文档内容
山东省日照第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检
测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
3．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且 ，点N为BC中点，则
用基底 表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．过 两点的直线 的倾斜角为135°，则 的值为（ ）.
A． 或 B． C． D．
5．若平面 的一个法向量为 且该平面过点 ，则点 到平面 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆柱的底面半径为 ，高为 ，如图，矩形 是圆柱的轴截面，点 是圆
柱下底面圆上一点，且满足 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
7．如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点.将 沿 所在直
线进行翻折，使得二面角 为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在正方体ABCD—A BC D 中，异面直线 和 分别在上底面ABC D 和下底面ABCD
1 1 1 1 1 1 1 1
上运动，且 ，若 与 所成角为60°时，则 与侧面ADD A 所成角的大小为（ ）
1 1
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、多选题：每小题6分，共18分.
9．已知复数 ， ，则（ ）
A． 是纯虚数 B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C． D．
10．已知 的三个顶点 ，则下列描述正确的有（ ）
A．直线BC的倾斜角不存在 B．直线AB的斜率为－2
C．边AC所在直线过坐标原点 D．边AB上的中线所在直线的方程为
11．已知等边 的边长为 ，顶点 在平面 内，顶点 ， 在平面 外的同一侧，
试卷第2页，共3页点 ， 分别为 ， 在平面 内的射影，且 ，直线 与平面 所成的
角为 ， ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
三、填空题：每小题5分，共15分
12．直线 在x轴上的截距为3，则实数m的值为 .
13．如图，已知 ， 均为正方形，二面角 的大小为 ，则异面直线
与 所成角的余弦值为 ．
14．已知正四面体 的棱长为2，动点 满足 ，用所有这样的
点 构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15．（13分）设 ，复数 ．
(1)若 为纯虚数，求实数a的值；
(2)若复数 是关于x的方程 的一个根，求 的值．
16．（15分）已知直线 .
(1)证明：对任意实数 ，直线 都经过一个定点；(2)若直线 在 轴、 轴上截距相等，求直线 的方程.
17．（15分）如图，在六棱柱 中，底面 是正六边形，设
， ， ．
(1)用 分别表示 ， ．
(2)若 ， ， ，求：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
18．（17分）如图，在圆锥 中， 是底面的直径，且 ，该圆锥的侧面积为 .
已知点 是母线 的中点，点 ， 在底面圆周上，且 的长为 ， .
试卷第4页，共3页(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
19．（17分）如图（一），在 中， 于点 ， ，四边
形 是平行四边形.将 沿 折起至 的位置，如图（二）所示，连接 ，
.
(1)证明： ；
(2) 是 的中点，连接 ， ，记二面角 为 ，二面角 为 .
（i）设三棱锥 的外接球球心为O，证明：当 时， ；
（ii） 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
附加题（共10分）20．空间中有四个球，它们的半径分别是2､2､3､3，每个球都与其余三个球外切，另有一
个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.
试卷第6页，共3页《山东省日照第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B B A D B
题号 9 10 11
答案 AC BCD ABC
1．A
【分析】根据复数的除法运算先计算 ，再由复数的概念即可求解.
【详解】由题意有 ，
所以 的虚部是 .
故选：A.
2．C
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】若 ，则 ．因为 ， ，
所以 ，解得 ．
故选：C．
3．D
【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可.
【详解】因为N为BC的中点，则 ，所以， ，
则 ，因此， ．
故选：D
4．B【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可．
【详解】由题知，直线 的斜率 存在，所以A点和B点的横坐标不一样， 即 ，
则 ，所以 ，解得 或 ，
又 ，所以 ．
故选：B．
5．B
【分析】求得 ，利用点到面的距离公式可求点 到平面 的距离.
【详解】因为点 ，点 ，所以 ，
又平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 .
故选：B.
6．A
【分析】证明点 为 中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，
由空间向量求出线线角的余弦值.
【详解】连接 ，∵ 为底面圆的直径，∴ ，∵ ，∴ ，
∴点 为 中点，即
如图：
在圆柱中可得 ， ，
∴以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
设直线 与 的夹角为 ，则 .
答案第2页，共2页故选：A.
