(236)--第九章：多元积分学及其应用_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

x  ay y P(x, y)  , Q(x, y)  , (x  y) 2 (x  y) 2 P Q  , y x (a  2)x  ay  2 y,(a  2)x  (a  2) y, a  2.2 y 【解】 I   (1  x 2  )dxdy i 2 D i1 . x 2  y 2  z 2  2,2,4 . (x  y  z) 2 dV   (x 2  y 2  z 2 )dV   2 c z 4  z 2 dV   z 2ab(1  )dz  abc 3 . 2 c c 15 2 1 1r 1 2 1z I   d dr  e (1z) 2 dz   dz  d e (1z) 2 dr 0 0 0 0 0 0  (1  e 1 ). [(x  2) 2  ( y  3) 2 ]ds   [(x 2  y 2 )  (4x  6 y)  13]ds   2 2 4a 3  (x 2  y 2 )ds   (x 2  y 2  z 2 )ds   a 2 ds   3  3  3 2 2  (4x  6 y)ds  2  yds    (x  y  z)ds    0ds  0   3  3   13ds  26a 【解1】 ,其中 L  L  L L : y  1  x (1  x  0) 1 2 1 L : y  1  x (0  x  1) 2  xy d x  x 2 d y L 1 1 0 0   [x(1  x)  x 2 ]d x   (2x 2  x)d x  1 1 6  xy d x  x 2 d y  L 2 1 1 1  [x(1  x)  x 2 ]d x   (x  2x 2 )d x   0 0 6  xy d x  x 2 d y  0 L 【解2】补线用格林公式2 y I   x(x  y)dx  xdy  (dx  dy) L 2 2 2 y y   [x(x  y)  ]dx  [x  ]dy L 2 2   (1  x  y)d   x 2 y 21u u u  ds   [ cos(n, x)ds  cos(n, y)ds] L n L x y u u   [ cos(, y)ds  cos(, x)ds] L x y u u 2 u 2 u   [ dy  dx]   [  ]d L x y x 2 y 2 D    (x 2  y 2 )d  2 D2  (x 2  z 2 )dS   (x 2  y 2  z 2 )dS 3   8π  R 4 3 ( 2x  z  1) 2 dS   (2x 2  z 2  1  2 2xz  2 2x  2z)dS   1  (2x 2  z 2 )dS   (2x 2  z 2 )dS 2   1 1 1   (x 2  y 2  z 2 )dS   a 2 dS  2a 4 2 2   1 1  1dS  2a 2   (2 2xz  2 2x  2z)dS  2  zdS  2  z 1  z 2  z 2 dxdy x y   D  2  adxdy  2a 3 D xdydz  ydzdx  zdxdy   3dv    2 R  3  d 4 d r 2 sindr 0 0 0  (2  2)R 3 .S   zds   x 2  y 2 ds      2 4cos 2 4cos 2 4sin 2d   2   8  2 cosd  8 0z   z dV  dV      1  1  dV    d x d y d z   z d z    0 0 2    x 2 y 2z    1  1  z dV    d x d y z d z   z 2 d z    0 0 3    x 2 y 2z 2 z  . 3 x(1  z)dv   1   xdv   x(x  x 2 )dx  . 0 12  | z  x 2  y 2 | dv   (z  x 2  y 2 )dv   (x 2  y 2  z)dv    1 2  2 1 1  (z  x 2  y 2 )dv   d d (z  2 )dz  0 0 2 6  1 2 1 2   (x 2  y 2  z)dv   d d (2  z)dz  0 0 0 6  21 1x 1xy  dx  dy  (1  y)e (1yz) 2 dz 0 0 0 1 1y 1yz   dy  dz  (1  y)e (1yz) 2 dx 0 0 0 1 1 y 1 1   dy  (1  y)(1  y  z)e (1 yz) 2 dz   (1  y)[1  e (1 y) 2 ]dy 0 0 0 2 1  . 4eI   3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy L   3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy   3x 2 ydx  (x 3  x  2 y)dy LL L 1 1 (x 3  x  2 y) (3x 2 y) 0   [  ]dxdy   (2 y)dy x y 2 D 2   1dxdy   2 ydy 0 D     4 2    4. 