2019年数学(一)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(C).
【解】方法一
... x 一 tan x [. 1 一 sec2jc t得
由忸二= !吧—
tan x ~----x3 9 故工- -tan x为3阶无穷小9即k = 3：应选(C).
方法二
由 tan x = jc + £工3 +。（工3）得 x 一 tan x 〜 x3 （乂 —*0）,
0
O
故b =3，应选(C).
(2) 【答案】(B).
【解】 由 lim 了----= lim | x | = 0 得 f'_ (0) = 0,
工一 0 —o_
由 lim "巴〉----~~~ = lim In x = — 00 得 f ； (0)不存在，
L o+ H — 0 —o+
故広=0为/(jc )的不可导点；
当工 V 0 时,f(x) <0=/(0),当 0 <工 V l,f (x) v 0=y(0),
故工=0为f(x)的极大值点，应选(B).
(3) 【答案】(D).
【解】 因为｛"”｝单调增加有界，所以｛“”｝极限存在.
n
设hmun =A ,因为(况：+1 — u\)=况：+1 —诟.
心°° —
n
所以 lim 工("：+] — "：) = lim(记+1 — Uj ) — A2 — u\,应选(D).
(4) 【答案】(D).
【解】 因为曲线积分与路径无关，所以字=学=4,且)在上半平面内
dy dx y
连续可偏导，所以可取PQ ,y)=工一丄，应选(D).
y
(5) 【答案】(C).
【解】 令AX=AX(XH0),
由屮 + A =2E 得(A? + A — 2E)X = (F +入一2)X =0,
从而有入$+入一2=0,即入=—2或入=1,
因为 | A | = 4,所以 A ! = 1 ,A 2 = A 3 =一2,
故二次型X'VAX的规范形为碇一龙一工，应选(C).(6)【答案】(A).
_ p1
la 11 a 12 Q13\ a 12 a 13 d 1 \
【解】A=| |，A = 1 21 dA
a 21 a 22 a 23 , a 22 a 23
dj
a 31 °32 S3 / a 31 a 32 a 33
因为任两个平面不平行，所以r(A) >2,
又因为三个平面没有公共的交点，所以r(A) <r(A),
再由 r (A ) £ 3 得 r (A ) =2,r(A ) = 3,应选(A).
(7)【答案】(C).
【解】 由减法公式得 P(AB) =P(A) -P(AB), P(BA) = P (B) — P (AE),
则 P(A) =P(B)的充分必要条件是 P(A) -F(AB) =P(B) -P(AB),
即 P(AB) =P(BA),应选(C).
(8)【答案】(A).
【解】 因为X〜N(〃，/),Y〜N(〃2)且X,Y相互独立,
X 一 y
所以 X — Y 〜N(0,2^2),或------〜N(0,l),
屁
即P{ \ X-Y \< 1}与卩无关，与“2有关，应选(A).
二、填空题
(9)【答案】 」一 +」一.
cos x cos y
3Z f
【解】 由一=■- cos x • /z (sin y — sin x) y
ox
3 z t . .
—=cos y 9 f C sin y 一 sin 乂)+ 工
得丄一 dz 11 c)Z y___ 王
• ------ —I— ------------- •------
cos X dx COS y 3y COS X cos y
(10)【答案】 丿3 — 2 .
得繹七
【解】 方法一由2yy' — — 2=0
积分得 ln(j/2 +2) —x + C ,
再由 y (0) = 1 得 C = In 3,即 ln(j>2 + 2) = ln(3er ),
从而+ 2 = 3eJ ,故夕=一 2 .
方法二 令亍=u,则原方程化为半■一 “=2,
Ax
解得 u = (]^卜“ djr +c)』卜"=(-2亍 + C)eJ
即夕 =(_2「乂 +C)eJ =Ce -2,
2
由 y(0) = 1 得 C = 3,故夕=y/3ed — 2 .（11） L答案】cos4^・
=工 2淙(一护1)" （门=2
【解】S（z） ”=o ⑵）！ 工
3?
（12） 【答案】 y.
