(322)--周周清第二十五周（8.25-8.31）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 8.25-8.31
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
1.（数一二三）设函数 f(x)在[0,)上连续，且 f(0)0， f(0)1，曲线L 的极坐标
 a
方程为a([0,])，其中a0，记该曲线与所围成的区域为D ，求
a
 
a f x2 y2 dxdy
lim D a
a0 arcsina4  1a8 1 
2.（数一二三）已知函数 f(x)在 0, 上连续，且满足
 
 2

f  x  1sin2x  2 f  x  sinxdx
0
求函数 f(x)的表达式. 
3.曲线 ycosx(x[ , ]) 与 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积
2 2
S  _ ___ 1
4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B2, ，随机变量
1 2 3
 3
Y max  X ,X ,X ，则P  Y 1  ____.
1 2 35.（数一二三）在第一象限内，过曲线 上任一点作其切线，若切线与
2 2
3  +2   +3  = 
两坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 ，求 的值.
1
4 6.（数一二三）微分方程 满足 的特解为
d   − 
d  =  +   1 =07.（数一二三）设二次型 在正交变换下的标准形为 ，
2 2
且 ，其中 为  3  阶1,矩  2阵,  3，则=     =  ________. −2  1+8  2
−1
+  =       +2  =周周清 8.25-8.31
-by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧
1.（数一二三）设函数 f(x)在[0,)上连续，且 f(0)0， f(0)1，曲线L 的极坐标
 a
方程为a([0,])，其中a 0，记该曲线与所围成的区域为D ，求
a
 
a f x2  y2 dxdy
lim D a
a0 arcsina4  1a8 1
[知识点]：二重积分综合题
4
[解析]：答案：
12
 
在极坐标系下计算 f x2  y2 dxdy可得，
D
a
   a
 f x2  y2 dxdy  d f(r)rdr （1）
0 0
D
a
x
令F(x) tf(t)dt ，则由（1）式可得
0
   ua 1 a
 f x2  y2 dxdy  Fad  Fudu.
0 a 0
D
a
因此，
a
 Fudu
洛必达
Fa
原极限 lim 0  lim
a0 arcsina4  1a8 1 a0 4a3 1 8a7
 
1a8 2 1a8
a

Fa

Fa

 tf tdt
 lim  lim  lim 0
4 a0 a3 1a4 4 a0 a3 4 a0 a3
洛必达 2af a 3 f a f003 f a f 0
 lim  lim  lim 
4 a0 3a2 12 a0 a 12 a0 a0
4 4
 f0 .
12  12
[易错点]：函数的处理上需要灵活变化，并熟练使用洛必达法则和导数定义。 
2.（数一二三）已知函数 f(x)在 0, 上连续，且满足
 
 2

f x 1sin2x 2 f xsinxdx
0
求函数 f(x)的表达式.
[知识点]：定积分计算
1
[解析]：答案： f x 1sin2x 
4

注意定积分是个数，记A2 f xsinxdx，则 f x 1sin2x A.于是，
0
 
 
A2 f xsinxdx2 1sin2x A sinxdx
0 0
 
2sinx 1sin2xdxA2sinxdx
0 0

2sinx 1sin2xdxA
0
1 
由此可得，A 2sinx 1sin2xdx.
2 0
由于
1sin2x  sin2 xcos2 x2sinxcosx  sinxcosx2  sinxcosx
故
 
2sinx 1sin2xdx2sinx sinxcosx dx
0 0
 
4sinxcosxsinxdx2sinxsinxcosxdx

0
4

第二个积分中令t x  
2
 4sinxcosxsinxdx4cosxcosxsinxdx
0 0

   4  cos2 xsin2 x  dx   4cos2xdx sin2x 4  1 .
0 0 2 2
0
1 1
故A ，故 f x 1sin2x  .
4 4
[易错点]：看不出定积分的本质是一个常数，被绕进去就麻烦了。 
3.曲线y cosx(x[ , ])与x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积S  _
2 2
___
[知识点]：一元函数积分的几何应用
[解析]：答案：2[ln( 21) 2]
计算可得y sinx.由旋转体的侧面积公式可得
 对称性 
S 22 cosx 1sinx2 dx42 1sin2 xdsinx

 0
2
tsinx 1
4 1t2dt
0
令t  tanu，则
1    
 1t2dt 4sec3udu 4secudtanusecutanu 4 4tanusecutanudu
0 0 0 0 0
  
 24  sec2u1  secudu  24sec3udu4secudu
0 0 0
 
 24sec3udulnsecutanu 4
0 0

 
 24sec3uduln 21 .
0
1  1
由此可得， 1t2dt 4sec3udu  [ln( 21) 2]
0 0 2
因此，S 2[ln( 21) 2]
[易错点]：注意旋转体的侧面积，微元是ds 1
4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B  2, ，随机变量
1 2 3  3
Y maxX ,X ,X ，则PY 1 ____.
1 2 3
[知识点]：概率计算
448
[解析]：答案：
729
Y 为离散型随机变量，记Y 的分布函数为F (y)，则PY 1 F (1)F (0).由于
Y Y Y
 1
X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B  2, ，故
1 2 3  3
独立性
F (y) PY  y PX  y,X  y,X  yPX  yPX  yPX  y
Y 1 2 3 1 2 3
(PX  y)3
 1
下面分别计算PX 0与PX 1 .由于X ~ B  2, ，故
 3
2
 1 4
PX 0 PX 0C0