2I     LBA BA    (sin y  3  sin y)d  (sin y  3  sin y)d  (e x 2 sin x  1)dx  D D 1 2    dx  2 P Q 【解】在上半平面  , L y  a 2  x 2 (a  0) y x (x  y)dx  (x  y)dy  C x 2  y 2 (x  y)dx  (x  y)dy   L x 2  y 2 1   (x  y)dx  (x  y)dy 2 a L 1 1   (x  y)dx  (x  y)dy   (x  y)dx  (x  y)dy 2 2 a LAB a AB 1 1 a    2dxdy   xdx  . 2 2 a a a DP Q  (x 2  y 2  0) y x xdy  ydx xdy  ydx     4x 2  y 2  1 4x 2  y 2 4x 2  y 2 LCA  xdy  ydx xdy  ydx xdy  ydx      4x 2  y 2 4x 2  y 2 4x 2  y 2 L  CA  1dy 7 2   xdy  ydx    π. 0 4  y 2 8 Q  【解】  (2xy)  2x. Q(x, y)  x 2  C( y) x y (t,1) 1 1  2xy d x  Q(x, y)d y   [t 2  C( y)]d y  t 2   C( y)d y, (0,0) 0 0 (1,t) t t  2xy d x  Q(x, y)d y   [1 2  C( y)]d y  t   C( y)d y. (0,0) 0 0 1 t t 2   C( y)d y  t   C( y)d y. 0 0 2t  1  C(t), C(t)  2t  1. C( y)  2 y  1 Q(x, y)  x 2  2 y  1.f  (x, y)  cos y. f (x, y)  sin y  C(x). y 2 (t,t )  [sin y  C(x)]dx  x cos ydy  t 2 , (0,0) t  C(x)dx  t sin t 2  t 2 . 0 C(t)  2t  sin t 2  2t 2 cos t 2 , f (x, y)  sin y  2x  sin x 2  2x 2 cos x 2 . 1  1   x   [1  y 2 f (xy)]    f (xy)  xyf  (xy)   [ y 2 f (xy)  1] y  y  y 2 x  y 2  d x x d y I      yf (xy)d x  xf (xy)d y, 2 L y y L d x x d y d x 1 x c a      xd   d   . 2 L y y L y y L y d b  yf (xy)d x  xf (xy)d y   f (xy)d( xy)  F(cd )  F(ab). L L. Q 2 y(2x 2  y 4 )  4x  2xy  4x 2 y  2 y 5   , Q P x (2x 2  y 4 ) 2 (2x 2  y 4 ) 2  x y P  ( y)(2x 2  y 4 )  4( y) y 3 2x 2 ( y)  ( y) y 4  4( y) y 3   . y (2x 2  y 4 ) 2 (2x 2  y 4 ) 2  ( y)  2 y,  ( y)   y 2  c 2 y 5  4cy 3  2 y 5 c  0 ( y)   y 2   ( y) y 4  4( y) y 3  2 y 5 .P Q 【解】1）由  知， y[g  (x)  f (x)] f  (x)  g(x)  e x  0 y x g  (x)  f (x)  0 则 从而有   f  (x)  g(x)  e x g  (x)  g(x)  e x 1 g(x)  c e x  c e x  xe x . 1 2 21 1 由 知， f (0)  g(0)  0 c   ,c  . 1 2 4 4 1 1 f (x)  (e x  e x )  xe x 4 2 1 1 g(x)   (e x  e x )  xe x 4 2 2）取 到 再到 的折线计算 (0,0) (1,0) (1,1) 1 1 1 I  2 [ yg(1)  f (1)]dy  (7e  ) 0 4 eu u u  ds   [ cos(n, x)ds  cos(n, y)ds] L n L x y u u   [ cos(, y)ds  cos(, x)ds] L x y u u 2 u 2 u   [ dy  dx]   [  ]d L x y x 2 y 2 D【解】 设 为圆周 沿逆时针方向，考虑线积分 L x 2  y 2  1 f f I   (x 2  y 2 )( dy  dx) x y L f f   dy  dx x y L 2 f 2 f   (  )d x 2 y 2 D f f I   (x 2  y 2 )( dy  dx) x y L f f  2 f 2 f   2  (x  y )d (x 2  y 2 )  d   x y x 2 y 2   D Dcos cos cos    【解1】用斯托克斯公式计算 I   ydx  zdy  xdz   dS  x y z  y z x 1 1  3  dS  (3) a 2   3a 2 3 3  【解2】化为平面线积分用格林公式 I   ydx  zdy  xdz   ydx  ( x  y)dy  x(dx  dy)  C 1   (( y  x)dx  (2x  y)dy   (2  1)dxdy  (3) a 2   3a 2 C 3 Dcos cos cos    I   xydx  z 2 dy  zxdz   dS  x y z  2 xy z zx   [2z cos z cos x cos]dS   x  y 1 cos , cos  , cos  , 2z 2z 2 y x y x I   [ 2x   ]dS   [ 2x   ] 2d   xd  a 3 2 2 2 2  D DF  x  y  z  3a  (x 2  y 2  z 2  2ax  2ay  2az  2a 2 ) F  0, F  0, F  0, F  0, x y z  1 , x  a  y  a  z  a   a (a  0). 