(326)--周周清第二十七周（9.8-9.14）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 9.8-9.14 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧  1 1.（数一二三）设函数 f(x,y)连续，则二次积分 dx f(x,y)dy交换积分次序可变为  sinx 2 ____.   2.（数一二三）曲线L的极坐标方程为r ，则L在点(r,)  ,  处的切线的直角  2 2 坐标方程为____ . 3.（数一二三）设函数 f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y) yeydxx(1 y)eydy， f(0,0)0，则 f(x,y) ____. a  4.（数一）设函数 f(x)a|x|( x)的余弦级数展开公式为 0 a cosnx，若 2 n n1  a 1，则当n1时，a  ____. n 2n1 n1 5.（数一二三）设 是由曲线 与 轴所围成的有界区域, 计算 + + =1 = . ​ 2 1+ − + 6.（数一二三）微分方程 满足 的特解为 ______. 3 7.（数一二三）设向量组 ″− =sin 0 =0, ' 0 =2 , 则既可由 线性表示, 又可 由 1 = 1,1线,2性表, 示2 =的非2,零3,3列向; 量 为 1 _=__2__,3_,5_. , 2 = −1,0,1 周周清 9.8-9.14 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧  1 1.（数一二三）设函数 f (x,y)连续，则二次积分 dx f (x,y)dy交换积分次序可变为  sinx 2 ____ . [知识点]：二重积分定限；反三角函数 1  [解析]：答案： dy f (x,y)dx 0 −arcsiny  1 二次积分 dx f (x,y)dy对应的二重积分的积分区域为  sinx 2    D = (x,y) sinx  y 1,  x   2  如图所示，D为图（a）中的竖线阴影部分，由y =sin x，y =1以及x =所围成，为 X 型区域. 将其改写为Y 型区域.考虑图（b）中的横线阴影，每一条横线的右端点的横坐标都是，      左端点位于曲线 y =sin x 上且 x , ，但 arcsin y 的值域为 − , ，而     2   2 2   −x 0, ，从而利用sinx =sin(−x)可得，arcsin y =− x，即x =−arcsin y.    2 又由于0 y 1，故D写成Y 型区域为 D =(x,y)−arcsin y  x,0 y 1  1 1  则二次积分 dx f (x,y)dy交换积分次序可变为 dy f (x,y)dx.  sinx 0 −arcsiny 2 [易错点]：注意反三角函数的求解时不能随意求，需要考虑值域。  2.（数一二三）曲线L的极坐标方程为r =，则L在点(r,)=  ,  处的切线的直角坐  2 2  标方程为____ . [知识点]：参数方程求导 2  [解析]：答案： x+ y− = 0  2 x = rcos x =cos 由 ，以及r =得， ，于是，直接根据参数方程确定的函数的 y = rsin y =sin 求导公式， dy dy dx sin+cos = / = dx d d cos−sin dy 1+0 2 于是， = = − dx    = 0− 2 2     由坐标变换公式得，极坐标下的点 , 对应直角坐标下的点 0, .因此，所求切      2 2   2   2 2  线的点斜式方程为y− = − (x−0)，即 x+ y− = 0. 2   2 [易错点]：注意极坐标本身就可以看做一个参数方程，并注意点的极直互化。3.