1987数学三真题答案解析（试卷四）_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解_1987-2004年数三真题解析

1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学 试 题 参 考解答 数 学（试卷Ⅳ） 一、判断题（每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分） 1 (1) limex  （  ） x0  (2)  x4sinxdx0 （ √ ）     (3) 若级数a 与b 均发散，则级数 (a b )必发散 （  ） n n n n n1 n1 n1 (4) 假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切r1阶子式都等于0， 那么矩阵A的一切r1阶子式都等于0 （ √ ） (5) 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0 （ √ ） 二、选择题（每小题2分，满分10分.） (1) 下列函数在其定义域内连续的是 (A) sinx x0 （A） f(x)lnxsinx （B） f(x) cosx x0  1 x1 x0  x  0 （C）  （D） f(x)   x f(x) 0 x0   x1 x0  0 x 0 (2) 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，x ,x 是区间内任意两点，且x  x ，则至少存一点， 1 2 1 2 使得 （C） (A) f(b) f(a) f()(ba), ab . (B) f(b) f(x) f()(bx), x b. 1 1 1 (C) f(x ) f(x) f()(x x), x x . 2 1 2 1 1 2 (D) f(x ) f(a) f()(x a), ax . 2 2 2 (3) 下列广义积分收敛的是 （C） lnx  dx  dx  dx （A） dx （B） （C） （D） e x e xlnx e x(ln x)2 e x lnx (4) 设A是n阶方阵，其秩r < n ， 那么在A的n个行向量中 (A) (A) 必有r个行向量线性无关 (B) 任意r个行向量线性无关(C) 任意r个行向量都构成极大线性无关向量组 (D) 任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表示 (5) 若二事件A和B同时出现的概率P( A B ) = 0 , 则 (C) (A) A和B互不相容（互斥） (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0 或 P(B)=0 三、计算下列各题（每小题4分，满分16分） 1 (1) 求极限 lim(1xex)x. x0 1 ln(1xex) ln(1xex) 解：因 (1xex)x e x ， 而 xex （当x0）， x ln(1xex) xex 1 故 lim lim limex 1， 从而 lim(1xex)x e. x0 x x0 x x0 x0 1 x2 1 (2) 已知y ln ， 求y. 1 x2 1 2x 2x 2 1x2 2 1x2 2 解：yln( 1x2 1)ln( 1x2 1)，y ln  . 1x2 1 1x2 1 x 1x2 x y (3) 已知 z arctg ，求dz. xy x y (x y)(dxdy)(x y)(dxdy) d( ) x y (x y)2 ydxxdy 解：dz    x y x y x2  y2 1( )2 1( )2 x y x y (4) 求不定积分e 2x1dx. 解：令 2x1t，有 e 2x1dxettdt tet etdt tet et c( 2x11)e 2x1c 四、（本题满分10分） 考虑函数y sinx (0 x /2)，问： (1) t 取何值时，图中阴影部分的面积s 与s 之和s  s s 最小？ 1 2 1 2 (2 ) t取何值时，s  s s 最大？ 1 2 t 解：因s tsint sinxdxtsintcost1， 1 0   s 2sinxdx( t)sint costtsint sint， 2 t 2 2   故ss s 2tsint2cost sint1,(0t  ). 1 2 2 2      令s0，得s在(0, )内的驻点t  . 而s( ) 21，s( ) 1，s(0)1， 2 4 4 2 2  因此 t  时，s最小；t 0时，s最大. 4 五、（本题满分6分） 1 将函数 f(x) 展成x的级数，并指出收敛区间. x2 3x2 1 1 1 1 1 1 解：因 f(x)      ， (x2)(x1) 1x 2x 1x 2 x 1 2 1  1  x  1 而 xn ，x(1,1)， 且  ( )n  xn ，x(2,2)， 1x x 2 2n n0 1 n0 n0 2  1  1  1 故 f(x)xn   xn  (1 )xn，其收敛区间为(1,1). 