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哈三中 2025—2026 学年度上学期
高二学年期末考试数学试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时
间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的标准方程求解即可.
【详解】抛物线 的焦点在x的正半轴上， ，所以焦点坐标为 .
故选：B.
2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，正态曲线的对称轴为 ，可得
【详解】∵随机变量 服从正态分布 ，
，
.
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司3. 若二项式 的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ）
A. 12 B. 15 C. 20 D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】利用公式二项式系数和为 得到 ，解得 的值，求出 ，整理后设 的
次数为 ，求出 ，从而计算出常数项.
【详解】 的展开式中二项式系数和为 ， ， ，
设 为常数项，则 ，
故 ，解得 ，则 .
故选：C.
4. 若双曲线 的虚轴长为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出 值，进而求出其渐近线方程.
【详解】由双曲线 的虚轴长为 ，得 ，
因为该双曲线的渐近线方程为 ，
所以该双曲线的渐近线方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：A
5. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童
话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志
愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、
乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ）
A. 102种 B. 105种 C. 210种 D. 288种
【答案】C
【解析】
【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲乙丙3人有一人负责语言服务工作的方法
数，即可求得结果.
【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，
共有 种.
其中甲乙丙3人有一人负责语言服务工作，有 种，
故符合条件的选法共有 种.
故选：C.
6. 圆 与圆 相交，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心距 ，
又圆 与圆 相交，所以 ，
即 ，又 ，所以解得： ，
故选：C.
7. 已知双曲线 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，若双曲线右支上一点 满
足 且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及已知条件求出 ， ，利用余弦定理得到 与 的关系，进而求出离
心率.
【详解】由双曲线的定义知， ，又 ，
所以 ， .
在 中， ， ，
由余弦定理得， ，
即 ，整理得 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
8. 手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛
物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的
光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线 和 发出的两条光线经抛物
线 两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用抛物线的光学性质求出两条光线第二次反射的反射点的纵坐标即可.
【详解】抛物线 的焦点 ，
设过点 的抛物线弦所在直线方程为 ，
由 消去 得 ，
设弦的两个端点坐标为 ，
则 ，当 时， ；当 时， ，
因此两条光线第二次反射的反射点的纵坐标分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以两次反射后，两条反射光线之间的宽度为 .
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确 是的（ ）
A. 圆的周长与该圆的直径具有相关关系
B. 当两个变量相关且样本相关系数 时，表明两个变量正相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
D. 依据小概率值 的独立性检验推断两个分类变量X与Y是否有关联，经计算
，可以推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过0.05
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的周长与该圆的直径的关系可判断 A；根据相关系数的意义判断B；根据残差图的意义判
断C；根据独立性检验的原理判断D.
【详解】对于A，圆的周长公式为 （ 是周长， 是直径），这是确定的函数关系，
不是相关关系（相关关系是变量间非确定性的关系），所以A错误；
对于B，样本相关系数r的取值范围是 ，当 时，表明两个变量正相关；
当 时，表明两个变量负相关。所以B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型对数据的拟合效果越好；
若带状区域越宽，拟合效果越差。所以C错误；
对于D，依据独立性检验，当 （这里 ）时，
我们推断“两个分类变量有关联”，且这种推断犯错误的概率不超过 ，
本题中 ，符合该规则，所以D正确，
故选：BD
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知抛物线 的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（ ）
A. 焦点F与C的准线的距离为1
B. 的最小值为2
C. 存在直线l，使得
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可判断A；设过焦点 的直线l的方程，联立抛物线方程，
可得根与系数的关系，求出 的表达式，确定其最小值，判断B；由题意可计算 的值，根据其
结果是否为0，判断C；数形结合，将 的最小值问题转为点M到准线的距离问题，判断D。
【详解】对于A，抛物线 ，其标准方程为 ，
其焦点到准线的距离为 ，A正确；
对于 B，由题意知直线 l 的斜率必存在，设过焦点 的直线 l 的方程为 ，设
，将 代入 ，可得 ， ，
由韦达定理可知 ，
，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值2，选项B正确；
对于C，若 ，则 ，
由于 ，故 ，
故 ，故不存在直线l，使得 ，C错误；
对于D，因为 ，故点 在抛物线内，如图，
设点A到准线 的距离为d，根据抛物线的定义知 ，
则 ，其最小值为点 到准线 的距离，
此时过点M向准线作垂线，和抛物线的交点即为A点，
故点 到准线 的距离为 ，
即得 的最小值为 ，所以选项D正确，
故选：ABD
11. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且左、右焦点
分别为 ， ，它们在第一象限的交点为 ，若椭圆离心率记为 ，双曲线离心率记为 ，则下列结论
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学科网（北京）股份有限公司正确的是（ ）
A. 若 ，则 的面积为1
B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 的最小值为25
D. 若 ，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点，结合椭圆及双曲线定义，用 表示出 和 .
根据选项给出的已知条件，结合勾股定理逆定理、余弦定理及基本不等式、三角函数的知识逐项分析即可.
