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柳州铁一中学 2023 级高二上学期数学试题
一､单选题
1. 已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，过 作圆的切线
, ,切点为 , 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB，则两切线形成的角 最小，若椭圆
上存在满足条件的点 P，则只需 ，即 ， ，解得
， ，即 ，又 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ；
考点：椭圆方程及性质
2. 椭圆 ，（ ）的右顶点为 ，已知 ，若椭圆上存在点 ，满足 ，
则椭圆离心率 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 ，再求点 满足的轨迹方程 ，接着判断 ，最后求椭圆的离心率的取
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学科网（北京）股份有限公司值范围.
【详解】解：因为椭圆 ，所以 ，
设点 ，因为 ， ， ，
所以点 满足的轨迹方程： ，即 ，
故当 时，点 存在，
故椭圆的离心率 ，又因为 ，
所以
故选：B
【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题
3. 已知圆 和两点 ， ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆心 到 距离为 ，可得圆 上的点到 的距离最大值为 ，最小值为 ，再
由 ，可得 ，从而得到答案.
【详解】圆 的圆心 ，半径为 ，
因为圆心 到 距离为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以圆 上的点到 的距离最大值为 ，最小值为 ，
又因为 ，则以 为直径的圆和圆 有交点，
可得 ，
所以有 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了实数值取值范围的求法，注意圆的性质的合理运用，属于中档题.
4. 设 分别是椭圆的左､右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长
与椭圆交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
.
A 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关
系得到答案即可.
详解】
【
点 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，
，设
，在Rt 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司，解得 ，
在Rt 中，
所以直线 的斜率为 ，
故选：B.
5. 加斯帕尔 蒙日是 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂
直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方
程为 时，蒙日圆方程为 .已知长方形 的四边均与椭圆
相切，则下列说法错误的是（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 若 为正方形，则 的边长为
C. 椭圆 的蒙日圆方程为
D. 长方形 的面积的最大值为
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形 的对
角线长和基本不等式可求得BD错误.
【详解】对于A，由椭圆 方程知： ， ，则 ，
椭圆 的离心率 ，A正确；
对于BC，由A知：椭圆 对应的蒙日圆方程为： ，
正方形 是圆 的内接正方形， 正方形 对角线长为圆的直径 ，
正方形 的边长为 ，B错误，C正确；
对于D，设长方形 的长和宽分别为 ，
长方形 的对角线长为圆的直径 ， ，
长方形 的面积 （当且仅当 时取等号），
即长方形 的面积的最大值为 ，D正确.
故选：B.
6. 若椭圆： 的蒙日圆为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点 在蒙日圆上，坐标满足圆
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学科网（北京）股份有限公司的方程，从而得到关于 的方程进行求解.
【详解】如图， 分别与椭圆相切，显然 .
所以点 在蒙日圆 上，所以 ，
所以 ，即 ，所以椭圆 的离心率 .
故选：D.
7. 现将质点 随机投入椭圆 所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆
的面积公式为 ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出蒙日圆面积，再求出椭圆面积，根据几何概率即可得到答案.
【详解】由题意知，蒙日圆的半径为 ，
所以 ，
根质点落在椭圆外部的概率为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：D.
8. 若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由椭圆方程可得蒙日圆方程，再由两个圆仅有一个公共点可得圆心距等于半径之和或者圆心距
等于半径差的绝对值，进而可得 的值.
【详解】由题意可知 的蒙日圆方程为 ，
因为圆 与圆 仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，
故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以 或 ，
由此解得 .
故选：B.
9. 已知椭圆 的蒙日圆方程为 ，现有椭圆
的蒙日圆上一个动点 ，过点 作椭圆 的两条切线，与该蒙日圆分别交于
两点，若 面积的最大值为34，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由 可得直径，又利用基本不等式的求得 的
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学科网（北京）股份有限公司最大值，进而由 面积的最大值为34可得 的值.
【详解】由题意可知椭圆 的蒙日圆的半径为 ，因为 ，
所以 为蒙日圆的直径，所以 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ，
所以 ，则 .
故选：A.
10. 双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设P(x ,y )和过点 的双曲线切线方程为 ，再将其与双曲线方程联立，利用
0 0
判别式等于0和和韦达定理即可得到答案.
【详解】不妨设P(x ,y )，则过点 的双曲线切线方程为 存在且不为零，
0 0
联立 ，消去 得 ，
所以 ，整理得
可知 为关于 的方程 的两个根，且 ，
即 ，整理得 ，即点 的轨迹方程为 ，
即双曲线 的蒙日圆方程为 ，
半径为 面积为 .
故选：A.
二､填空题
11. 在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于
实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线 的蒙日圆上一
点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 两点，若 ，则 的周长为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】结合双曲线方程求出 与 ，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得 为直径，
解直角三角形可得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由双曲线 可知， .
则 的蒙日圆圆心为 ，半径为 ，其蒙日圆方程为 ，
由已知可得 ，
所以 为圆的直径，所以 .
又 ，所以 .
所以 的周长为 .
故答案为： .
