(322)--周周清第二十五周（8.25-8.31）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 8.25-8.31 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数 f(x)在[0,)上连续，且 f(0)0， f(0)1，曲线L 的极坐标  a 方程为a([0,])，其中a0，记该曲线与所围成的区域为D ，求 a   a f x2 y2 dxdy lim D a a0 arcsina4  1a8 1  2.（数一二三）已知函数 f(x)在 0, 上连续，且满足    2  f  x  1sin2x  2 f  x  sinxdx 0 求函数 f(x)的表达式.  3.曲线 ycosx(x[ , ]) 与 x 轴所围区域绕 x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 2 2 S  _ ___ 1 4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B2, ，随机变量 1 2 3  3 Y max  X ,X ,X ，则P  Y 1  ____. 1 2 35.（数一二三）在第一象限内，过曲线 上任一点作其切线，若切线与 2 2 3 +2 +3 = 两坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 ，求 的值. 1 4 6.（数一二三）微分方程 满足 的特解为 d − d = + 1 =07.（数一二三）设二次型 在正交变换下的标准形为 ， 2 2 且 ，其中 为 3 阶1,矩 2阵, 3，则= = ________. −2 1+8 2 −1 + = +2 =周周清 8.25-8.31 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设函数 f(x)在[0,)上连续，且 f(0)0， f(0)1，曲线L 的极坐标  a 方程为a([0,])，其中a 0，记该曲线与所围成的区域为D ，求 a   a f x2  y2 dxdy lim D a a0 arcsina4  1a8 1 [知识点]：二重积分综合题 4 [解析]：答案： 12   在极坐标系下计算 f x2  y2 dxdy可得， D a    a  f x2  y2 dxdy  d f(r)rdr （1） 0 0 D a x 令F(x) tf(t)dt ，则由（1）式可得 0    ua 1 a  f x2  y2 dxdy  Fad  Fudu. 0 a 0 D a 因此， a  Fudu 洛必达 Fa 原极限 lim 0  lim a0 arcsina4  1a8 1 a0 4a3 1 8a7   1a8 2 1a8 a  Fa  Fa   tf tdt  lim  lim  lim 0 4 a0 a3 1a4 4 a0 a3 4 a0 a3 洛必达 2af a 3 f a f003 f a f 0  lim  lim  lim  4 a0 3a2 12 a0 a 12 a0 a0 4 4  f0 . 12  12 [易错点]：函数的处理上需要灵活变化，并熟练使用洛必达法则和导数定义。  2.（数一二三）已知函数 f(x)在 0, 上连续，且满足    2  f x 1sin2x 2 f xsinxdx 0 求函数 f(x)的表达式. [知识点]：定积分计算 1 [解析]：答案： f x 1sin2x  4  注意定积分是个数，记A2 f xsinxdx，则 f x 1sin2x A.于是， 0     A2 f xsinxdx2 1sin2x A sinxdx 0 0   2sinx 1sin2xdxA2sinxdx 0 0  2sinx 1sin2xdxA 0 1  由此可得，A 2sinx 1sin2xdx. 2 0 由于 1sin2x  sin2 xcos2 x2sinxcosx  sinxcosx2  sinxcosx 故   2sinx 1sin2xdx2sinx sinxcosx dx 0 0   4sinxcosxsinxdx2sinxsinxcosxdx  0 4  第二个积分中令t x   2  4sinxcosxsinxdx4cosxcosxsinxdx 0 0     4  cos2 xsin2 x  dx   4cos2xdx sin2x 4  1 . 0 0 2 2 0 1 1 故A ，故 f x 1sin2x  . 4 4 [易错点]：看不出定积分的本质是一个常数，被绕进去就麻烦了。  3.曲线y cosx(x[ , ])与x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的侧面积S  _ 2 2 ___ [知识点]：一元函数积分的几何应用 [解析]：答案：2[ln( 21) 2] 计算可得y sinx.由旋转体的侧面积公式可得  对称性  S 22 cosx 1sinx2 dx42 1sin2 xdsinx   0 2 tsinx 1 4 1t2dt 0 令t  tanu，则 1      1t2dt 4sec3udu 4secudtanusecutanu 4 4tanusecutanudu 0 0 0 0 0     24  sec2u1  secudu  24sec3udu4secudu 0 0 0    24sec3udulnsecutanu 4 0 0     24sec3uduln 21 . 