右焦点分别为F ，F ．过F 的直线交椭圆于B，D两点，过F 3 2 1 2 1 2 的直线交椭圆于A，C两点，且AC  BD，垂足为P． x2 y2 （Ⅰ）设P点的坐标为(x，y )，证明： 0  0 1； 0 0 3 2 （Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． （22）（本小题满分12分） 已知数列a 中a 2，a ( 21)(a 2)，n1，2，3，… ． n 1 n1 n （Ⅰ）求a 的通项公式； n 3b 4 （Ⅱ）若数列b 中b 2，b  n ，n1，2，3，… ， n 1 n1 2b 3 n 证明： 2 b ≤a ，n1，2，3，… ． n 4n3 参考答案 一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题： 1 （13）36 （14）3x(xR) （15） （16）2 3 3 三、解答题： （17）解： 1 （Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sin A2sinBsin A，所以sinB ， 2 π 由△ABC为锐角三角形得B ． 6    （Ⅱ）cosAsinC cosAsin   A       cosAsin  A   6  第4页 | 共9页1 3 cosA cosA sin A 2 2    3sin  A ．  3 由△ABC为锐角三角形知，       A B， B   ． 2 2 2 2 6 3 2    A  ， 3 3 6 1   3 所以 sin  A   ． 2  3 2 3   3 由此有  3sin  A    3， 2  3 2  3 3 所以，cosAsinC的取值范围为 ，．   2 2   （18）解： （Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” P(A)(10.4)2 0.216， P(A)1P(A)10.2160.784． （Ⅱ）的可能取值为200元，250元，300元． P(200) P(1)0.4， P(250) P(2)P(3)0.20.20.4， P(300)1P(200)P(250)10.40.40.2． 的分布列为  200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E2000.42500.43000.2 240（元）． （19）解法一： 第5页 | 共9页（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结 AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥底面 ABCD． 因为SASB，所以AO BO， 又∠ABC 45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC ， S 故SA⊥AD，由AD BC 2 2 ，SA 3，AO 2，得 SO1，SD 11． O C B 2 1 1  △SAB的面积S 1  2 AB  SA2   2 AB    2． D A 1 连结DB，得△DAB的面积S  AB ADsin135 2 2 2  设D到平面SAB的距离为h，由于V V ，得 DSAB SABD 1 1 h S  SO S ， 3  1 3  2 解得h 2． h 2 22 设SD与平面SAB所成角为，则sin   ． SD 11 11 22 所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin ． 11 解法二： （Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结 AO，由侧面SBC⊥底面 ABCD，得SO⊥平面 ABCD． 因为SASB，所以AO BO． 又∠ABC 45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz， z  S A( 2，0，0)，B(0，2，0)，C(0， 2，0)，S(0，0，1)，SA( 2，0，1)，    CB(0，2 2，0)，SA  CB0，所以SA⊥BC． G （Ⅱ）取AB中点E，E    2 ， 2 ，0    ， C O E B y 2 2   D A x 第6页 | 共9页 2 2 1 连结SE，取SE中点G，连结OG，G ， ，．   4 4 2    2 2 1  2 2  OG  ， ，，SE  ， ，1，AB( 2，2，0)．     4 4 2 2 2     SE OG 0，AB OG 0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．   所以OG 平面SAB，OG与DS 的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则 与互余． D( 2，2 2，0)，DS ( 2，2 2，1)． OG DS 22 22  cos  ，sin ， OG DS 11 11  22 所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin ． 11 （20）解： （Ⅰ） f(x)的导数 f(x)ex ex． 由于ex e-x≥2 ex ex 2，故 f(x)≥2．  （当且仅当x0时，等号成立）． y （Ⅱ）令g(x) f(x)ax，则 A D g(x) f(x)a ex ex a， P FO F x B 1 2 （ⅰ）若a≤2，当x0时，g(x)ex ex a 2a≥0， C 故g(x)在(0，∞)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即 f(x)≥ax． a a2 4 （ⅱ）若a 2，方程g(x)0的正根为x ln ， 1 2 此时，若x(0，x )，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数． 1 所以，x(0，x )时，g(x) g(0)0，即 f(x)ax，与题设 f(x)≥ax相矛盾． 1 综上，满足条件的a的取值范围是∞，2． 第7页 | 共9页（21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距c 32 1， 由AC⊥BD知点P在以线段FF 为直径的圆上，故x2  y2 1， 1 2 0 0 x2 y2 x2 y2 1 所以， 2  0 ≤ 0  0  1． 3 2 2 2 2 （Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为 y k(x1)，代入椭圆方程 x2 y2  1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x3k2 60． 3 2 设B(x，y )，D(x，y )，则 1 1 2 2 6k2 3k2 6 x x  ，x x  1 2 3k2 2 1 2 3k2 2 4 3(k2 1) BD  1k2 x x  (1k2) (x x )2 4x x   ；  1 2  2 2 1 2 3k2 2 1 因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为 ， k  1  4 3 1   k2  4 3(k2 1) 所以， AC   ． 1 2k2 3 3 2 k2 四边形ABCD的面积 1 24(k2 1)2 (k2 1)2 96 S  BD AC  ≥  ．  2 (3k2 2)(2k2 3) (3k2 2)(2k2 3) 2 25    2  当k2 1时，上式取等号． （ⅱ）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4． 96 综上，四边形ABCD的面积的最小值为 ． 25 （22）解： （Ⅰ）由题设： a ( 21)(a 2) n1 n ( 21)(a  2)( 21)(2 2) n 第8页 | 共9页( 21)(a  2) 2， n a  2 ( 21)(a  2)． n1 n   所以，数列 a  2 是首项为2 2，公比为 21的等比数列， n a  2  2( 21)n， n 即a 的通项公式为a  2( 21)n 1，n1，2，3，… ． n n   （Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当n1时，因 2 2，b a 2，所以 1 1 2 b ≤a ，结论成立． 1 1 （ⅱ）假设当nk时，结论成立，即 2 b ≤a ， k 4k3 也即0b  2≤a  3． k 4k3 当nk1时， 3b 4 b  2  k  2 k1 2b 3 k (32 2)b (43 2)  k 2b 3 k (32 2)(b  2)  k 0， 2b 3 k 1 1 又  32 2 ， 2b 3 2 23 k (32 2)(b  2) 所以 b  2  k k1 2b 3 k (32 2)2(b  2) k ≤( 21)4(a  2) 4k3 a  2． 4k1 也就是说，当nk1时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 2 b ≤a ，n1，2，3，… ． n 4n3 第9页 | 共9页