文档内容
高三联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位： ），分别为 ，则该组数
据的第60百分位数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知焦点在 轴上的椭圆 的焦距为2，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为 ，下底面半径均为 ，圆台甲､乙的母线长分别为 ，则圆台甲
与乙的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面向量 均为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 的图象关于直线 对称，则当 时，曲线 与
的交点个数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 满足 ，则（ ）
A.
B.
C. 的虚部为8
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知 是抛物线 的焦点， 是 的准线，点 是 上一点且位于第一象限，直线 与圆
相切于点 ，点 在线段 上，过点 作 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A.
B.直线 的方程为
C.
D. 的面积为
11.已知奇函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，且 ，则
（ ）
A. B.C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列 的公比不为1，且 成等差数列，则数列 的公比为__________.
13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡
片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.
14.若直线 与曲线 有3个交点，则 的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
16.（15分）
如图，在三棱柱 中， 为边长为 的等边三角形， .
（1）证明： .
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（15分）
已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，
答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，
且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两
人每次抢到题的概率都为 ，甲､乙两人答对每道题的概率分别为 ，每道题两人答对与否相互独立，
且每题都有人抢答.
（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；
（2）记 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求 的分布列与期望.18.（17分）
已知 是双曲线 的一条渐近线，点 在 上.
（1）求 的方程.
（2）已知直线 的斜率存在且不经过原点， 与 交于 两点， 的中点在直线 上.
（i）证明： 的斜率为定值.
（ii）若 的面积为 ，求 的方程.
19.（17分）
定义：对于函数 ，若 ，则称“ ”为三
角形函数.
（1）已知函数 ，若 为二次函数，且 ，写出一个 ，使得“
”为三角形函数；
（2）已知函数 ，若“ ”为三角形函数，求实数 的取值范围；
（3）若函数 ，证明：“ ”为三角形函数.（参考
数据： ）高三联考数学参考答案
1.C ，则 .
2.C 将这8个数据从小到大排列为 ，因为 ，所以该组数据的第60百分
位数为8.
3.B 因为椭圆 的焦点在 轴上，所以 ，故椭圆 的离心率 .
4.C 因为 ，且 ，所以 ，所以 0.因为
，所以 .
5.A 圆台甲的高为 ，圆台乙的高为 ，所以
.
6.B 由 可得 ，平方可得 ，解得
，所以 反向.故“ ”是“ ”的必要不充分条件.7.B 在 上的值域为 .因为函数 的值域为 ，所以 在
上的值域包含 ，则 ，且 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
8.B 由题可知 ，则 ，解得 ，所以
.在坐标系中结合五点法画出 与 的图象，如
图所示.
由图可知，共有4个交点.
9.ACD 由题可知 ，则 ， 的虚部为
在复平面内对应的点为 ，位于第一象限.故选ACD.
10.BC 可化为 ，所以圆心 ，半径为 .
由题知焦点 ，准线为直线 ，A错误.
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
所以 ，解得 .因为切点 在线段 上，所以 ，故直线 的方程为
，B正确.
联立 可得 ，所以 或 （舍去），
，C正确.，D错误.
11.AD 因为 ，所以 .令 ，则
，所以 的图象关于直线 对称.因为 与 都为奇函数，所以 也是
奇函数，则 是以4为周期的周期函数，所以 .由 ，可得
，所以 ，则 ，解得 ，A正确.
，B错误.由 ，求导可得
，所以 ，即 .由 ，求导可得
，所以 ，C错误. D正确.
12. 设等比数列 的公比为 ，由 成等差数列，得 ，整理得 ，
则 .
13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有 3种，字母不相
同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为 .
14. 由 ，可得 ，则 在 上单调递减，在 上
单调递增，且当 时， .直线 恒过点 ，当直线 与曲线
相切于点 时， 即 .令，则 ，所以 在 上单调递增.因为 ，所以
，结合图象（图略）可知，若直线 与曲线 有3个交点，则 的取值
范围为 .
15.解：（1）由正弦定理可得 ，
所以 ，得 .
因为 ，所以 .
（2）由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，化简可得 ，
则 ，所以 .
16.（1）证明：过 作 的垂线，垂足为 ，连接 .
因为 为等边三角形，所以 .
因为 ，所以 ，
则 .
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：由（1）可知 ，所以 ，故 ，
所以 两两垂直，则以 为原点，建立如图所示
的空间直角坐标系.，则
.
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，得 .
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为 .
（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为 ，
的可能取值为 .
，
，，
2 4 5
.
18.（1）解：因为 是双曲线 的一条渐近线，所以 ，
因为点 在 上，所以 ，
解得 ，即 的方程为 .
（2）（i）证明：设 ，由 得 ，
由题意得 .
设 中点的坐标为 ，则
所以 .
因为 的中点在直线 上，所以 ，
即 ，因为 ，所以 .
（ii）解： ，
点 到 的距离 ，所以 ，
解得 ，所以 的方程为 .
19.（1）解：由 ，可得 ，令 ，解得 ，令 ，解得
，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
因为“ ”为三角形函数，所以 .
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，又 为二次函数，所以
.（答案不唯一，只需满足 ，且 即可）
（2）解： .
当 ，即 时， ，此时 ，满足 ，符合
题意；
当 ，即 时， 是 上的减函数，所以 的值域为 ，
因为 ，所以 ，得 ；
当 ，即 时， 是 上的增函数，所以 的值域为 ，
因为 ，所以 ，得
综上，实数 的取值范围是 .
（3）证明：由题可知 .设 ，则 在 上恒成立，所以 在
上单调递减.
又 ，
所以存在 ，使得 ，即 ①
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减.
故当 时， 取得唯一极大值，也是最大值，令 的最大值为 ，
则 .
将①式代入上式，可得 .
令 ，则由 ，可知 在 上单调递增，
所以 成立.
故“ ”为三角形函数.
