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2021年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目
要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首
次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据 3亿用科学记数
法表示为（ ）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
5．下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n2
6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条
件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖
者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．40
8．分式方程 + ＝1的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲
太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙
所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各
带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
π π π π
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ ．
12．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则 A所代表的正方形的面积为
．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个
交点，则k＝ ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②
分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于
点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算： +（1+ ）0﹣2cos45°+|1﹣ |． （2）解不等式组： ．
π
16．（6分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝ ﹣3．
17．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视
防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动
和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、
足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校 部 分 学 生 进 行 了
“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选 择其中一门课程），
并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
根据图表信息，解答下列问题：
篮球 m
（1）分别求出表中m，n的值；
足球 21
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
排球 30
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
乒乓球 n18．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某
校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6米，
在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，
测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结
果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x+ 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）
的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的
等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
20．（10分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接
CD，且∠BCD＝∠A．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径为 ，△ABC的面积为2 ，求CD的长；
⊙
（3）在⊙（2）的条件下，E为 O上一点，连接CE交线段OA于点F，若 ＝ ，求BF的长．
⊙二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡
上）
21．（4分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P
（3，k）在第 象限．
22．（4 分）若 m，n 是一元二次方程 x2+2x﹣1＝0 的两个实数根，则
m2+4m+2n的值是 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x+ 与 O相交于A，B两点，且点A在x
轴上，则弦AB的长为 ． ⊙
24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分
别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线
AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻
折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 ．
25．（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆
时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或
逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知
某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则
对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
三、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）
26．（8分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于 2021年3月1
日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位
进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理 8吨生活垃圾，同时由于市
民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少 10吨．若该区域计划增设A型、B型点位
共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？27．（10 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转得到
△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过
程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点
P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点
C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点
C的横坐标的取值范围．2021年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目
要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣7的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【分析】根据倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣7×（﹣ ）＝1，
∴﹣7的倒数是：﹣ ．
故选：A．
2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．
故选：C．
3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首
次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据 3亿用科学记数
法表示为（ ）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来
的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3亿＝300000000＝3×108．
