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2025 年高二 10 月期中考数学试题答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B A B D D CD BCD
题号 11
答案 ACD
12. 13. 4 14. 或9
15. 已知 顶点 、 、 ．
的
（1）求直线BC 方程及其在y轴上的截距；
（2）求边BC的垂直平分线l的方程
（3）求 的面积．
【答案】（1） ； ； （2） ； （3） .
【小问1详解】
因为 、 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，即直线 的方程在y轴上的截距为 ；
【小问2详解】
由题可知 的中点为 ，直线 的斜率为 ，
线段 的垂直平分线 的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线 的方程为 ，即 ；
【小问3详解】因为直线 的方程为 ，又 ，
所以 到 的距离为 ，
又 ，
所以 的面积为 .
16. 已知椭圆C与双曲线 有相同的焦点，且椭圆C经过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于 ，且 的中点为 ，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意可设椭圆方程 ，焦距为 ，
易知双曲线 焦点坐标为 ，则椭圆C的焦点坐标为 ，即 ，
又椭圆C经过点 ，
根据椭圆的定义可知： ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
【小问2详解】
易知点 在椭圆内部，设A(x ,y ),B(x ,y )，则
1 1 2 2
，作差得 ，
则 ，
所以 ，则直线l的斜率为 ，
由点斜式可知直线l的方程为
的
所以直线l 方程为： .
17．（17分）已知：圆 的圆心在第一象限，与 轴相切，与 轴交于 ， 两点，且
， ，点 在斜率为 的直线 上．(1)若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程；
(2)若存在圆心在直线 上，半径为 的圆 与圆 外切，求 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或
【详解】（1）设圆 ，
根据题意，可得 ，解得 ， ，
所以圆 的标准方程为 .
设直线 ，圆心 到 的距离 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
（2）若存在圆 与圆 外切，即存在点 使得 ，
因为 到 的距离 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 或 .
18. 已知椭圆 的两个焦点为 和 ，点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为椭圆 上一动点，求点 到直线 距离的最值；
（3）分别过 ， 作平行直线 ，若直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线
交于 两点，其中点 在 轴上方，求四边形 的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为
（3）
【小问1详解】
由题意得 ，
因为点 为椭圆 的上顶点， 为等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
设与直线 平行且与椭圆相切直线方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，解得 ，平行直线 与 的距离 ，
所以 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，最小值为 ；
【小问3详解】
由题意可得直线 的斜率不为零，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
设 ，
则 ，
则 ，
直线 之间的距离 ，
则四边形 的面积 ，
令 ，则 ，
故 ，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，所以 ，所以 ，
由椭圆的对称性可得四边形 的面积 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 .
19．（17分）已知椭圆 x2 y2 分别为左右焦点，短轴长为2，点
C: + =1(a>b>0),F ,F
a2 b2 1 2
M为椭圆C在第一象限的动点，△M F F 的周长为4+2❑√3.
1 2
(1)求C的标准方程；
(2)若∠F M F =60°，求点M的坐标；
1 2
16
(3)若A(-3,0)，直线l:x=ty+1(t>0)交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为 ，
5
求t的值.
【解析】（1）设 ，则 ，且 ，
|M F |=m,|M F |=n m+n=2a |F F |=2c
1 2 1 2
由题意可知：¿，解得¿，………………3分
x2
所以椭圆C的标准方程 + y2=1. ………………4分
4
（2）由（1）可知： ，且 ，………………5分
m+n=4 |F F |=2❑√3
1 2
由余弦定理可得|F F | 2=m2+n2-2mncos∠F M F =(m+n) 2-2mn-2mncos∠F M F ，
1 2 1 2 1 2
4
即12=16-2mn-mn，解得mn= ，………………7分
3
设 ，
M(x ,y ),x >0,y >0
0 0 0 0
1 1
由△M F F 的面积可得 mnsin∠F M F = |F F |⋅y ，
1 2 2 1 2 2 1 2 0
1 4 ❑√3 1 1
即 × × = ×2❑√3 y ，解得y = ，………………9分
2 3 2 2 0 0 3
且x2
0+ y2=1
，则
x2=4-4 y2=
32，可得
x =
4❑√2，………………10分
4 0 0 0 9 0 3
所以点 的坐标为(4❑√2 1). ………………11分
M ,
3 3
（3）因为直线l:x=ty+1(t>0)过定点D(1,0)，且点D(1,0)在椭圆C内，
则直线 与椭圆C必相交，设 ，
l E(x ,y ),F(x ,y )
1 1 2 2
联立方程 ，消去x可得 ，………………13分
¿ (t2+4)y2+2ty-3=0
2t 3
则y + y =- ,y y =- ，………………14分
1 2 t2+4 1 2 t2+4
可得
|y - y |=❑
√ (
-
2t ) 2
+
12
=
4❑√t2+3，………………15分
1 2 t2+4 t2+4 t2+4
则 的面积为 1 1 4❑√t2+3 8❑√t2+3 16，
△AEF S = |AD|⋅|y - y |= ×4× = =
△AEF 2 1 2 2 t2+4 t2+4 5
………………16分解得t=1（负值舍去），所以t的值为1. ………………17分
