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2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角 （ ）
A． B． C． D．
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现
金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．已知点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知平面 外的直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则 与 的位置关系
是（ ）
A． B． C． 与 相交但不垂直 D． 或
5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，则方程组
只有一个解的概率为
A． B．
C． D．
6．若空间向量 满足 ，则 在 方向上投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则点 到原点距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知 是长方体外接球的一条直径，点 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1， ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．
记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生”
事件B:“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（ ）
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
A．事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”
B．事件A与事件B互斥
C．
D．事件A与事件B相互独立
10．下列说法错误的是（ ）
A． 是直线 与直线 互相垂直的充要条件
B．经过点 且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是
C．直线 的倾斜角 的取值范围是
D．曲线 与曲线 ，恰有四条公切线，则实数 的取值范围
为
11．在平面直角坐标系中，曲线 是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确
的有（ ）A．曲线 围成的图形有4条对称轴
B．曲线 围成的图形的周长是
C．曲线 上任意两点间的距离最大值是
D．若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是
三、填空题
12．已知事件 和事件 互斥，若 且 ，则 .
13．直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称的直线方程为 ．
14．在四面体 中，Q为 的重心， 分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若 ，
， ，PQ与平面EFG交于点D，则 .
四、解答题
15．已知直线 ： ， ： ，其中 为实数.
(1)当 时，求直线 ， 之间的距离；
(2)当 时，求过直线 ， 的交点，且垂直于直线 的直线方程.
16．已知向量 ， ，若向量 同时满足下列三个条件：
① ；② ；③ 与 垂直.
（1）求向量 的坐标；
（2）若向量 与向量 共线，求向量 与 夹角的余弦值.
17．在直角梯形ABCD中， ， ， ，如图①把 沿BD翻折，使得平面 平面 （如图②）.
(1)求证： ；
(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；
(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
18．已知圆C过 ， ，且圆心C在x轴上.
(1)求圆C的周长；
(2)若直线 过点 ，且被圆C截得的弦长为 ，求直线 的方程；
(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 ， 分别与直线 相交
于P，Q，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值.
19．近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争
夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最
终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决
赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个
队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘
汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发
现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有
一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，
是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为 ，其中 对阵其他三个
队伍获胜概率均为 ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为 ．最初分组时 同组， 同组．(1)若 ，在淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率（用 表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，
是否如很多人质疑的“对强者不公平”?题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B C B B AC ABD
题号 11
答案 ACD
1．A
由直线的斜率得倾斜角．
【详解】由直线方程知直线的斜率为 ，因此倾斜角为 ．
故选：A．
2．B
【详解】设事件A为不用现金支付，
则
故选：B.
3．C
根据直径求出圆心、半径即可得解.
【详解】因为 为直径，所以圆心为 ，
半径 ，
所以圆的方程为 .
故选：C.
4．B
根据 得到 ，进而得到 与 的位置关系.
【详解】因为 ，所以 ，所以 或 ，
由于 ，所以 .
故选：B.
5．B
【详解】点(a，b)取值的集合共有6×6＝36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即 ≠ ，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组 只有一个
解的概率为 ＝ .
6．C
设向量 的夹角为 ，根据题意，求得 ，得到所以 在 方向上的投影为
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为 ，设向量 的夹角为 ，
所以 ，可得 ，
解得 ，
所以 在 方向上的投影为
，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 在 方向上的投影的最大值为 ．
故选：C.
7．B
根据已知求出点 的轨迹方程再结合两点间距离及三角换元得出最小值.
【详解】圆 ，设圆心 ，圆的半径为 ，
因为过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，则 ，
设点 ，可得 ，
化简可得 ，
设 ，
则点 到原点距离 ，
当 时，点 到原点距离最小值为 ，
故选：B.
8．B
在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
根据题意，以D为坐标原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐
标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB 为外接球的一条直径，设O为DB 中点，不妨设M与D重合，N与B 重
1 1 1
合.
则外接球的直径长为 ，所以半径r=1；
所以由P在长方体表面上运动，所以 ，即
所以 ，即
故选：B
9．AC
对于A，直接根据对立事件的定义即可；对于B，说明两事件可能同时发生即可；对于C，直接用古典概
型概率的计算方法计算即可；对于D，直接使用两事件独立的定义验证即可.
【详解】对于A，由于事件A不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，
选到女生”，故A正确；
对于B，由于存在既是团员也是男生的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错
误；
对于C，直接计算即得 ， ，故C正确；
对于D，由于 ，从而事件A与事件B不相互独立，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
解：对于 ，利用两直线的斜率的关系得解； 对于 ，若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足
条件，得到结论；对于 ，直线的斜率 ，利用 的范围得到 的范围，又 ，结合正切
函数的图像得到 的范围；对于 ，求出圆心为 和半径 ，由圆 与曲线 有四条公切线，得到曲
线 也为圆，且圆心为 ，半径 同时两圆的位置关系为外离，有
，计算得解.