故选：D．
4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一
判断即可．
【解答】解：A.3mn﹣2mn＝mn，故本选项不合题意；
B．（m2n3）2＝m4n6，故本选项符合题意；
C．（﹣m）3•m＝﹣m4，故本选项不合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不合题意；
故选：B．
6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF
的是（ ）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
【分析】由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖
者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）
A．34 B．35 C．36 D．40
【分析】把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，
∴中位数为（34+36）÷2＝35．
故选：B．
8．分式方程 + ＝1的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：分式方程整理得： ﹣ ＝1，
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
故选：A．
9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲
太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各
带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱+甲所有钱的
＝50，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得： ，
故选：A．
10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
π π π π
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影 ＝ ＝12 ，
故选：D． π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 10 0 ．【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母 A所代表的正方形的
面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝ 1 ．
【分析】由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长
为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两
弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 1+
．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则CD＝DH＝1，进而求解。
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝ HD＝ ，
则BC＝CD+BD＝1+ ,
故答案为：1+ 。
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算： +（1+ ）0﹣2cos45°+|1﹣ |．
π（2）解不等式组： ．
【分析】（1）原式第一项开平方化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用特殊角的三角函
数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，然后计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2× + ﹣1
＝2+1﹣ + ﹣1
＝2；
（2）由①得：x＞2.5，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为2.5＜x≤4．
16．（6分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝ ﹣3．
【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝
＝ ，
当a＝ ﹣3时，原式＝ ．
17．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视
防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动
和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、
足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的
调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
篮球 m
足球 21
排球 30
乒乓球 n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计算出m、n的值；（2）用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）30÷ ＝120（人），
即参加这次调查的学生有120人，
选择篮球的学生m＝120×30%＝36，
选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；
（2）360°× ＝63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；
（3）2000× ＝550（人），
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．
18．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某
校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6米，
在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，
测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结
果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【分析】设MH＝x，∠MEC＝45°，故EH＝x，则tan∠MBH＝ ＝ ≈0.65，进而求解。
【解答】解：延长BC交MN于点H，CD＝BE＝3.5,
设MH＝x，
∵∠MEC＝45°，故EH＝x，
在Rt△MHB中，tan∠MBH＝ ＝ ≈0.65，解得x＝6.5，
则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x+ 的图象与反比例函数y＝ （x＞0）
的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的
等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝ x+ 的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝ ，即
可求得答案；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可
求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析
式并求解即可得出点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝ x+ 的图象经过点A（a，3），
∴ a+ ＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝ （x＞0），
得：3＝ ，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝ x+ 中，令y＝0，得 x+ ＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣ x+ ，
联立方程组： ，
解得： （舍去）， ，
∴点C的坐标为（4， ）．
20．（10分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接
CD，且∠BCD＝∠A．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若 O的半径为 ，△ABC的面积为2 ，求CD的长；
⊙
（3）在⊙（2）的条件下，E为 O上一点，连接CE交线段OA于点F，若 ＝ ，求BF的长．
⊙
【分析】（1）连接OC,由AB为 O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO,结合已知
⊙∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD是 O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,由△ABC的面积为2 ,可得CM＝2，由∠BCM＝∠A
⊙
得 ＝ ，可解得BM＝ ﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM,