0 1  1 由此可得， 1t2dt 4sec3udu  [ln( 21) 2] 0 0 2 因此，S 2[ln( 21) 2] [易错点]：注意旋转体的侧面积，微元是ds 1 4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B  2, ，随机变量 1 2 3  3 Y maxX ,X ,X ，则PY 1 ____. 1 2 3 [知识点]：概率计算 448 [解析]：答案： 729 Y 为离散型随机变量，记Y 的分布函数为F (y)，则PY 1 F (1)F (0).由于 Y Y Y  1 X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B  2, ，故 1 2 3  3 独立性 F (y) PY  y PX  y,X  y,X  yPX  yPX  yPX  y Y 1 2 3 1 2 3 (PX  y)3  1 下面分别计算PX 0与PX 1 .由于X ~ B  2, ，故  3 2  1 4 PX 0 PX 0C0  1   2  3 9 2  1 1  1 4 4 8 PX 1 PX 0PX 1C0  1  C1   1     . 2  3 2 3  3 9 9 9 3 3 8 512 4 64 由此可得，F 1    ,F 0    . Y 9 729 Y 9 729 512 64 448 因此，PY 1   . 729 729 729 [易错点]：注意独立性的应用和离散型随机变量概率的计算问题。5.（数一二三）在第一象限内，过曲线3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎上任一点作其切线，若切线与两 1 坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 ，求𝑎的值. 4 [知识点]：隐函数方程的切线方程 [解析]：答案：𝑎 =1. 设第一象限内，曲线上任一点为P(𝑥,𝑦).方程3𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²=𝑎两边同时对𝑥求导, 解 得 3𝑥+𝑦 𝑦′=− 𝑥+3𝑦 则过点P的切线方程为 3𝑥+𝑦 𝑌−𝑦 =− (𝑋−𝑥). 𝑥+3𝑦 切线与两个坐标轴的截距分别为 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 𝑥+ 𝑦，𝑦+ 𝑥. 3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦 已知3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2 =𝑎，则三角形的面积为 1 𝑥+3𝑦 3𝑥+𝑦 1 𝑎2 𝑆 = (𝑥+ 𝑦)(𝑦+ 𝑥)= ⋅ 2 3𝑥+𝑦 𝑥+3𝑦 2 𝑎+8𝑥𝑦 由已知𝑎 > 0，只需求𝑥𝑦在条件3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦²=𝑎下的最大值. 令𝐿 =𝑥𝑦+𝜆(3𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²−𝑎)，则 𝐿 =𝑦+6𝜆𝑥+2𝜆𝑦=0， 𝑥 {𝐿 =𝑥+2𝜆𝑥+6𝜆𝑦=0， 𝑦 𝐿 =3𝑥2+2𝑥𝑦+3𝑦2−𝑎 =0. 𝜆 解上述方程组，得𝑥 =𝑦 = √2𝑎 ，故 4 1 𝑎2 1 𝑆 = ⋅ = ， min 2 √2𝑎 √2𝑎 4 𝑎+8⋅ ⋅ 4 4 解得𝑎 =1. [易错点]：本题整体思路完全基于基础知识（隐函数切线、截距式、三角形面积公式），难 度不在概念而在运算。d𝑦 𝑦−𝑥 6.（数一二三）微分方程 = 满足𝑦(1)=0的特解为 d𝑥 𝑦+𝑥 [知识点]：一阶微分方程的解法 1 𝑦 2 𝑦 [解析]：答案： ln[( ) +1]+arctan +ln 𝑥 =0. 2 𝑥 𝑥 𝑦 d𝑦 −1 已知方程变形为 =𝑥 ，为一阶齐次微分方程. d𝑥 𝑦 +1 𝑥 𝑦 d𝑦 d𝑢 d𝑢 𝑢−1 令 =𝑢，则 𝑦=𝑢𝑥， =𝑥 +𝑢，故𝑢+𝑥 = ，分离变量得 𝑥 d𝑥 d𝑥 d𝑥 𝑢+1 𝑢+1 d𝑥 d𝑢 =− . 𝑢2+1 𝑥 积分，得 1 ln(𝑢2+1)+arctan 𝑢 =−ln∣𝑥 ∣+𝐶. 2 1 𝑦 2 𝑦 由𝑦(1)=0，得𝐶 =0，故所求特解为 ln [( ) +1]+arctan +ln 𝑥 =0. 2 𝑥 𝑥 [易错点]：本题关键在于识别齐次微分方程并正确代换，计算中容易在𝑦=𝑢𝑥推导或代入初 值时出错。7.（数一二三）设二次型𝑓(𝑥 ,𝑥 ,𝑥 )=𝑋𝑇𝐴𝑋(𝐴𝑇 =𝐴)在正交变换下的标准形为−2𝑦2+8𝑦2， 1 2 3 1 2 且𝐸+𝐵 =𝐴𝐵，其中𝐵为3阶矩阵，则𝑡𝑟(𝐵−1+2𝐸)=________. [知识点]：矩阵的二次型 [解析]：答案：9. 依题设，𝐴的特征值为−2，8，0. 由𝐸+𝐵 =𝐴𝐵，即𝐸 =(𝐴−𝐸)𝐵，得𝐵−1 =𝐴−𝐸，所以𝐵−1+2𝐸 =𝐴−𝐸+2𝐸 =𝐴+ 𝐸. 而𝐴+𝐸的特征值为−2+1=−1，8+1=9，0+1=1，故𝑡𝑟(𝐵−1+2𝐸)=−1+9+ 1=9. [易错点]：简单题，注意善用基础概念。二次型标准形直接给出的是矩阵𝐴的特征值，后续 计算𝐵−1 =𝐴−𝐸、求迹时不要用错特征值或漏掉零特征值。记住一些结论：设 𝐴=(𝑎 ) ， 𝑖𝑗 𝑛×𝑛 其特征值为𝜆 ，𝜆 ，⋯，𝜆 ，则tr(𝐴)=∑𝑛 𝑎 =∑𝑛 𝜆 . 1 2 𝑛 𝑖=1 𝑖𝑖 𝑖=1 𝑖