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高二学年期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
命题人：王丽平 审题人：程鹏鹏
一、单选题（每题5分，共40分）
1.若双曲线 的实轴长是虚轴长的一半，则 的离心率为（ ）
A. B.4 C. D.2
2.“直线 与直线 平行”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知抛物线C： 恰好经过圆M： 的圆心，则抛物线 的准线方程是
（ ）
A. B. C. D.
4.已知点P为椭圆C： 上的一点，焦点为 ， ， ，则 面积是（ ）
A. B. C. D.
5.如图 ， 是椭圆 与双曲线 ： 的公共焦点， ， 分别是 ， 在第二、四象限的
公共点，若四边形 为矩形，则 的长轴长是（ ）
A. B. C. D.
6.设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线于A，B两点，已知 ，则 （
）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.3
7.已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上任意一点， 为圆 E：
上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8、已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，抛物线 ：
（ ），椭圆 与抛物线 相交于不同的两点A，B，且四边形 的外接圆直径为
，若 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9.已知曲线C： ，则下列结论正确的是（ ）
A.当 时，曲线C表示椭圆
B.当 时，曲线C表示双曲线
C.曲线C不可能表示两条直线
D.曲线C可能表示抛物线
10.过直线 上任意一点 作圆O： 的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）
A.存在P使得 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D.直线 过定点
11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为 ）.若黄金双
学科网（北京）股份有限公司曲线C： （ ， ）的左右两顶点分别为 ， ，虚轴上下两端点分别为 ， ，
左右焦点分别为 ， ， 为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点.设
为坐标原点，双曲线 的离心率为 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C.过右焦点且斜率为3的直线与双曲线右支有2个交点
D.直线 与双曲线 的一条渐近线垂直
三、填空题（每题5分，共15分。14题第一空2分，第二空3分）
12.双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线围成三角形的面积为___________.
13.若点 在圆 外，则实数k的取值范围为___________.
14.已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过左焦点且斜率为1的直线与
交于M，N两点， ，则椭圆 离心率的值为___________；当 时，设 的内
切圆圆心为 ， 的重心为 ，则 的值为___________
四、解答题：（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分。共77分）
15.已知圆 ： 与圆 ： 交于A，B.
（1）求两个圆的公共弦长
（2）求过两圆交点A，B，且过 的圆方程.
16.求满足下列条件的曲线的标准方程
（1）渐近线方程为 ，且经过点 的双曲线方程
（2）已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，求椭圆的标准方程
（3）顶点在原点，关于x轴对称且过点 的抛物线方程
学科网（北京）股份有限公司17.过椭圆 的右焦点，倾斜角为 的直线交椭圆于A、B两点
（1）求线段 的中点坐标；
（2）求 .
18.已知两定点 ， ，动点P满足到A的与B的连线斜率乘积为1
（1）求P的轨迹方程；
（2）过点 的直线 交P的轨迹于A、B，
（ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且 的面积为 ，求 的方程；
（ⅱ）是否存在 轴上的定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由.
19.已知抛物线 ： （ ）的焦点为F， 是 上第一象限内的点.且 到 距离与 到
的距离相等.过 作 的切线 交 轴于点 .
（1）求 的标准方程；
（2）求证： ；
（3）记 关于 轴的对称点为 ，直线 关于 轴的对称直线为 ， 为 上第四象限的点（与 不
重合），过 做 的切线 ，分别交 ， 于P，Q两点 ，求证：M，F，Q三点共线.
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数学试题答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C C B B D B A C BC BD ACD
二、填空题
12.2 13. 14. ，
三、解答题
15.（1）将两圆方程相减可得 ，化简
得 ，故公共弦所在直线 方程为 ……2分
由题可得 ： 圆 圆心为 ，半径 .……3分
到 的距离 ，由勾股定理得： ……7分
（2）设所求圆的方程为
……9分
代入点 得
∴所求圆的方程为 ……13分
16.（1）由双曲线的渐近线方程为 ，设双曲线方程为 （ ）.
因为 在双曲线上，∴ 即 ，
所以双曲线的标准方程为 ……5分
（2）由题意， ， ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 或 ……10分
（3）设所求抛物线方程 ，代入点 得
，∴抛物线方程为： ……15分
17.（1）由椭圆方程知：右焦点为 ，设直线方程为 ……2分，
得 ……4分
直线方程与椭圆有两个不同的交点 ， .
设 ， ， 中点为 ，
……6分
， ……8分
∴ ……10分
（2）由（1）得
.……12分
……15分
18.（1）设 ， ， ……2分
化简得 （ ）……4分
（2）
学科网（北京）股份有限公司设直线l： ，代入 得： ，
整理得：
设 ， ，
因为 ， 均在 的右支上，所以 ，且 ，所以 ， ……6
分
（ⅰ）所以
……8分
∴
∴直线 的方程为： .……10分
（ⅱ）假设存在 轴上的定点 ，使得 为定值.
因为 ， ，
所以
……13分
.……15分
因为 为常数，所以
此时 .
学科网（北京）股份有限公司所以存在点 ，使得 为定值.……17分
19.（1）由题意，抛物线准线方程为 ，故 ，
所以抛物线的标准方程为 ……3分
（2）设 ，由于 在第一象限，
设直线 的方程为，
得 ……6分
∵ 得
所以切线 方程为： .……8分
令 得 ，由题意知 ，
故 ， ，
故 .……10分
（3）如图，
设 ， ，
由 ， 关于 轴对称，可得 ： ，
与 求法同理可得 ： ，
学科网（北京）股份有限公司联立 与 ， ，解得 .
同理 ，故 ，……12分
设直线 与 轴交于 ，则 ， 关于点 对称，即 ，
由 ： ，令 ，得 ，所以 ，
故 ，则 ，
可得 垂直于 ，故 ，可得， ……14分
∴
∴M，F，M三点共线……17分
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