【详解】由题意知， .
设 ， （ ），
由椭圆定义： ，由双曲线定义： ，
所以 ， .
选项A：若 ，则 ，即 ，
.
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为直角三角形，且 .
所以 ，故A正确.
选项B：若 ， ，则 ， ，
所以 ，B错误.
选项C：在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，则 .
所以
，当且仅当 即 时，等号成立，故C
正确.
选项D：同理可得， ，即 .
设 ， ，则
.
又 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 三条直线 ， ， 相交于一点，则 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数.
【详解】联立 ，解得 ，
把交点坐标 代入 ，得 ，解得 .
故答案为： .
13. 已知 是椭圆 的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点 ，则 的最大
值是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据椭圆的定义得到 的关系，再利用三角形三边关系 ，进而求
出结果.
【详解】设 是椭圆 的右焦点，则 ， .
根据椭圆的定义得 ，所以 .
所以 .
因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，
故 的最大值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 已知 ， ，动点P满足 ，O为坐标原点，则 最小值为__________；
过点P作抛物线 的两条切线，切点分别为M，N，则 面积的取值范围是__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】设 ，结合已知可得动点P的轨迹方程，进而可求 的最小值；先求得切点弦 的方
程，进而求得弦长与点 到直线 的距离，进而计算可求得 面积的取值范围.
【详解】设 ，因为 ， ， ，
所以 ，
两边平方 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，所以动点P的轨迹为圆心为 ，半径为 ，
又 ，所以 最小值为 ；
设 ，过 与抛物线相切 的直线斜率显然存在且不为0，
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学科网（北京）股份有限公司设切线方程为 ，与抛物线方程联立可得 ，
即 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
直线 过切点 ， ，
所以切点弦 方程为 ，
与抛物线方程联立可得 ，所以 ， ，
所以 .
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
令 ，
又 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，当 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线 的离心率为 ， ， 分别为双曲线的左、
右焦点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若斜率为1的直线l过点 与双曲线C交于A，B两点，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）易得 ，再由左右焦点分别为 ， 得到 求解；
（2）设直线AB的方程为 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得弦长AB，再求得点 到直线
AB的距离，利用三角形面积公式求解.
【小问1详解】
因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，
又因为 ， 分别为双曲线的左、右焦点，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ，
所以双曲线C的标准方程为 ；
【小问2详解】
为
由题意设直线AB方程 ，
与双曲线方程联立 ，
消去x得 ，
由韦达定理得 ，
则 ，
点 到直线AB的距离为 ，
所以 .
16. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张
奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取 2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的
折扣进行结算．
（1）在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率；
（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望 ．
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用古典概型概率公式及条件概率公式可求解；
（2）由题可知 的取值可以是 ，利用古典概型概率公式可求其分布列及数学期望.
【小问1详解】
从8张奖券中任取2张，共有 种可能；
一位顾客结账时按照6折结算，即至少抽到一张 折券，共有 种可能.
这13种情况中，抽到的2张奖券的折扣不同的情况共有 种.
所以在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率为 ；
【小问2详解】
由题可知 的取值可以是 .
， ， ，
.
所以X的分布列为
60 70 80 90
所以X的数学期望 ．
17. 自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近 5年该地区的人工智能
核心产值规模 （单位：亿元）.
202
年份 2020 2021 2022 2024
3
年份编号 1 2 3 4 5
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学科网（北京）股份有限公司核心产值规模
1.5 2.5 3.4 4.9 7.8
（1）若用 作为回归模型，并已求得 ， ， ，求此模型下的
决定系数 （精确到0.01）.
（2）若用 作为回归模型，
①求 的值；
②已知该模型下的决定系数 ，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测
2025年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
4.0 16.1 1.2
3 104.91 22.54 1.1 1.5 11.4
2 6 4
附：（1）上表中 ；
（2）一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公
式分别为 ， ，决定系数 .
