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高三数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1、解析 当0<m<1时,m<1,所以不等式的解集为{
x
|
m<x<
1 }。故选D。
m m
2、解析 因为sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°,sin 135°=sin(180°-45°)=sin 45°,所以sin
√3
15°cos 45°+sin 105°sin 135°=sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°=sin(15°+45°)=sin 60°=
2
。故选C。
√5 √10 2√5
3、解析 因为cos α= ,sin(β-α)=- <0,α,β均为锐角,所以sin α=√1−cos2α=
5 10 5
,β-α∈(
−
π
,0
),可得 cos(β-α)=
√1−sin2 (β−α)=
3√10,sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos
2 10
√10 √5 3√10 2√5 √2 π
α+cos(β-α)sin α=- × + × = ,所以β= 。故选B。
10 5 10 5 2 4
4、解析 因为 (√3 1),所以 与x轴的夹角为30°,依题意,向量 与x轴的夹
⃗OA= , ⃗OA ⃗OB
2 2
角为 90°,则点 B 在 y 轴正半轴上,且|⃗OB|=|⃗OA|=1,所以点 B(0,1),则⃗OB=(0,1)。故选
A。
5、解析 (图略)连接 AB ,设 AB 与 A B 交于点 F,易知 AF⊥A B,AF⊥BC,且
1 1 1 1
A B∩BC=B,A B,BC 平面A BCD ,所以AF⊥平面A BCD 。连接EF,则∠AEF是直线AE
1 1 1 1 1 1
⊂ AF √2
与平面A BCD 所成的角,tan∠AEF= = 。故选A。
1 1
EF 2
x2 y2
+ 1 1 √3
6、解析 把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得 1 1 =1,所以a= ,b= ,c= ,则
2 4 4
16 4
√3 1 c √3
长轴长2a=1,焦距 2c= ,短轴长2b= ,离心率e= = 。故选D。
2 2 a 2
1
7、解析 从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均数为
10
×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据17出现了三次,17为众数;第5位、第6位均
是15,故15为中位数。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故选B。
8、解析 假设事件A=“甲取胜”,设每场比赛甲胜的概率为p,由题意得,事件A发生的s
63 3
次 数 X~B(3,p), 则 有 1-(1-p)3= , 得 p= , 则 事 件 A 恰 好 发 生 一 次 的 概 率 为
64 4
C1× 3 × ( 1− 3) 2 = 9 。故选C。
3 4 4 64
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分。
9、解析 由f(x)=ex-ax知f'(x)=ex-a。f(x)有极小值点x=ln a,而极小值f(ln a)=a-aln a<0,
所以 a>e,A 正确。f(x)有两个零点 x
1
,x
2
,则ex 1-ax
1
=0,ex 2-ax
2
=0,即 x
1
=ln a+ln x
1
①,x
2
=ln
a+ln x ② 。 ① -② , 得 x -x =ln x -ln x , 根 据 对 数 均 值 不 等 式 ,
2 1 2 1 2
x +x x −x ,得x +x >2,而1> ,因此x x <1,B正确,C错误。
1 2> 1 2 =1>√x x 1 2 √x x 1 2
2 ln x −ln x 1 2 1 2
1 2
由①+②,得x +x =2ln a+ln x x <2ln a,即x +x <2x ,D正确。故选ABD。
1 2 1 2 1 2 0
10、解析 因为a·b=1,|b|=1,且|a+b|=√7,所以a2+2a·b+b2=7,则|a|2+2+1=7,则|a|=2,故A正
a·b 1
确;因为 a·(a-b)=a2-a·b=3≠0,所以 a 与 a-b 不垂直,故 B 错误;cos<a,b>= = ,又