3  (x  y  z  3a) 3 dS   (3a) 3 dS  27a 3  4a 2  108a 5  2z  y  0, n  {2x,2 y  z,2z  y}, n  k  0 (k  {0,0,1}),  x 2  y 2  z 2  yz  1, 2z  y  0,  z  2  z  2  2x  2  2 y  z  2 4  y 2  z 2  4 yz  1        1        ,  3 x 2  y 2  1.  x   y   y  2z   y  2z  | y  2z |   4 2 2 (x  3) | y  2z |  z   z  I   1       d x d y 4  y 2  z 2  4 yz  x   y  D  (x  3)d x d y  3  d x d y  2. D DI   xz d y d z  2zy d z d x  3xy d x d y   (z  2z  0)d x d y d z 1   1 1 1   3z d z  d x d y   6z(1  z)d z . 0 0 2 y x 2 1z 4 I   xz d y d z  2zy d z d x  3xy d x d y  3  xy d x d y  0, 2  y 2 1 x 2 1 4 I  I  I . 1 2xdydz  ydzdx  zdxdy  (x 2  y 2  z 2 ) 3/2 S 3 1 3(x 2  y 2  z 2 )2  3(x 2  y 2  z 2 )(x 2  y 2  z 2 )2   dV  0 (x 2  y 2  z 2 ) 3 V xdydz  ydzdx  zdxdy xdydz  ydzdx  zdxdy    (x 2  y 2  z 2 ) 3/2 (x 2  y 2  z 2 ) 3/2  S   xdydz  ydzdx  zdxdy S   (1  1  1)dv  4π. x 2 y 2z 213 3 1 0   ( yf  (x)  yf (x)  y sin x)d v, f  (x)  f (x)  sin x  0, f (x)  e x  e x  sin x, 4 4 2 V 1  [ yf  (x)  yz]dydz  y 2 f (x)dzdx  [zy sin x  y 2 ]dxdy    [ y sin x  y 2 ]d 2  x 2 y 21 2 1     (x 2  y 2 )d   . 2 4 x 2 y 21 y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy   y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy   1   y 3 dydz  x 3 dzdx  zf (x, y)dxdy  1   f (x, y)dv  0  2 2 2  f (x, y)dv   (2xy 2  x 2 )dv   f (x, y)dv    f (x, y)dv 3 15 3     2  f (x, y)dv  15  10  2 f ( x, y)  2xy 2  x 2  . 15  10x  1 y z x  1  z    0 0 x 2  y 2  x 2  y 2 , z  z  1 1 1  y  z 0 0 0 0 0 x 2  y 2  (1  z) 2  z 2  zdv 2  (2z 3  2z 2  z)dz 7 z    0  2  dv  (2z 2  2z  1)dz 5 0 Q P  4x(x 4  y 2 )  ( 1)  0,  1. x y 2xy d x  x 2 d y 2x  0 x 2 (x,y) x y u(x, y)     d x   d y  C (1,0) x 4  y 2 1 x 4  0 2 0 x 4  y 2 y   arctan  C. 2 x【解1】按题意，变力 F   yi  xj.  x  2  2cos, 3  圆弧 的参数方程是 AB     .  y  3  2sin, 4 4 W    y d x  x d y  AB      4 2(3  2sin)sin 2(2  2cos)cos d  2( 1). 3   4 2 1 1 I   (x 2  y 2 )dv   d d 3 dz  0 0  10  | (1,1,1) (x, y, z) | 2 1 d 2   [(z  y) 2  (x  z) 2  ( y  x) 2 ]. 3 3 1 2 π I   [(z  y) 2  (x  z) 2  ( y  x) 2 ]dv   (x 2  y 2  z 2 )dv  . 3 3 5  