得 ＝ ＝ 即 ＝ ＝ ，解DN＝2 ﹣2，故CD＝DN+CN＝2 ;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得 ＝ ＝ ,
而 ＝ ，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝ ﹣2，设HF＝x,则
MF＝2x,则( ﹣1)+2x+x+( ﹣2)＝2 ,可解得HF＝1,MF＝2,从而BF＝BM+MF＝( ﹣1)+2＝
+1．
【解答】（1）证明：连接OC,如图：
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
⊙
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是 O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：
⊙
∵ O的半径为 ，
∴AB＝2 ，
⊙
∵△ABC的面积为2 ,
∴ AB•CM＝2 ，即 ×2 •CM＝2 ，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,∴tan∠BCM＝tanA,即 ＝ ,
∴ ＝ ,
解得BM＝ ﹣1，(BM＝ +1已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝ ﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴ ＝ ＝ ,
即 ＝ ＝ ，
解得DN＝2 ﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2 ;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴ ＝ ＝ ,
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
由（2）知CM＝2，BM＝ ﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝ ＝ ＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝ ﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2 可得：BM+MF+HF+AH＝2 ，
∴( ﹣1)+2x+x+( ﹣2)＝2 ,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝( ﹣1)+2＝ +1．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 一 象限．【分析】因为在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，所以k＞0，所以点P（3，k）在
第一象限．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
22．（4分）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 ﹣ 3 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1＝0，则m2+2m＝1，根据根与系数的关系得出
m+n＝﹣2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x+ 与 O相交于A，B两点，且点A在x
轴上，则弦AB的长为 2 ． ⊙
【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得
∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案。
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝ x+ 中，令x＝0得y＝ ,
∴C(0, ),OC＝ ,
在y＝ x+ 中令y＝0得 x+ ＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝ ＝ ＝ ,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2× ＝ ，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝ ，
∴AB＝2 ，
故答案为：2 ．
24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下
步骤操作：
第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF
的长为 1 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的
长为 ．
【分析】如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接 FN,EN,设AC交EF于J.证明
△FTE∽△ADC,求出ET＝2,EF＝2 ,设A′N＝x,根据NF＝NE,可得12+(4﹣x)2＝32+x2,解方程求出x,可
得结论。
【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T,则四边形ABFT是矩形，连接FN,EN,设AC交EF于J．
∵四边形ABFT是矩形，
∴AB＝FT＝4,BF＝AT,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90°
∴AC＝ ＝4 ,
∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°,
∴∠TFE＝∠DAC,
∵∠FTE＝∠D＝90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴ ＝ ＝ ,∴ ＝ ＝ ,
∴TE＝2,EF＝2 ,
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1,
设A′N＝x,
∵NM垂直平分线段EF,
∴NF＝NE,
∴12+(4﹣x)2＝32+x2,
∴x＝1,
∴FN＝ ＝ ＝ ,
∴MN＝ ＝ ＝ ,
故答案为：1， 。
25．（4分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆
时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或
逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知
某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则
对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
【分析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y﹣2z，再画树状图展示所有
12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数，然后根据概率
公式求解．
【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）﹣（3x+2y﹣4z）＝x+y﹣2z，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）
26．（8分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于 2021年3月1
日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理 8吨生活垃圾，同时由于市
民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少 10吨．若该区域计划增设A型、B型点位
共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【分析】（1）每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，根据“每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12
个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A型点位每天处
理生活垃圾37吨，每个B型点位每天处理生活垃圾 30吨，根据题意列出不等式：37（12+y）+30
（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．
【解答】解：（1）设每个 B型点位每天处理生活垃圾 x吨，则每个 A型点位每天处理生活垃圾
（x+7）吨，根据题意可得：
12（x+7）+10x＝920，
解得：x＝38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A
型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），
《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位每天处理
生活垃圾38﹣8＝30（吨），
根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，
解得y≥ ，
∵y是正整数，
∴符合条件的y的最小值为3，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
27．（10 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转得到