【详解】解：对于 ，当 ，两直线方程分别为 和 ，
此时两直线平行，并不垂直，故 错误；对于 ，若直线过原点，则直线方程为 ，此时也满足条件，故 错误；
对于 ，直线的斜率 ，则 ，即 ，
则 ，故 正确；
对于 ，方程 可化为 ，
故曲线 表示圆心为 ，半径 的圆，
方程 可化为 ，
因为圆 与曲线 有四条公切线，所以曲线 也为圆，且圆心为 ，
半径 同时两圆的位置关系为外离，有 ，
即 ，解得 ，故 错误.
故选： .
11．ACD
分类讨论去掉绝对值可得曲线 的四段关系式，从而作出曲线 的图象，由曲线 图象判断各选项即可.
【详解】当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
当 时，曲线 的方程可化为 ，
所以曲线 的图象如图所示，
对于A，由图可知曲线 围成的图形有4条对称轴，故A正确；对于B，曲线 由4个半圆组成，其周长为 ，故B错误；
对于C，由图可知曲线 上任意两点间的最大距离为 ，故C正确；
对于D， 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离为 ，
由圆的性质得曲线 上一点到直线 的距离最小为 ，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
12． /
先求出 ，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解.
【详解】因为随机事件A和B互斥，且 ，
所以 ，
而 ，
所以 .
故答案为：
13．
【详解】由 得： ，当 时， ， ；
设直线 关于 点对称的直线方程为 ，
，解得： 或 （舍），直线 关于 点对称的直线方程为 .
故答案为： .
14．
设 中点为 ，根据线面关系可得 与 的交点为 ，再根据平面向量基本定理，结合共线定理，设
， 求解即可.
【详解】连接如图，设 中点为 ， ，连接 ，由 共面可知， 与平面
的交点即 与 的交点 .
因为 ， ， ，设 ，
则 ，设 ，
则 ，故 ，
故 ，解得 ，代入 可得 ，即 .
由重心性质可得 ，设 ，
又 ，则 ，故 ，解得 .
故 ，故 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）直接根据两直线平行的公式计算出 ，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【详解】（1）由 得 ，解得 ，
此时直线 ： ， ： ， 不重合，
则直线 ， 之间的距离为 ；
（2）当 时， ： ，
联立 ，解得 ，
又直线 斜率为 ，
故过直线 ， 的交点，且垂直于直线 的直线方程为 ，
即 .
16．(1) 或 ；(2) .【详解】试题分析：（1）设 ，结合空间向量的运算法则及模长公式，列出方程组，即可求出
的坐标；（2）根据数量积运算公式可得 ，根据空间向量夹角公式可得余弦值.
试题解析：（1）设 ，则由题可知 解得 或
所以 或 .
（2）因为向量 与向量 共线，所以 .
又 ， ，所以 ， ，
所以 ，且 ， ，
所以 与 夹角的余弦值为 .
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
（1）先证明 ，利用平面 平面 可得 平面 ，进而利用线面垂直的性质即可求
证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而即可求解；
（3）设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为 ，设 ， ，可得
，利用向量的夹角公式建立方程即可求解.
【详解】（1）证明：过 作 ，垂足为 ，因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
即 ，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 .
（2）以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，
由已知可得 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面ACD的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
所以点M到平面ACD的距离为 .（3）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为 ，
设 ， ，
因为 ，则 ，
即 ，所以 ,
又因为平面ACD的一个法向量为 ，且直线AN与平面ACD所成的角为 ，
所以 ,
整理得 ，解得 或 （舍去）.
综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为 ，此时 .
18．(1)
(2) 或
(3)
（1）由已知设圆的方程为 ，代入 ， ，即可求解；
（2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线 的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可；
（3）设直线 的斜率为 ，联立直线 和圆C的方程，可得点 的坐标，根据 可
得直线 的斜率，同理可求解点 的坐标，由此可知点 的坐标，然后根据 结合基本
不等式求解即可.
【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为 ，
又圆C过 ， 得 ，解得 ， ，所以圆的方程为 ，
其周长为 ；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为 ，
所以圆心C到直线 的距离为 ，
①若直线 的斜率不存在时，直线 与圆C交点为 ，
直线与圆C截得的弦长为 ，故直线 符合题意；
②若直线 斜率存在时，设 ，整理得 ，
所以圆心C到直线 的距离为 ，解得 ，
则直线 ，即直线 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ；
（3）因为原点 在圆 上，直线 过圆心 ，且与 轴所在直线不重合，
， ，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，由 ，得 ，
解得 或 ，
则点 的坐标为 ，
又直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
解得 或 ，
则点 的坐标为 ，
由题可知： ， ，
故 ，
又因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 .
19．(1) 获得冠军的概率分别为 ，
(2)淘汰赛赛制下 获得冠军的概率为 ，“双败赛制”赛制下 获得冠军的概率为 ，双败赛制
下对强者更有利.
（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求 获得冠军的概率；
（2）分别求出不同赛制下 获得冠军的概率，研究 哪种赛制下 获得冠军的概率更大，即可得
结论.
【详解】（1） 获得冠军： 组 获胜，再由 与 组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为 ，
获得冠军： 组 获胜，再由 与 组胜者决赛并胜出，
获得冠军的概率为 .
（2）淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率为 ，
“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，
当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；
若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；
综上， 获得冠军的概率 .
令 ，
若 为强队，则 ，故 ，