:JJ djc dy = jj I y I dz dy ,
【解】 a/4 — jc2 — 4z2 djc dy =
令 Dxy = {(2 ,夕)I 工2 + 夕2 W 4}，贝I]
jj^4 — j?2 — 4z2 Ax dy =JJ | 3/ | djr dj/ = jj \ y \ dx dy
2 》 %
• 2L
4 d0 I r2sin 0d厂=4 2 sin Odd
0 J o . o 0 3
（13）【答案】X=k
【解】 因为ct 2线性无关9且S = — a ] + 2a2,所以r （A ） = 2,
i
于是方程组AX =0的基础解系含一个线性无关的解向量，
由 a a + 2a 得 a 2a + a 0 ?
3 =: 1 2 i 2 3
1 \
即 -2 |为AX=0的一个非零解，故AX=0的通解为X =引一2 （k为任意常数）.
1
2
（14）【答案】|
'2 x 4
【解】E（X） = •——cLr =——
JC
0 2 3
FQ)= /(•z )dz 9
当工 VO 时,F (j?) = 0 ；
2
x
当 0 H 时，F(z)= _ *
_T
J 0
当心 2时，FQ） =1,即
0, 攵< 0,
2
F&) =2X T 0 W 乂 V 2 9
1, 工$ 2,
吕= 1
故 P{F(X) > E(X) - 1} = ”F(X) > 1 - P『(X) £ *
3
2
=1 -P
〔 73
=1—卩 X 3C2 后 2
— G.X = 1------ = T-
J 0 2 4
0三、解答题
(15) 【解】(I)j/十工夕=6 2的通解为
夕=(]e 2 • e"山 dr + C) e "dz = (z 十 C)e 2 ,
2
由 y(0) = 0 得 C = 0,故 y=_ze 2 .
工2 工2 工2
(U ) / = (1 — z2 )e 2 q" = (z3 — )e 2 =x{x +73^)(^： —^/3)e 2 ,
令夕〃 =0 得工=—罷，工 =0,无 =^3 9
当工& (-oo, -V3)时，/<0；当工 6 (-73,0)时,/>0；当工 e (0,73)时<0；
当工 G(V3 , +oo)时,/〉0,
2
故y = j: e 2的凸区间为(一— V3~)及(0彳梶);凹区间为(一a/3~，0)及? + °°) ?
工 2 _旦 _旦
曲线 jy=ze 2 的拐点为(一a/3~ 9 — a/3" e 2 ) 9 (0,0)及(V3~ ?^/3~ e ^ ).
(16) 【解】(I )grad z = {2ax ^2by }，grad z |(3,4)= {6a ,8b }，
因为梯度的方向即为方向导数最大的方向，
所以有里=笔，艮卩a=b,
——o ——4
再由 v/36a 2 + 64快=10 得 a = b = — 1.
(II )曲面 S ：z —2 — x2 — y2 ,(x ,y) G Dxy ,其中 Dxy = {(j: ,y) | J：2 + j^2 2},
则曲面丫的面积为
S = H ^/1 + Zj2+ Zy2dj： dj/ — JJ ^/l + 4j;2 + 4jz2 djr dy
Dp Dp
r-/2 ,_____________ TT [42 丄
=2兀| r + 4r2 dr =— (1 + 4r2) 2 d(l + 4r2)
Jo 4 J 0
=y X 彳(l + 4r喘『=土(27 —1)
4 3 6 3
I o
(17)【解】 所求的面积为
A = e_J | sin x. | dr
e~x sin x djr
a+i)”
e sin jc + cos x )
=£1血£|>7+5 +e*] =£lim「1 + 2空 + e~<n+1)Ttl
2 =0 2 ” y l & =] 」
= 1(1 +
十+ 2e「 —2 1丿=*+丄
1 - e(18) ( I )【证明】 因为当0 £工冬1时 ，xn+1 a/1 — x2 W 云丿1 一 x2
所以
二[攵" a/1 — 2 dr ,即 a”
卄
+i V a”，故｛a”｝单调递减.