12. 椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点A在椭圆上， ，直线
交椭圆于点B， ，则椭圆的离心率为______．
【答案】 （ 也可以）
【解析】
【分析】可以利用条件三角形 为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与 之间等量关系，然后
把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
由题意知三角形 为等腰直角三角形，设 ，则 ，解得 ，
，在三角形 中，由勾股定理得 ，所以 ，
．
故答案为： （ 也可以）
13. 已知椭圆 的左､右焦点为 ，过 作x轴垂线交椭圆于点P，若 为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】以 为等腰直角三角形列方程组可得 之间的关系式，进而求得椭圆的离心率.
【详解】椭圆 的左､右焦点为 ，点P
由 为等腰直角三角形可知， ，即
可化为 ，故 或 （舍）
故答案为：
14. 设椭圆 的两焦点为 ， .若椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的
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学科网（北京）股份有限公司离心率e的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，根据椭圆性质和余弦定理得到 ，利用均值不等式
得到 ，解得答案.
【详解】设 ， ，则 ， ，
即 ，
，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，即 ， .
故答案为：
三､多选题
15. 如图，正方体 的棱长为2， 是 的中点， 是侧面 内的一个动点（含
边界），且 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面 截正方体 所得截面的面积为
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学科网（北京）股份有限公司B. 动点 的轨迹长度为
C. 的最小值为
D. 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正方体的截面、动点轨迹、线段和的最值、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答
案.
【详解】如图1，取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，
所以平面 截正方体 所得的截面为四边形 .
因为 ，所以A错误.
如图1，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 ， ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，由于 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以点 的轨迹为线段 .因为 ，所以B正确.
如图2，将平面 ，平面 展开至共面，连接 交 于 ，
此时 最小，因为 ，所以C正确.
如图3，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
当 时， 有最大值 ，所以D正确.
故选：BCD
的
16. 在棱长为2 正方体ABCD-ABC D 中，E是棱DD 的中点，F在侧面CDD C 上运动，且满足BF//平
1 1 1 1 1 1 1 1
面ABE．以下命题正确的有（ ）
1
A. 点F的轨迹长度为
B. 直线 与直线BC所成角可能为45°
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学科网（北京）股份有限公司C. 平面ABE与平面CDD C 所成锐二面角的正切值为
1 1 1
D. 过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取 和 的中点分别为 ，即可证明平面 平面 ，从而得到点 在线段
上，即可判断A；由 ，则 即为异面直线所成的角，再利用锐角三角函数计算即可
判断B；找出二面角的平面角，利用锐角三角函数计算即可判断C；当 为 与 的交点时过点
的平面截正方体所得的截面面积最大，求出最大截面面积，即可判断D；
【详解】解：对于 ：取 和 的中点分别为 ，连接 ，则
， 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 ，因为 在侧面 上运动，且满足 平面 ，
所以点 在线段 上．故点 运动的轨迹长度为： ，故选项 正确；
对于B：因为 ．所以 与直线 所成角即为 与直线 所成角，则 即为异面
直线所成的角，在Rt 中， ，因为正方体的棱长为2，在Rt 中，
，若所成的角为 ，则 ，而 最大为 ，矛盾，所
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学科网（北京）股份有限公司以所成角不可能为 ，故选项B不正确；
对于C：因为面 面 ，所以平面 与平面 所锐二面角，
即为平面 与平面 所成锐二面角，因为面 面
，当 为线段 的中点，可得
，所以 即为二面角的平面角，且 ，
所以 ，故选项C正确；
对于 ：当 为 与 的交点时过点 的平面截正方体所得的截面面积最大，取 的中点
， ，则截面 为菱形， ，其面积为
故选项D正确，
故选：ACD．
四､解答题
17. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的面积为S，已知
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学科网（北京）股份有限公司（1）求角A；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 ，进而根据正弦函数的性质即
可求解取值范围.
【小问1详解】
已知 ，由余弦定理和三角形的面积公式，
得 ，即 ，
若 ，则 ，不符合题意，故 ，
所以 ，由 ，得 .
【小问2详解】
， ， ，
由正弦定理 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
由 ，则 ，得 ，
所以 ，即 的取值范围 .
18. 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 记 的 面 积 为 ， 且
.
（1）求角 ；
（2）若 为 的中点，且 ，求 的内切圆的半径.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角 ；
（2）由题意得 ，两边平方化简可求出 ，再利用余弦定理可求出 ，然后利用等
面积法可求得结果.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ；
【小问2详解】
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
解得 或 （舍），
由余弦定理得 ，所以
设 的内切圆半径为 ，则 ，
所以 ，解得
19. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角， 的面积为S，且满足
．
（1）若 ，求A；
（2）求 的最大值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简整理即可结果；（2）根据题意利用余弦定
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学科网（北京）股份有限公司理边化角整理可得 ，在以 为整体结合正弦函数的有界性运算求解.
【小问1详解】
由正弦定理 和 ，得 ，
又∵ ，
∴ ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
又∵ ，则 ．
【小问2详解】
∵ ，
由余弦定理得 ，
所以 ，则 ，
又∵ ，则 ，
当 ，即 时， 取最大值，最大值为4．
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