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2026 届高三年级 12 月份联考
数学参考答案及解析
三、填空题
12. （未化至最简、比与比值均给分）
13. / 75。
14. / 0.5
四、解答题
15.解:（1）设 ， ，由 得 ，（3分）
所以 ， ，（4分）
已知 斜率 ，
可得 ，（6分）
原点 到直线 ： 的距离 ,（8分）
所以 ．（9分）
（2）证明：由（1）知直线 与双曲线的右支相交于A，B两点，由双曲线的定义得
， ．（11分）所以 ，整理得 ．（13分）
【评分细则】
1. 第二问若没有说明直线 与双曲线的右支相交于A，B两点扣1分，
2. 第二问若表示为距离之和并化简整理也可满分。
16.解:（1）由等差数列性质可知 ，于是 ，（2分）
于是 的公差 ，（4分）
故 .（6分）
{ 3n−4,n为奇数, {3n−4,n为奇数,
（2）b = = ，（9分）
n −[3(n+1)−4],n为偶数 1−3n,n为偶数
记 的前 项和为 ，
注意到 ，（10分）
故当 为偶数时， ，（12分）
当 为奇数时，S =S −b =−3(n+1)−[1−3(n+1)]=−1.（14分）
n n+1 n+1
综上所述， （15分）
【评分细则】
第二问若按此种做法也可满分{ 3n−4,n为奇数, {3n−4,n为奇数,
b = = ，（9分）
n −[3(n+1)−4],n为偶数 1−3n,n为偶数
(−1+3n−7) n (−5+1−3n) n
当 为偶数时，S = × + × =−3n（12分）
n 2 2 2 2
当 为奇数时，S =S +b =−3（n−1）+3n-4=−1（14分）
n n−1 n
综上所述， （15分）
17.解:（1）易得 ，（2分）
解得 ，（3分）
记点 到平面 的距离为 ， ，于是
3V √3
d= A−ABC = =1
S √3 .（5分）
∆ABC 4×
4
(2)取B C 上一点 使得AN⊥平面 .易知平面 平面 ，而 平面
1 1
，平面 平面 ，故 平面 .（7分）
由 平面 知 ，于是由勾股定理得 ，由平面
几何知识知 为 中点，（9分）
可知 .以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .（10分）
于是 ， ，C(√3,1,0)， ， ，
， .（11分）
记平面 的法向量为 ， ，即 ，可取
，（13分）
|⃗AB|⋅n 2√3 √42
记直线 与平面 所成角为 ，则sinθ= = = .
|⃗AB|⋅|n| √1+1√1+3+3 7
（15分）
【评分细则】
第二问若按此种做法也可满分
过A作AD⊥B C 交B C 与点D,
1 1 1 1
因为B C ∥ ， 平面ABC，BC⊂平面ABC，所以 ∥平面A
1 1
BC （6分）
设面ABC∩面AB C = B C ⊂平面AB C 所以 ∥ 故AD⊥ . （7
1 1 1 1 1 1
分）
又因为面ABC⊥面AB C ， 面ABC∩面AB C = AD⊂平面AB C
1 1 1 1 1 1
所以AD⊥面ABC （9分）由（1）知AD=d=1. 连接AD，则AD⊥AD （10分）
1 1
因为AD=1，AA =2, 所以AD=√3. 且三角形AB C 为边长为2的正三角形，
1 1 1 1 1
所以D为B C 的中点，所以AB =AC =√2. （11分）
1 1 1 1
设B 到面ACC A 的距离为h,
1 1 1
1 1 √3 √3
则V = S ×d= S ×h= 所以h= （13分）
A−A 1 B 1 C 1 3 ∆A 1 B 1 C 1 3 ∆AA 1 C 1 3 S
∆AA C
1 1
又因为AA =A C =2, AC =√2,
1 1 1 1
√3
1 √ 1 √7 2√21
所以S = ×√2× 4− = 所以h=√7 = （14分）
∆AA 1 C 1 2 2 2 7
2
π h √42
设AB 与面ACC A 所成的角为θ，θ∈[0, ],则sinθ= = （15
1 1 1 2 AB 7
1
分）
18.解:（1）已知到 ，则 ，（1分）
，则 ，（3分）
所以切线方程为 ，即 （5分）
(2)设 ，则 ，（6分）
所以 在 上单调递减，由 ， ，
（8分）
根据零点存在定理可知 在区间 上存在唯一零点，即 的零点个数为1.（10
分）
(3)由（2）知 在 上单调递减，且存在唯一零点 ，使得 ，当时， ， 在区间 上单调递增；当 时， ， 在
上单调递减；所以 的最大值为 .（13分）
因为 ，所以 ，即 ，化简为
，则 ，
而 ，（16分）
故 的最大值为 ，没有最小值.（17分）
【评分细则】
若遇其他方法，言之有理也可满分
19.解:（1）当 时，集合 中的元素为1,2,3,4，样本空间总数为 .
列举满足条件 的数对 ：当 时， ，则 ，共1种；当 时，
，而 的最大值为4，故 可取1,2,3,4，共 种.（3分）
符合条件的样本总数为 ，故 .（4分）
(2)样本空间总数为 .记满足条件的样本数为 .当 时，因 ，对
于确定的 ， 有 种取法.此部分总数为 .当 时，因
，对于确定的 ， 可取 中任意值.此部分 共有 个，故总数为
.则 .（8分）记无效码的生成概率为 ，则 .因为 ，故 ，
故 ，即无效码的生成概率小于 得证.（10分）
（3）记连续10次独立生成有效码为事件 ，则 .根据二项式定理有
设
，由（2）知，当 时， ，
故 ，从而 ，即 .下面证明 .由于 为正数，
只需证明 ，即 ，而 ，且
，即 .对于代数式 ，随着 的增大，分子增大且分母
减小，该比值单调递增，故当 时，右侧取得最小值 ，且易知 ，则
，即 ，则 .（14分）
要使原不等式成立，只需令其下界满足条件，即 ，整理得 ，由
（2）中的结论 ，只需满足 ，解得 .故取整数 .综上，一
个满足条件的 值为667.（17分，说明：只要 大于等于663，且小于等于999即可，其它
值不予给分.证明方法正确酌情给分.给出满足条件的值2分，证明值满足条件5分）
【评分细则】若遇其他方法，言之有理也可满分