7．D
【分析】过点 作 垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则翻折后 与
的夹角为 ，再由 解题即可.
【详解】过点 作 垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则翻折后 与
的夹角为 ，
因为正方形 的边长为2， 为边 的中点，
所以 ，易得 ， ，
因为 与 相似，则 ，
所以 , ，所以 ,
又 ，所以
，所以 .
故选：D
8．B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线 的方向向量，利用空间向量，
根据异面直线所成的角的公式求得 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量
公式求得直线 与平面侧面ADD A 所成角的大小.
1 1
【详解】
以 为原点，以 为 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如
图所示：
直线 分别在上下底面内且互相垂直，设直线 的方向向量为 ,则直线 的
方向向量可以为 ,
直线 的方向向量为 , 侧面ADD A 的法向量 ,
1 1
与b所成角为60°,
即 ， ,
故a与侧面ADD A 所成角的大小为45°.
1 1
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，
答案第4页，共2页难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.
9．AC
【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭
复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D.
【详解】因为 是纯虚数，所以A正确；
因为 ，所以 在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确；
因为 的共轭复数为 ，所以C正确；
因为 ，所以D不正确．
故选：AC
10．BCD
【分析】对于A，由倾斜角概念可判断选项正误；对于B，由斜率计算公式可判断选项正
误；对于C，由题可得直线AC方程，据此可判断选项正误；对于D，由题可得AB中点，
又中线过点C，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，易得直线BC方程为 ，则直线BC的倾斜角为 ，斜率不存在，
故A错误；
对于B，直线AB的斜率为 ，故B正确；
对于C，因 ，故边AC所在直线的方程为 ，
即 ，故过坐标原点，故C正确；
对于D，线段AB的中点坐标为 ，又中线过点C ，
则边AB上中线所在直线的斜率为 ，故所求方程为 ，
即 ，故D正确.
故选：BCD
11．ABC【分析】建立空间直角坐标系，设出 ， 坐标，用向量数量积的公式和坐标表示分别表
示 ，即可求出 ；根据勾股定理得出 的范围，再根据题意
，结合 的值，即可求出 的范围；根据图形线面、线线的位置关
系，可以得出直线 与平面 所成的角 ，即可利用直角三角形三角函数值
表示 ，从而求出其最小值.
【详解】如图所示，以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立空
间直角坐标系，设 ， ，
则 ，且 ，
可得 ，因此 ，选项A正确；
因为 ，即 ，所以 ，
根据勾股定理， ，
所以 ，又 ，所以 ，
综上， ，即 ，选项B正确；
又因为
所以 ，即 的最小值为 ，选项C正确，选项D错误.
故选：ABC.
12．-6
答案第6页，共2页【分析】 代入方程，即可求解.
【详解】将 代入直线方程得 ，解得 ．
【点睛】本题考查直线的横截距的概念，属于基础题.
10．
【分析】解法一：根据题目条件可知， 即为二面角 的平面角，将异面直
线 与 所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性
运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解.
【详解】解法一：根据题意可知， 即为二面角 的平面角，所以
，
设正方形 与 边长均为1，异面直线 与 所成的角为 .
因为 ， ， ， ，
所以
，
所以 ，即 .
解法二：不妨假设正方形 与 的边长均为2，
如图，补形成直三棱柱，以 中点 为原点，建立空间直角坐标系，
则有 ， ， ， ，由此可得 ，
.
设异面直线 与 所成的角为 ，则 .14．1
【分析】设出正四面体的四个顶点，根据两点距离公式，结合 得到
截面方程为 ，即可得截面为正方形求解.
【详解】把正四面体 还原成正方体，以正方体的中心为原点，垂直于共点的三个面
的直线分别为 轴建立 空间直角坐标系，
设正四面体的四个顶点为
，
每条棱长均为2，设动点 ，
，
,
,
故 ，
，
因为 ，
所以 ，即所有满足条件的点 构成的平面为 平面（ 平面），
答案第8页，共2页而 为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点，故平面 与正四
面体相交于棱 的中点处，
由于正四面体中 ,因此截的四边形为正方形，且边长为 ,故面积为1
故答案为：1.
