(235)--第八章：向量代数与空间解析几_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

s  {1,2,1} s  {1,1,2} 1 2 1 cos  s  s / | s || s |  1 2 1 2 2    . 3(1,3,2)  (4,2,1), (2,1,10)  (4,2,1), n  (2x ,2 y ,1) 0 0 2x 2 y 1 0  0  2 2 1 x  y  1, z  2. 0 0 0τ  {1,2t ,3t 2 } 0 0 1 τ  n  0  1  4t  3t 2  0  t  1 t  0 0 0 0 3f y f x    x x 2  y 2 y x 2  y 2 grad f  i. (0,1) n  (1,1,1) x  y  z  2.[(a  b) (b  c)] (c  a)  2(a b) c  4.6  4 d   2. 9  16  25n  {1,1,1}.x  3 y  z  4  0.n  {1,0,1}{2,1,1}  {1,3,1}. x  3 y  z  2  0.n  {4,1,2} n  {6,3,2} n  {2,2,3}.1   0, 2, 3 . 5x 2  z 2  1  y 2 .2   1,2,2 . 92.3 . 32 3.u  4 4  3 13  (6)  1  5  l 41 41 41 411.x y z  a   , x  ay  0. 2 a a 0 : A(x  1)  By  C(z  1)  0 1 A  B  2C  0, A  B  C  0, x  3 y  2z  1  0. x  y  2z  1  0,  x  3 y  2z  1  0, x  2 y,  1  1 x 2  z 2  4 y 2  ( y  1) 2 z   ( y  1). 4   2【解】过直线 L 的平面束方程为 x  2z  7  (x  2 y)  0 即 (1  )x  2y  2z  7  0 设切点为 (x , y , z ) 0 0 0  1    2 2    2 x 2 y 3z 则  0, , M : (3,0,2) 或(1,2,2)  0 0 0  x 2  2 y 2  3z 2  21 3 0 0 0  (1  )x  2y  2z  7  0  0 0 0  点(3,0,2)处切平面 x  2z  7 ；点 (1,2,2) 处切平面 x  4 y  6z  21 .【解】   n  n  (1,1,1) (1,1,2)  (1,3,2) 1 2  x  2 y  z  1  0 过直线 的平面束方程为  x  y  2z  3  0 x  2 y  z  1  (x  y  2z  3)  0 即 ( 1   )x  (2  ) y  (1  2)z  1  3 0  (1  )  3(2  )  2(1  2)  0 5   3x  9 y  12z  17  0. 2L   10x  8 y  ( y  2x)  0 x  L   10 y  8x  ( y  2x)  0, y   L   75  x 2  y 2  xy  0. x M (5 3,5 3), M (5 3,5 3). 3 4 ， M (5,5), M (5,5), grad h(x, y)  ( y  2x )i  (x  2 y )j 1 2 (x ,y ) 0 0 0 0 0 0 g(x , y )  ( y  2x ) 2  (x  2 y ) 2  5x 2  5 y 2  8x y . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f (M )  f (M )  450 f (x, y)  g 2 (x, y) 1 2 L(x, y,)  5x 2  5 y 2  8xy  (75  x 2  y 2  xy) f (M )  f (M )  150. 1 4z z gradz  i  j x y     z z   x y  {dx,dy}// ,     ,   x y x 2 y 2 x 2 y 2   4 1   9 1      16 36 16 36  dx dy 4  , y  Cx9 x  1, y  3 C  3 x y   4 9  x 2 y 2  z  4 1   P(1,3, 11) 16 36   4  y  3x9