【答案】（1）
（2）① ， ，②预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为 （亿元）.
【解析】
【分析】（1）利用决定系数公式计算即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）①将指数模型两边取对数转化为线性模型，利用最小二乘法求解 ，即可求解；②通过比较
判断模型优劣，并代入 预测2025年产值即可.
【小问1详解】
由题意可得 ，
所以决定系数
【小问2详解】
将 两边取对数，可得 ，
设 ，则模型为 ，其中 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，
则 ，
所以 ， ，
因为该模型下的决定系数 ，大于线性模型下的决定系数 ，
故指数模型拟合效果更好，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，可得 （亿元），
故预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为 （亿元）.
18. 已知动点P到点 的距离比到直线 的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）已知点 ，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N．
①设直线AB的斜率为 ，直线MN的斜率为 ，试判断 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请
说明理由；
②求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由抛物线的定义得到轨迹方程；
（2）①设出直线 的方程为 ，直曲联立，得到 ，可得 ，再由
斜率的定义 ，进而可得结论；②由点斜式写出直线 的方程，得到 过定点，
再由三角形面积公式表达出 面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值.
【小问1详解】
由题可知，点P到点 的距离与到 的距离相等，
所以曲线C是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，方程为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
①设 ，
由题意可知 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
联立得 ，消去 ，得 ，
显然 ，所以 ，
直线 的方程为 ，联立得 ，
消去 ，得 ，整理得 ，
则 是方程的两根， ，
所以 ，所以 ，同理可得 ，
，
因为 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司②由①知 的方程为： ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 过定点 ．
所以
，
当且仅当 时， 面积最小，最小值为 .
19. 一个动圆Q与圆 外切，与圆 内切，设圆心Q的轨迹为曲
线C，过点 作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）在y轴上求异于 的点P，使得对于任意的直线l，都有 ；
的
（3）设 ， 分别为曲线C 上、下顶点，直线 与直线 交于点M，若曲线C在点A处的切线交
y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，
请说明理由．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）是，
【解析】
【分析】（1）求出圆心 及圆 的半径 ，求出圆心 及圆 的半径为 ，设动圆 的半径为 ，由
与圆 外切，与圆 内切得到 和 的值，根据椭圆的定义得到 的轨迹是以 ，
为焦点的椭圆，继而求出 的轨迹方程 .
（2）根据在y轴上求异于 的点P设出 ，讨论 和 ，当 时， 两点关于
轴对称，符合题意；当 时，设过点 作斜率为 直线 的方程，直线 和椭圆 联立方程组，消
去 ，得到关于 的一元二次方程，根据根与系数的关系写出 ，由对于任意的直线l，都有
得到 为 的角平分线，则有 ，求出 ，代入 ，通过
计算求出 的值，从而得到所求.
（3）由 ， 分别为曲线C的上、下顶点，写出 的坐标，设 ，写出在点 处的切线方程，
将 代入在点 处的切线方程求出 ，得到 的坐标，利用点斜式求出直线 和 的方程，这两
个方程联立方程组求出的解就是 的坐标，利用点斜式求出直线 的方程，由直线 的方程为=
解出 ，代入直线 ，通过计算得到直线AB与直线MN的交点 的纵坐标为定值，
从而得到直线AB与直线MN的交点 在定直线上.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
设动圆 的半径为 ，
圆 与圆 外切，与圆 内切，
， ，
， ，
， 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
且 ，即 ， ，
轨的迹方程为 .
【小问2详解】
在y轴上求异于 的点P， 设 ，
当 时， 两点关于 轴对称，满足 ，故符合题意；
当 时，设过点 作斜率为 的直线 的方程为 ，
将 代入 中得到 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，
则 ，
对于任意的直线l，都有 ， 为 的角平分线，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
综上可知，在y轴上存在异于 的点 ，使得对于任意的直线l，都有 ；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司， ， 分别为曲线C的上、下顶点，
，设 ，
则在点 处的切线方程为 ，
将 代入 ，解得 ，则 ，
将 代入 得 ，则
， 直线 的方程为 ，
， 直线 的方程为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，即 ，
即 ，即 为 的横坐标，
将 代入 ，
即 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，即 为 的纵坐标，
故 ， ，
，
， ， ，
将 代入 ，
得 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，解得 ，
将 代入直线 得 ，
，
，
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
将 代入 ，
得 ，
， ，
直线AB与直线MN的交点 的纵坐标为定值 ，
直线AB与直线MN的交点 在定直线 上.
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