1


2  3 9
2
 1 1  1 4 4 8
PX 1 PX 0PX 1C0

1

C1 

1

   .
2  3 2 3  3 9 9 9
3 3
8 512 4 64
由此可得，F 1
 
 ,F 0
 
 .
Y 9 729 Y 9 729
512 64 448
因此，PY 1   .
729 729 729
[易错点]：注意独立性的应用和离散型随机变量概率的计算问题。5.（数一二三）在第一象限内，过曲线3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎上任一点作其切线，若切线与两
1
坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 ，求𝑎的值.
4
[知识点]：隐函数方程的切线方程
[解析]：答案：𝑎 =1.
设第一象限内，曲线上任一点为P(𝑥,𝑦).方程3𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²=𝑎两边同时对𝑥求导, 解
得
3𝑥+𝑦
𝑦′=−
𝑥+3𝑦
则过点P的切线方程为
3𝑥+𝑦
𝑌−𝑦 =− (𝑋−𝑥).
𝑥+3𝑦
切线与两个坐标轴的截距分别为
𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦
𝑥+ 𝑦，𝑦+ 𝑥.
3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦
已知3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎，则三角形的面积为
1 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 1 𝑎2
𝑆 = (𝑥+ 𝑦)(𝑦+ 𝑥)= ⋅
2 3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦 2 𝑎+8𝑥𝑦
由已知𝑎 > 0，只需求𝑥𝑦在条件3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦²=𝑎下的最大值.
令𝐿 =𝑥𝑦+𝜆(3𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²−𝑎)，则
𝐿 =𝑦+6𝜆𝑥+2𝜆𝑦=0，
𝑥
{𝐿 =𝑥+2𝜆𝑥+6𝜆𝑦=0，
𝑦
𝐿 =3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2−𝑎 =0.
𝜆
解上述方程组，得𝑥 =𝑦 =
√2𝑎
，故
4
1 𝑎2 1
𝑆 = ⋅ = ，
min
2 √2𝑎 √2𝑎 4
𝑎+8⋅ ⋅
4 4
解得𝑎 =1.
[易错点]：本题整体思路完全基于基础知识（隐函数切线、截距式、三角形面积公式），难
度不在概念而在运算。d𝑦 𝑦−𝑥
6.（数一二三）微分方程 = 满足𝑦(1)=0的特解为
d𝑥 𝑦+𝑥
[知识点]：一阶微分方程的解法
1 𝑦 2 𝑦
[解析]：答案： ln[( ) +1]+arctan +ln 𝑥 =0.
2 𝑥 𝑥
𝑦
d𝑦 −1
已知方程变形为 =𝑥 ，为一阶齐次微分方程.
d𝑥 𝑦 +1
𝑥
𝑦 d𝑦 d𝑢 d𝑢 𝑢−1
令 =𝑢，则 𝑦=𝑢𝑥， =𝑥 +𝑢，故𝑢+𝑥 = ，分离变量得
𝑥 d𝑥 d𝑥 d𝑥 𝑢+1
𝑢+1 d𝑥
d𝑢 =− .
𝑢2+1 𝑥
积分，得 1 ln(𝑢2+1)+arctan 𝑢 =−ln∣𝑥 ∣+𝐶.
2
1 𝑦 2 𝑦
由𝑦(1)=0，得𝐶 =0，故所求特解为 ln [( ) +1]+arctan +ln 𝑥 =0.
2 𝑥 𝑥
[易错点]：本题关键在于识别齐次微分方程并正确代换，计算中容易在𝑦=𝑢𝑥推导或代入初
值时出错。7.（数一二三）设二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=𝑋𝑇𝐴𝑋(𝐴𝑇 =𝐴)在正交变换下的标准形为−2𝑦2+8𝑦2，
1 2 3 1 2
且𝐸+𝐵 =𝐴𝐵，其中𝐵为3阶矩阵，则𝑡𝑟(𝐵−1+2𝐸)=________.
[知识点]：矩阵的二次型
[解析]：答案：9.
依题设，𝐴的特征值为−2，8，0.
由𝐸+𝐵 =𝐴𝐵，即𝐸 =(𝐴−𝐸)𝐵，得𝐵−1 =𝐴−𝐸，所以𝐵−1+2𝐸 =𝐴−𝐸+2𝐸 =𝐴+
𝐸.
而𝐴+𝐸的特征值为−2+1=−1，8+1=9，0+1=1，故𝑡𝑟(𝐵−1+2𝐸)=−1+9+
1=9.
[易错点]：简单题，注意善用基础概念。二次型标准形直接给出的是矩阵𝐴的特征值，后续
计算𝐵−1 =𝐴−𝐸、求迹时不要用错特征值或漏掉零特征值。记住一些结论：设 𝐴=(𝑎 ) ，
𝑖𝑗
𝑛×𝑛
其特征值为𝜆 ，𝜆 ，⋯，𝜆 ，则tr(𝐴)=∑𝑛 𝑎 =∑𝑛 𝜆 .
1 2 𝑛 𝑖=1 𝑖𝑖 𝑖=1 𝑖