2 2n 2n1 n1 n0 n0 六、（本题满分5分） 计算二重积分 ex2dxdy，其中D是第一象限中由直线yx和y  x3围成的封闭区域. D 解：联立yx和y  x3，可解得两曲线交点的横坐标 x0和x1，于是  ex2dxdy 1 dx x ex2dy 1 (xx3)ex2dx e 1 D 0 x3 0 2 七、（本题满分6分） 已知某商品的需求量x对价格P的弹性为 3p3，而市场对商品的最大需求量为1 （万件），求需求函数. p dx dx 解：由弹性的定义，有 3p3，即 3p2dp， x dp x 于是有 x cep3 ，c为待定常数. 由题意 p0时，x1，故c1，因此xep3 .八、（本题满分8分） 2x  x 4x 3x  4 1 2 3 4 x   3  1   x  x  x  3  1      解线性方程组  1 3 4 【  x 2 8 k 2  ，k为任意常数】   7 3x x 1   x 2  7 x x 3 3x   3 1   x x 3       0 6       1 0    1 3 4 4 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有 2 1 4 3 4 1 0 1 0 3      1 0 1 1 3 0 1 2 0 8      3 1 1 0 1  0 0 0 1 6      7 0 7 3 3  0 0 0 0 0  故原方程组与下方程组同解： x 3x 1 3  x 82x ，令x 0，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T . 2 3 3   x 6 4 又显然原方程组的导出组与下方程组同解： x x 1 3  x 2x ，令x 1，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T . 2 3 3   x 0 4 因此原方程组的通解为：(x,x ,x ,x )(3,8,0,6)T k(1,2,1,0)T，其中k 为任意常数. 1 2 3 4 九、（本题满分7分）  4 2 3 设矩阵A和B满足AB A2B，求矩阵B，其中A  1 1 0  .    1 2 3  解：因AB A2B，故AB2B A，即(A2E)B A，  3 8 6 故B(A2E)1A  2 9 6       2 12 9  十、（本题满分6分） 3 1 2 求矩阵A  0 1 4 的实特征值及对应的特征向量.    1 0 1 解：令 EA 0，即(1)( 24 5) 0 ,可见矩阵A只有一个实特征值1. 易见，线性方程组(EA)X 0的基础解系为(0,2,1)T ，故A对应于实特征值1的特 征向量为k(0,2,1)T ，（其中k 为非零任意常数）. 十一、（每小题4分，满分8分） (1) 已知随机变量 X 的概率分布为P(X 1)0.2,P(X 2)0.3,P(X 3)0.5，试写 出X 的分布函数F(x). 0, x 1 解：X 的分布函数为F(x)  0.2, 1 x  2 .  0.5, 2 x 3  1, x 3  y2 (2) 已知随机变量 Y 的概率密度为 f(y)    y e  2a2 y 0 , 求随机变量Z  1 的数学 a2 y 0 Y   0 期望EZ. y2 y2 解：EZ E( 1 ) 1 f(y)dy 1  y e  2a2dy 2  1 e  2a2dy 2 . Y  y 0 y a2 0 2a2 2a 十二、（本题满分8分） 设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中 18件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件 均不放回），试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率 p； (2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q. 解：设B {取出的零件为第i箱中的}，A {第 j次取出的是一等品}，i, j 1,2， i j 显然B,B 为正概完备事件组，故全概公式得 1 2 1 10 1 18 2 (1) pP(A)P(B)P(A B)P(B )P(A B )     ； 1 1 1 1 2 1 2 2 50 2 30 5 1 109 1 1817 276 (2) P(AA )P(B)P(AA B)P(B )P(AA B )     ， 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 5049 2 3029 1421 P(AA ) 690 于是，由贝叶斯公式得q  qP(A A) 1 2  0.48557. 2 1 P(A) 1421 1