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陕西省榆林市2025-2026学年高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10
次成绩的80%分位数为（ ）
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点为 ，点 是点 在坐标平面
内的投影，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的离心率为 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
6．已知 是正项等比数列，若 ， ， 成等差数列，则 的公比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 是抛物线 上的一点，设点 到直线 和 的距离分别为 ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．已知圆 ，直线 上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
使得 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．设等差数列 的前 项和为 ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P为C的右支上任意一点，点 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条
D． 的最小值为
三、填空题12．函数 的定义域为 .
13．等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ．
14．已知 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左､右焦点，点 是 的内心，
延长 交线段 于点 ，若椭圆的离心率为 ，则 的值为 .
四、解答题
15．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求角B；
(2)若 ， ，求 的面积S．
16．已知抛物线 过点 .
(1)求抛物线 的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段 的长度.
17．已知圆 的方程为 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若圆 与直线 交于M，N两点，且 ，求 的值．
18．如图，在三棱台 中， 底面 ， ， ，D为 的中点，
.(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，若 的长小于 的长，求直线 与直线 所成角的余弦值.
19．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；
(3)若数列 满足 ，记 的前 项和 ，判断是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，
则求出所有 值；若不存在，请说明理由．参考答案
1．C
【详解】因为直线 即直线 垂直于 轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为 ，
故选:C.
2．D
【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92.
，这10次成绩的80%分位数为： .
故选：D.
3．B
【详解】对数函数 为增函数，当 时， ，则 ，
指数函数 为减函数，当 时， ，则 ，
所以 .
故选：B
4．D
【详解】由空间直角坐标系，可得点 关于平面 对称的点 的坐标为 ，
所以点 在坐标平面 内的投影为点 .
故选：D.
5．B
【详解】由双曲线 ，得 ，
所以 ，
则 ，解得 .
故选：B
6．C【详解】设等比数列 的公比为 ，由数列 为正项数列，则 ，
由 ， ， 为等差数列，则 ，即 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去）.
故选：C.
7．A
【详解】由题意，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
因为点 在抛物线 上，所以 ，所以 .
联立方程组 得： ，则 ，
所以直线 与抛物线 无公共点，
如图所示， 的最小值即为点 到直线 的距离，
所以最小值为 ，
即 的最小值为 .
故选：A
8．C
【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B， ，
所以 ，因为 ，所以 ，那么 .
所以 是以 为圆心，4为半径的圆.
因为直线 上存在点 满足条件，所以直线与点 的轨迹圆有公共点，
所以圆心 到直线 的距离为 .
解得 .
故选：C.
9．BC
【详解】因为 ，所以 ，由题意可得 ，
所以 ，则 ．
故选：BC
10．BD
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
．
故选：BD.
11．ABD【详解】由双曲线C的方程可知： ，且焦点在x轴上，
则 ，双曲线的渐近线方程为 ，故B正确；
对于选项A：由双曲线的定义可得 ，故A正确；
对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点；
当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点，
所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误；
对于选项D：由选项A可得： ，
因为 在双曲线的渐近线 上方，
则 ，
当且仅当M，P， 三点共线时，取得等号，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】令 ，所以 ，
即函数 的定义域为 .
故答案为： .
13．15【详解】解：由已知得数列 是各项均为正数的等比数列，
则 ，
所以 ．
故答案为：15.
14．1
【详解】
在 中，连接 ，因 是 的内心，则 分别平分 和 ，
由角平分线分线段成比例定理得： ，则 ，
因为 ，所以 ，
又因为椭圆的离心率 ，所以 .
故答案为：1.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由 ，
根据正弦定理得 ，
又 ，则 ,因为 ，所以 .
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理， ，即 ，
解得 或 （舍去），
故 的面积为 ．
16．(1)
(2)8
【详解】（1） 过点 ， ，解得 ，
抛物线 ，准线方程为 ；
（2）由（1）知，抛物线焦点为 ，
设直线 ， ， ，
由 得 ，则 ，
则
17．(1)
(2)
【详解】（1）方程 可化为 ，
∵此方程表示圆，
∴ ，即 ，即 .
（2）由（1）可得圆心 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
由弦长公式 及 ，得 ，解得 ，
∴ ，得 ．
18．(1)证明见解析；
(2) 或 ；
(3)
【详解】（1）因为 ， ，
即 且 ，
所以 且 ，
又因为D为 的中点，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 且 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
且 为直角梯形 的两腰，所以 必相交，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
（2）由（1）可知 两两垂直，
故以 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
则 ，
所以
设 为平面 的法向量，
则有 ，即 ，
取 ，
又因为 ，
由题意可得 ，即 ，
整理得
解得 或 ，
所以 或 ，
即 的长为 或 ；
（3）由（2）可知 或 ，
又因为 ,
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
19．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ；当 时， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
；
（3）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以数列 是递增数列，
又 ， ，所以不存在正整数 ，使得 ，
即不存在正整数 ，使得 成立．
