1987数学二真题答案解析（试卷三）_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.2考研数学（二）真题_版本2自选使用_02.1987-2024年数二真题详解

1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数 学 试 题 参 考解答 数 学（试卷Ⅲ） 一、填空题（每小题2分，满分10分. 把答案填在题中横线上） a a2 (1) 设y  ln(1ax), 其中a为非零常数，则y , y  . 1ax (1ax)2 1 2 (2) 曲线 y  arctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是 y  x ； 法线方程是 2 4 y  2x(8)/4. (3) 积分中值定理的条件是 f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，结论是 b [a,b],使得 f(x)dx f()(ba) a n2 (4) lin( )n  e3 . n n1 b 1 1 (5)  f(x)dx f(x)c； f (2x)dx＝ f(2b) f(2a). a 2 2 二、（本题满分6分） 1 1 求极限 lim(  ) x0 x ex 1 1 1 ex 1x ex 1x ex 1 x 1 解：lim(  )lim lim lim lim  . x0 x ex 1 x0 x(ex 1) x0 x2 x0 2x x0 2x 2 三、（本题满分7分） x5(tsint) dy d2y 设 ，求 , . y 5(1cost) dx dx2 dy dx dy （5 0+sint) sint dy sint 解：因 5sint, 55cost，   ，故  ， dt dt dx 5(1cost） 1cost dx 1cost d2y d sint dt 1 且  ( )  dx2 dt 1cost dx 5(1cost)2 四、（本题满分8分） 1 计算定积分  xarcsinxdx. 0 1 1 1 1 x2  1 1 x2 解： xarcsinxdx x2arcsinx 1   dx   dx， 0 2 0 2 0 1x2 4 2 0 1x21 x2 sin2t  1  1   令xsint，有 dx2 costdt  ，因此 xarcsinxdx    . 0 1x2 0 cost 4 0 4 2 4 8 五、（本题满分8分） 设D是曲线y sinx1与三条直线x0,x,y 0围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.  32 解：V  (sinx1)2dx4 . 0 2 六、证明题（本题满分10分） (1)（5分）若f(x)在(a,b)内可导，且导数 f (x)恒大于零，则f(x)在(a,b)内单调增加. 证：x,x (a,b)，不妨设x  x ，则f(x)在[x ,x ]上连续，在(x,x )内可导， 1 2 1 2 1 2 1 2 故由拉格朗日中值定理，(x,x )(a,b)，使得 f(x ) f(x) f()(x x). 1 2 2 1 2 1 由于 f (x)在(a,b)内恒大于零，所以 f()0，又x x 0，因此 f(x ) f(x )0， 2 1 2 1 即 f(x ) f(x)，表明f(x)在(a,b)内单调增加. 2 1 (2)（5分）若g(x)在xc处二阶导数存在，且g(c) 0,g(c)0，则g(c)为g(x) 的一个极大值. g(x)g(c) g(x) 证：因g(c)lim 0，而g(c) 0，故lim 0.由极限的保号性， xc xc xc xc g(x) 0，当x(c,c)时，有 0，即g(x)0，从而g(x)在(c,c)单增； xc g(x) 当x(c,c)时，有 0，即g(x)0，从而g(x)在(c,c)单减. xc 又由g(c) 0知，xc是g(x)的驻点，因此g(c)为g(x)的一个极大值. 七、（本题满分10分） dx 计算不定积分  ( 其中a,b为不全为零的非负数 ) a2sin2 xb2cos2 x 1 1 解：① 当a0时，原式= sec2 xdx tanxc； b2 b2 1 1 ② 当b0时， 原式= csc2 xdx cotxc； a2 a2 a d( tanx) sec2 xdx 1 b 1 a ③ 当ab0时，原式=    arctan( tanx)c. a2tan2 xb2 ab a ab b ( tanx)21 b八、（本题满分15分） dy (1)（7分）求微分方程x  xy，满足条件y| 0的解． dx x 2 dy 1 1 dx 1 dx 1 1 解：原方程即  y1，故其通解为ye x (e x dxc) ( x2 c). dx x x 2 x 1 因y| 0，所以c1.于是所求初值问题的解为y   . x 2 2 x (2)（8分）求微分方程 y2y y  xex 的通解. 解：由特征方程r2 2r10，知其特征根根为r 1. 1,2 故对应齐次方程的通解为  y(C C x)ex，其中C ,C 为任意常数. 1 2 1 2 1 1 设原方程的特解为y*(x)ex(axb)，代入原方程可得a  ，b . 4 4 因此，原方程的通解为y(x)  yy* (C C x)e2x  1 (x1)ex . 1 2 4 九、选择题（每小题4分，满分16分） (1). f(x) xsinxecosx, -  x 是 （D） （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 (2). 函数 f(x)xsinx (D) （A）当x时为无穷大 （B）当x时有极限 （C）在(,)内有界 （D）在(,)内无界 f(ax) f(ax) (3) 设 f(x)在xa处可导，则lim 等于 (B) x0 x （A）(cid:1)f (a) （B）2f (a) （C）0 （D） f (2a) (4) 设.A 为(cid:1)n 阶方阵, 且 A a 0, 而(cid:1)A* 是(cid:1)A 的伴随矩阵，则 A* = (C) (A) a (B) 1/a (C) an1 (D) an 十、（本题满分 10 分） 在第一象限内，求曲线yx21上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成 的面积为最小，并求此最小面积. 解：设切点的横坐标为a，则切线方程为y(1a2)2a(xa)，即y2axa21 故所围面积s 1 (a21) a21  1 (x21)dx a3  a  1  2 . 令s0得驻点a  3 . 2 2a 0 4 2 4a 3 3 3 2 4 2 由于s 0，故所求点的坐标为( , )，其最小值为s  3 . a 3/3 3 3 a 3/3 9 3