15．(1) 或 ．
(2)1或-1
【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可.
（2）将复数 代入方程中得到关于 的等式，然后可求得 ，进而求出结果.
【详解】（1）由题意知
，
又 为纯虚数，所以 解得 或 ．
（2）因为复数 是关于 的方程 的一个根，
所以 ，整理得 ，
所以 解得 ，或 ，
所以 ，或 ．
16．(1)证明见解析
(2) 或 .【分析】（1）令 ，解方程组即可得解；
（2）由已知条件可知 ，求得直线 与 轴、 轴的交点分别为
，列方程 即可求解.
【详解】（1）将直线 整理得
对任意实数 都成立，
所以 ，解得
所以对任意实数 ，直线 都经过一个定点 ；
（2）由已知条件可知 ，求得直线 与 轴、 轴的交点分别为
，
则有 ，化简得 ，
当 时，直线 的方程为
当 时，直线 的方程为
所以直线 的方程为 或 .
17．(1) ，
(2)（ⅰ）14；（ⅱ）
【分析】（1）连接 ，取 中点为 ，连接 ，结合空间向量的线性运算，以
为基底表示向量即可求解；
（2）确定空间基底向量 的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求
答案第10页，共2页解 ， ，即可得结论.
【详解】（1）连接 ，取 中点为 ，连接 ．
因为底面 是正六边形，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，所以
．
（2）由题知， ，
根据 ，可知 ，
因为底面是正六边形，所以 ，所以 ．
（ⅰ）
．
（ⅱ）因为 ，
所以
，所以
．
18．(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先由圆锥的底面周长和侧面积公式求出 ，接着由 得 平面
，再求证 得 平面 即可由面面平行的判定定理得证；
（2）建立适当直角坐标系，依次求出平面 与平面 的法向量，再由平面夹角的向
量法公式计算即可求解.
【详解】（1）由圆锥的底面周长为 ，可得侧面积为 ，解得
.
在 中，根据中位线性质可得 ，所以 平面 ，
由于 ，底面圆半径是1，所以 ，
又 ，所以 ，而 ，
所以 为等边三角形， .
于是 且 ，所以四边形 是平行四边形，可得 ，
所以 平面 ，又 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）易知 .如图，以 为坐标原点，在平面 中，
过 点作 的垂线为 轴， ， 所在直线分别为 ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
答案第12页，共2页设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 .
结合（1）可知， 也是平面 的法向量，
从而 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
19．(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）是，
【分析】（1）要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直从而得到线线垂直，即证明
平面 .
（2）（i）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出 的坐标，从而可证明.
（ii）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后求出平面 、平面 的法向量，进
而求出 的表达式，从而可判断 是否为定值.
【详解】（1）证明：由题意得 ， ，
.
， 平面 ， ，
平面 .
又 平面 ， .
（2）（i）证明：当 时，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，故 ， ， .
设 的中点为Q，易知 的外接圆的圆心恰为点Q，而 的外接圆的圆心为
BC的中点，分别过两个圆心作对应平面的垂线，则交点为O，根据已知条件，得点
，
故 ， ， .
答案第14页，共2页又O，C， ，D四点不共线， .
（ii）解： 为定值.
如图，以点 为坐标原点， ， 所在直线为 轴， 轴，以垂直于面 的直线为
轴建立空间直角坐标系，且 .
， ， ，
，其中 .
易得平面 和平面 的一个法向量 .
设平面 的一个法向量 ，
有 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，
有 ，令 ，得 .
故 ， .
而 ， .故 .
20．
【分析】如图，以四个球的球心为顶点作四面体 ，则
，设 的中点分别为 ，设小球的球心为 ，
半径为 ，可证得 必在线段 上，利用勾股定理分别表示出 ，然后由
列方程可求出
【详解】解：以四个球的球心为顶点作四面体 ，
则 ，
设 的中点分别为 ，设小球的球心为 ，半径为 .
因为 ， ，所以 .
所以面 是线段 的中垂面.
又因为 ，所以 在平面 上.
同理， 也在线段 的中垂面 上，从而 必在线段 上.
，
，
由 ，得
答案第16页，共2页解此方程，可得 .