J o 1
x = sin t sinlt • cos2^dz = 2 (sin7 一 sin?+2Z)dz
0 o
:sin—d/F”一n庄/” 1
2 sintdt —
刃+ 2
o
X ^^=Fsin〃—S ・cos「ck = 2 (sin"—L — sin"£)ck
an-2
J 0 o
•A p-^.
2 sirT3df — sinnzdz = In-2
J
o 0
n 一 1
因为I”
n n-2
9 所以
I n-2
n Yl — 1
于是a
n~2 n 一 1
—
n — 1
J” ,故 a
= 72十丄 2
-2(" =2,3,…).
n 一 1 n — 1
(n)【解】 因为仏〃｝单调递减，所以s ZZ + Z a ”_2 7Z 十 I / n-1 ，
从而有72厂］ < 上-< 1,由夹逼定理得lim 丄~ = 1.
72 十 2
an_x ”
(19)【解】 设Q的形心坐标为(7 JJ),
dydz jjj n dj? dy dz
一 a
由对称性得x = 0 9且；y =务-------- ，n
|Jj dj? dy dz jjj dj? dy dz
a a
Ijj d:r dy dz = dj? dy = tv (1 一 z)2 dz =善 3 (之 一 1 )3 o 1 =T 7T
0 o
Q '+ (jz—z)2《(l—z)?
IJJ y d^r dydz dz y dr切
a o
2+ (jz-^)2<(l-z)2
.. y 一 z = u
由 ydx dy …- (况 + n )clz du
2'+ (y—z)2<(l—z)2 2+«2<(l-z)2
= ]| N djr du = ( 1 一 N ) 得
TCZ 2
j-2-»-u2<(l-z)2
IJJ y djr dydz = tt N(1 —N)'dN = ；
o 12
q
n dj? dy dz = nc!n dj? dy = 7r N(1 — zY dz =為，
0 o 1Z
Q '+ (y—z)? W( 1—z) $
故。的形心坐标为(o，+，+).
7? + C + 1 = 1 9
(20) ( I )【解】 由题意得 ba ] + ca 2 + a =0，即v 2b + 3c +(2=1，
3
b + 2c + 3 = 19
解得 a =3,6 = 2，c = — 2.1 1 1 1 1 1
（U）【证明】 因为I a2 ,a3，P | = 3 3 1 0 0-2 2 HO,所以a2,a3.p线性无关,
2 3 1 0 1 -1
故 a2,a3 .0为R3的一个基.
设由a2 ,a 3.0到a, ,a2,a3的过渡矩阵为Q,即 ,a2,a3) == ((x2,ct3 ，0)Q，
于是Q = （a2，a：3，0） （ai，a2，a3）.
1 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 : 1 0 0
0 1 -1 -2 0 1
3 1 0 1 0 0 0 -2 -3 1 0
丄
'2 3 1 0 0 1 0 1 - 1 1 —2 0 1 0 0 1 0
2 2
丄
1 1 0 0 ‘10 0 0 1 -1
j.
0 I 0 丄 丄 1 ―> 0 1 0 1 1 得
2
2 丄
2 丄 0 0 1 0
0 0 1 0 2
0 1 -1
丄 丄
1
,0) 1 ，则
(tt 2
3 丄
0
1
0 1 -1 1 1 0
丄 _1 1 1 1 2
Q = ■ 1 "7 1 2 3 3 1 0 1
3 j. 1 2 3 j_
0 0 0
、 1 2
(21)【解】(I)因为A ~ B,所以trA =tr B ,即 x — 4= j/ + 1,或;y —5,
再由 | A I = I B I 得 一2(—2工 + 4) = — 2夕，即 y = — 2工 + 4,
解得工=3,夕==—2.