|a||b| 2
π
<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为 ,故C正确,D错误。故选AC。
3
11、解析 对于A,根据经验回归方程,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y平均
减少0.85个单位,故A错误;对于B,当解释变量x=1时,响应变量^y=1.45,则样本点(1,1.2)
的残差为-0.25,故B正确;对于C,在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,说明
拟合精度越高,即拟合效果越好,故C正确;对于D,由决定系数R2的意义可知,R2越大,表示
残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,故D正确。故选BCD。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
1−x 2
12、解析 因为y= =-1+ ,故其单调递减区间为(-∞,-1),(-1,+∞)。
1+x 1+x
13、解析 因为 a n+1 =3a n -2n+1,所以 a n+1 -(n+1)=3(a n -n),所以a n+1 −(n+1)=3,又因为 a 1 -
a −n
n
1=2-1=1≠0,所以{a -n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以a -n=3n-1,所以a =3n-1+n。
n n n
14、解析 因为P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,所以设P(m,-2m-9),由于圆x2+y2=9的
两条切线PA,PB,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A,B在以线段OP为直径的s
圆上,即线段AB是圆O和圆C的公共弦,则圆心C的坐标是(m 2m+9),且半径的平
,−
2 2
方是 r2=m2+(2m+9) 2 ,所以圆 C 的方程是( m) 2 ( 2m+9) 2 m2+(2m+9) 2
x− + y+ =
4 2 2 4
①,又 x2+y2=9 ②,②-①得 mx-(2m+9)y-9=0,即公共弦 AB 所在的直线方程是 mx-
{x−2y=0, {x=−2,
(2m+9)y-9=0,即m(x-2y)-(9y+9)=0,由 得 所以直线AB恒过定点(-2,-
9 y+9=0, y=−1,
1)。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15、（本小题满分15分）
【证明】 (1)不妨设x ∈A,则由题知f(x )=x ,则f(f(x ))=f(x )=x ,故x ∈B,所以A B。
0 0 0 0 0 0 0
(2)设t∈B,则f(f(t))=t,因为函数 f(x)单调递增,所以存在唯一 a,使f(t)=a,f(a)=t,若a<t,则
⊆
f(a)<f(t),得到 t<a,与 a<t 矛盾;若 a>t,则 f(a)>f(t),得到 t>a,与 a>t 矛盾,故必有 a=t,所以
f(t)=t,即t∈A,又由(1)知A B,所以,当函数f(x)单调递增时,A=B。
16、（本小题满分15分）
⊆
解 (1)因为f(x)=ax-sin x,所以f'(x)=a-cos x,由函数f(x)为增函数,则f'(x)=a-cos x≥0恒成
立,即 a≥cos x 在 R 上恒成立,因为 y=cos x∈[-1,1],所以 a≥1,即实数 a 的取值范围是
[1,+∞)。
(2)证明:由(1)知,当a=1时,f(x)=x-sin x为增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0 x>sin x,要证当
x>0 时 ,ex>2sin x, 只 需 证 当 x>0 时 ,ex>2x, 即 证 ex-2x>0 在 (0,+∞) 上 恒 成 立 , 设
⇒
g(x)=ex-2x(x>0),则g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,解得x=ln 2,所以g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln
2,+∞)上单调递增,所以g(x) =g(ln 2)=eln 2-2ln 2=2(1-ln 2)>0,所以g(x)≥g(ln 2)>0,所以
min
ex>2x成立,故当x>0时,ex>2sin x。