△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过
程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出AC＝4，再在Rt△A'BC中，求出A'C＝ ＝4，从而可得AA'＝8;
（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,先证明CE＝BC＝3,再根据S△ABC ＝ AC•BC＝AB•CD,求出CD，进而可得DE和BE及C'E,由CE//A'B得 ＝ ,即可得BM＝ ;
（3）过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C,先证明∠ACP＝∠A'C'D＝∠P，得AP＝AC＝A'C',再证
明△APD≌△A'C'D得AD＝A'D,DE是△AA'C的中位线，DE＝ A'C,要使DE最小，只需A'C最小，此
时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，即可得DE最小值为 A'C＝1．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°,AB＝5，BC＝3，
∴AC＝ ＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上,
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
Rt△A'BC中，A'C＝ ＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8;
（2）过C作CE//A'B交AB于E,过C作CD⊥AB于D,如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC,BC'＝BC＝3，
∵CE//A'B,
∴∠A'BC＝∠CEB,
∴∠CEB＝∠ABC,
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC中，S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CD,AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝ ＝ ，
Rt△CED中，DE＝ ＝ ＝ ，
同理BD＝ ，
∴BE＝DE+BD＝ ，C'E＝BC'+BE＝3+ ＝ ，
∵CE//A'B,
∴ ＝ ,
∴ ＝ ，
∴BM＝ ;（3）DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP//A'C'交C'D延长线于P,连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC',∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C',
∴∠BCC'＝∠BC'C,
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC',
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C,
∴∠ACP＝∠A'C'D,
∵AP//A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D,
∴∠P＝∠ACP,
∴AP＝AC,
∴AP＝A'C',
在△APD和△A'C'D中，
,
∴△APD≌△A'C'D(AAS),
∴AD＝A'D,即D是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA'C的中位线，
∴DE＝ A'C,
要使DE最小，只需A'C最小，此时A'、C、B共线，A'C的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝2，
∴DE最小为 A'C＝1．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点
P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点
C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点
C的横坐标的取值范围．【分析】（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1），可得h＝2,k＝﹣1,又y＝a(x﹣
2)2﹣1的图象过（0,0），即可解得a＝ ,从而得到抛物线表达为y＝ (x﹣2)2﹣1＝ x2﹣x;
（2）在y＝ x2﹣x中，令y＝x得x＝ x2﹣x,可得B(0,0)或B(8，8),分两种情况分别求C，①当B(0，
0)时，过B作BC//AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，先求出直线AP解析式为y＝ x﹣2,再求得
直线 BC 解析式为 y＝ x,由 得 C(6,3);②当 B(8，8)时，过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,过 B 作
BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C,由tan∠OAP＝ ＝ ,tan∠ABH
＝ ＝ ,可知∠OAP＝∠ABH,而H关于AB的对称点M,有∠ABH＝∠ABM,故∠ABM＝∠OAP,C是满
足条件的点，设M(x,y),根据AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得 ,解得M( , ),
从而求得直线BM解析式为y＝ x+2,再解 得C(﹣1, )；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N，证明△ABH∽△BMN,可得
＝ ,即 ＝ ，BN＝ ＝4,故M(0, t2﹣t+4）,设直线BM解析式为y＝ex+
t2﹣t+4,将 B(t, t2﹣t）代入得 e＝﹣ ,可得直线 BM 解析式为 y＝﹣ x+ t2﹣t+4，由
得 ,解得点C的横坐标为﹣t﹣ +4;当t＜0时，x ＝﹣
C
t﹣ +4＝（ ﹣ )2+12,可知 ＝ 时，x 最小值是12，故当t＜0时，点C的横坐标的取
C
值范围是x ≥12．
C
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P的坐标为（2，﹣1），∴h＝2,k＝﹣1,即抛物线y＝a（x﹣h）2+k为y＝a(x﹣2)2﹣1,
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过O，即y＝a(x﹣2)2﹣1的图象过（0,0），
∴0＝a(0﹣2)2﹣1,解得a＝ ,
∴抛物线表达为y＝ (x﹣2)2﹣1＝ x2﹣x;
（2）在y＝ x2﹣x中，令y＝x得x＝ x2﹣x,
解得x＝0或x＝8,
∴B(0,0)或B(8，8),
①当B(0，0)时，过B作BC//AP交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，如图：
在y＝ x2﹣x中，令y＝0,得 x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝4,
∴A(4,0),
设直线AP解析式为y＝kx+b,将A(4,0)、P(2，﹣1)代入得：
,解得 ,
∴直线AP解析式为y＝ x﹣2,
∵BC//AP,
∴设直线BC解析式为y＝ x+b',将B(0，0)代入得b'＝0,
∴直线BC解析式为y＝ x,
由 得 （此时为点O，舍去）或 ,
∴C(6,3);
②当B(8，8)时，过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM
交抛物线于C,连接AM,如图：∵P(2，﹣1),A(4，0),
∴PQ＝1，AQ＝2，
Rt△APQ中，tan∠OAP＝ ＝ ,
∵B(8,8),A(4,0),
∴AH＝4,BH＝8,
Rt△ABH中，tan∠ABH＝ ＝ ,
∴∠OAP＝∠ABH,
∵H关于AB的对称点M,
∴∠ABH＝∠ABM,
∴∠ABM＝∠OAP,即C是满足条件的点，
设M(x,y),
∵H关于AB的对称点M,
∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，
∴ ,
两式相减变形可得x＝8﹣2y,代入即可解得 (此时为H，舍去）或 ,
∴M( , ),
设直线BM解析式为y＝cx+d,将M( , ),B(8，8)代入得;
,解得 ,
∴直线BM解析式为y＝ x+2,
解 得 或 （此时为B,舍去），∴C(﹣1, ),
综上所述，C坐标为（6,3）或（﹣1， ）；
（3）设BC交y轴于M，过B作BH⊥x轴于H，过M作MN⊥BH于N,如图：
∵点B的横坐标为t，
∴B(t, t2﹣t）,又A(4，0)，
∴AH＝|t﹣4|,BH＝| t2﹣t|,OH＝|t|＝MN,
∵∠ABC＝90°,
∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH,
且∠N＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△BMN,
∴ ＝ ,即 ＝
∴BN＝ ＝4,
∴NH＝ t2﹣t+4,
∴M(0, t2﹣t+4）,
设直线BM解析式为y＝ex+ t2﹣t+4,
将B(t, t2﹣t）代入得 t2﹣t＝et+ t2﹣t+4,
∴e＝﹣ ,
∴直线BC解析式为y＝﹣ x+ t2﹣t+4，
由 得 ,解得x ＝t(B的横坐标）,x ＝﹣ ＝﹣t﹣ +4,
1 2
∴点C的横坐标为﹣t﹣ +4;
当t＜0时，
x ＝﹣t﹣ +4
C
＝( )2+( )2+4
＝（ ﹣ )2+12,
∴ ＝ 时，x 最小值是12，此时t＝﹣4,
C
∴当t＜0时，点C的横坐标的取值范围是x ≥12．
C