(—2 -2 1 \ (2 1 0 \
（n）a = 2 3 —2 ,B = 0 — 1
' 0
0 - 2' '0 0 -2'
显然矩阵 A ,B 的特征值为入 1 =-- 2 9 入 2 = 一 一 1 9入 3 =2,
丄
1 0
-2 1
由 2E +A 2 1 0 丄 得A的属于特征值心=—2的特征向量为
0 1 '1
0 0 0
0 0 0
/-I
= 2
' 4/I 2 -* (1 2 O\
由 E +A -* 0 0 1 —A 0 0 1 得A的属于特征值入2 = — 1的特征向量为
'o 0 o / d
'o o
-2
1
a 2 =
0
丄
2 1 _2\ 1 0
由 2E-A 0 0 1 得A的属于特征值入3 =2的特征向量为
0 0 1
0 0 0
0 0 0
-1
2
a 3
0
-1 -2 -1 _2 0 0
令Pi = 2 1 2 ，则 PjAPi 0 -1 0
4 0 0 0 0 2
/4 1 °\ F 0 0、 /°\
由 2E+B = 0 1 0 — 0 1 0 得B的属于特征值入i = —2的特征向量为= 0
U
'o 0 q' 'o 0 o'
丄
3 1 ° 1 0
由 E +B = 0 0 0 得B的属于特征值入2 = —1的特征向量为
0 0 1
0 0 -1
0 0 0
2 =
—1 0\ /° 1 °\
由 2E-B = 0 3 ° ~A0 0 1 |得B的属于特征值入 2 =2的特征向量为03 =
'() 4/ 'o V
0 0
/° -1 1、 厂2 0
令 p2 = 0 3 0 ,则 p^bp2 = 0 —1 0
1 0，
0 0 0 2'
由 PjAPi =P^BP2 得(P1P『)TA(P]PJ) =B,
-1 —1 -1
故 P =P1P71 2 1 2
0 0 4(1 一 e~ r , z 2 0,
(22)【解】(I )因为X〜E(l),所以X的分布函数为FQ)=
\0, 久 V 0.
Fz(z) = P{XY0}= P{Y= -1}P{XY^Z | y= -1}+F{y= 1}P{XY^Z | Y= 1}
= pP{- X ^z} + Cl- p)P{X ^z} =pP{X z} + (1 — 〃)P{X£z}
= ^：l-P{X<-z}] + (l-/>)P{X<z}=/> 口一 F(—z)] +(l —p)F(z),
当 z VO 时,Fz(z) = pe \
当 z 2 0 时,Fz(z) = p + (1 — ")(1 —亍)，
0 e" , z V 0,
故 /z(w)=
KI - p)e~z , z > 0.
(II )Cov(X,Z) =Cov(X,XY) =E(X'Y) —E(X) • E(XY)
= E(X2)E(Y) — [E(X)]2E(Y) =D(X)・ E(Y),
因为 X 〜E(l),所以 E(X) =1,D(X) =1,
又因为 Y 〜]1 1 )，所以 E(Y) =(—l)p + (1 — p) =1 — 2p,
\ p p'
X与Z不相关的充分必要条件是Cov(X,Z) =0,
故当时‘X与Z不相关.
(皿)设F(x,y)为(X,Z)的联合分布函数，
F(l,l)=P{X<l,ZCl}=P{XCl,XyCl}
= p{y=
-i}p{x<i,xy<i |y= —1}+ p{y= i}P{x<i,xy<i |y= 1}
=yP{X < l,-X<l}+yP{X<l}=yP{-l<X<l}+yP{X^l}
= P{X < 1} =F(1) =1 —丄，
Fx(l) =P{X < 1} =1一一,
e
fz(d =p{xy<i}= p{y= -i}P{xv<i | y= —i} + p{y= i}p{xy<i | y= u
= X w 1} +*P{X w 1} = *P{X 1} +*P{X w 1}
T-彩
因为F（l,l） H Fx（l）• Fz（l）,所以X与Z不相互独立.
（23）【解】（I ）由归一性得
A —丄（口/
—e e 2 2 dj?
a
◎
y_ f+oo 1 上 J] =至
"A〕。”也
a/27T解得A =
1?
A" 亡 厂”
（n）L（（72） e
^7
In L (cr2 ) = 77 In A 一 -^-ln o2
由—^-ln L (cr2 )=
d(y
/的最大似然估计值为即=丄£（, 一〃）？，
n , = 1
故川的最大似然估计量为7 =lj（X,
）2.