17、（本小题满分15分）
解 (ⅰ ) 证 明 : 由 a (2S -a )=1, 得 (S -S )(S +S )=1(n∈ N*,n≥2), 所 以
n n n n n-1 n n-1 S2−S2
n n−1
=1(n≥2,n∈N*)。又a (2S -a )= =1,a >0,所以a =1, =1。所以{ }是以 =1为首项,公差
1 1 1 a2 n 1 S2 S2 S2
1 1 n 1
为1的等差数列,所以 =n,S = (n∈N*)。
S2 n √n
n
1 1 1
(ⅱ)数列{a }中不存在连续三项a,a ,a ,使得 , , 构成等差数列。理由如下:
n k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
当 n≥2 时,a =S -S =√n−√n−1,因为当 n=1 时,a =1,符合上式,所以 a =√n−√n−1
n n n-1 1 n
1 1
(n∈N*),所以 = =√n+√n−1。假设数列{a }中存在连续三项a,a ,a ,使
a √n−√n−1 n k k+1 k+2
ns
1 1 1
得 , , 构 成 等 差 数 列 , 则 2(√k+1+√k)=√k+√k−1+√k+2+√k+1, 即
a a a
k k+1 k+2
√k+1+√k=√k−1+√k+2,两边同时平方,得k+1+k+2√k+1·√k=k−1+k+2+2√k−1·
√k+2,所以(k+1)k=(k-1)(k+2)。整理得k2+k=k2+k-2,得0=-2,又0≠-2,所以假设错误,所以数
1 1 1
列{a }中不存在连续三项a,a ,a ,使得 , , 构成等差数列。
n k k+1 k+2 a a a
k k+1 k+2
18、（本小题满分16分）
解 (1)证明:以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如
⃗AB ⃗AD ⃗A A
1
图所示的空间直角坐标系。设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D
1
(0,1,1),E(a
,1,0
),B
1
(a,0,1)。
2
故 ⃗AD =(0,1,1), ⃗B E= ( − a ,1,−1 ) 。因为⃗B E · ⃗AD =− a×0+1×1+(-1)×1=0, 所 以
1 1 2 1 1 2
,即B E⊥AD 。
⃗B E⊥⃗AD 1 1
1 1
(2)存在满足要求的点P,假设在棱AA 上存在一点P(0,0,z ),0≤z ≤1,使得DP∥平面B AE,
1 0 0 1
此时
⃗DP
=(0,-1,z
0
)。设平面B
1
AE的法向量为n=(x,y,z)。
⃗AB
=(a,0,1),
⃗AE=
(a
,1,0
)。因
1 2
{ax+z=0, { a
为 n⊥ 平 面 B AE, 所 以 n⊥ ,n⊥ , 得 取 x=1, 则 y=− ,故 n=
1 ⃗AB ⃗AE ax 2
1 + y=0,
2 z=−a,
( 1,− a ,−a ) 是平面B 1 AE的一个法向量。要使DP∥平面B 1 AE,只需n⊥ ⃗DP ,即a-az 0 =0,
2 2
1 1
解得z = 。所以存在点P,满足DP∥平面B AE,此时AP= 。
0 1
2 2s
19、（本小题满分16分）
解 (1)设事件B=“甲乙两队比赛4局,甲队获得最终胜利”,事件A=“甲队第j局获胜”,
j
其中j=1,2,3,4,A ,A ,A ,A 相互独立。因为甲队明星队员 M前4局比赛中不上场,所以
1 2 3 4
1
P(A)= ,j=1,2,3,4 。 又 B=A A2A3A4+A1A A3A4+A1A2A A , 所 以 P(B)=
j 2 1 2 3 4
C1(1) 3 (
1−
1)
=
3 。
3 2 2 16
(2)设事件C=“甲乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利”,事件D=“甲队明星队员M在前3
局比赛中上场”,则由全概率公式可知P(C)=P(C|D)P(D)+P(C|D)P(D)。因为每名队员上
场 顺 序 随 机 , 故 P(D)= C2 4 A 3 3 = 3,P( D )=1-3 = 2, 又 P(C|D)=(1) 2 × 3 = 3 ,P(C| D )=
A3 5 5 5 2 4 16
5
(1) 3 1,所以P(C)= 3 3 1 2 13。
= × + × =
2 8 16 5 8 5 80
3 3
×
P(CD) P(C|D)P(D) 16 5 9
(3)由(2)知所求概率为P(D|C)= = = = 。
P(C) P(C) 13 13
80