（数一二三）设函数 f (x,y)具有一阶连续偏导数，且df (x,y) = yeydx+ x(1+ y)eydy ， f (0,0) =0，则 f (x,y) = ____. [知识点]：多元函数积分 [解析]：答案：xyey 由于 df (x,y) = yeydx+ x(1+ y)eydy 故 f(x,y)= yex, f(x,y)= x(1+ y)ey x y 对 f(x,y)关于x积分，得 x f (x,y)=  f(x,y)dx =  yeydx = xyey +(y) x 其中(y)为关于y 的一元函数 对xyey +(y)关于y 求偏导数，得  xyey +(y) = xey + xyey +(y)= x(1+ y)ey +(y)   y 与 f(x,y)比较可得，(y)=0，故(y)C y 代入x =0,y =0可得 f (0,0) =0+C，解得C =0 因此， f (x,y) = xyey. [易错点]：注意多元函数在积分的时候，另一个字母仍看做常数，要加上这个字母的函数。a  4.（数一）设函数 f (x)= a|x|(− x )的余弦级数展开公式为 0 +a cosnx，若 2 n n=1  a =1，则当n1时，a = ____. n 2n−1 n=1 [知识点]：傅里叶级数 8 [解析]：答案： (2n−1)22 根据余弦级数的系数计算公式，  1  1  2a  2a x2 2a 2 a =  f (x)dx =  a|x|dx =  xdx = =  = a 0  −  −  0  2  2 0 当n1时， 1  2a  2a 1  a =  f (x)cosnxdx =  xcosnxdx =   xd(sinnx) n  −  0  n 0 2a (   ) 2a  2a  (−1)n −1  = xsinnx − sinnxdx = cosnx = . n 0 0 n2 0 n2 −4a 当n为偶数时，a = 0；当n为奇数时，a = n n n2 由于x =0是 f (x)的连续点，故由狄利克雷收敛定理可得 a  a 0= f (0)= +a = +1 2 n 2 n=1 2 8 从而，a = − ，因此，当n1时，a = .  2n−1 (2n−1)22 [易错点]：傅里叶级数这一块的公式要熟练，属于边角知识点，不要大意。5.（数一二三）设 𝐷 是由曲线 |𝑥|𝑦+|𝑥|+𝑦=1 与 𝑥 轴所围成的有界区域, 计算 𝐼 =∬ 𝐷 [2𝑙𝑛(1+𝑦)−𝑦+𝑥]𝑑𝑥𝑑𝑦. [知识点]：积分区域对称性和被积函数奇偶性简化二重积分，结合积分次序选择与凑微分法 计算积分。 [解析]：以−𝑥代替𝑥，方程 ∣𝑥 ∣𝑦+∣𝑥 ∣+𝑦=1 不变，可知曲线关于 𝑦 轴对称. 1−𝑥 2 当𝑥 ≥0时，由𝑥𝑦+𝑥+𝑦=1，得𝑦 = ，即𝑦+1= ，它是以𝑥 = 1+𝑥 1+𝑥 −1，𝑦=−1为渐近 线的双曲线. 𝐷如图阴影部分所示. 𝐼 =∬[2ln(1+𝑦)−𝑦+𝑥] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷 记 =∬[2ln(1+𝑦)−𝑦] 𝑑𝑥 𝑑𝑦+∬𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦=𝐼 +𝐼 。 1 2 𝐷 𝐷 对于𝐼 ，是关于𝑥的奇函数，因此𝐼 =0。 2 2 对于𝐼 ，函数2ln(1+𝑦)−𝑦可以表示为[2ln(1+𝑦)−𝑦]𝑥0，这是一个关于𝑥的偶函数，因此 1 𝐼 =2∬ [2ln(1+𝑦)−𝑦] 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 1 𝐷1 其中𝐷 是区域𝐷在第一象限的部分。 1 1−𝑦 考虑到被积函数的特性，先对𝑥积分，后对𝑦积分，由𝑥𝑦+𝑥+𝑦 =1,知𝑥 = ，则 1+𝑦 1−𝑦 1 1+𝑦 1 1−𝑦 𝐼 =2∫ [2ln (1+𝑦)−𝑦]d𝑦∫ d𝑥 =2∫ [2ln (1+𝑦)−𝑦]· d𝑦. 1 1+𝑦 0 0 0 注意到[2ln (1+𝑦)−𝑦]′ = 2 −1= 1−𝑦 ， 1+𝑦 1+𝑦 故 1 𝐼 =2∫ [2ln (1+𝑦)−𝑦]d[2ln (1+𝑦)−𝑦] 1 0 1 =2× [2ln (1+𝑦)−𝑦]2|1 =(2ln 2−1)2. 2 0 =(2ln 2−1)2 综上所述，𝐼 =𝐼 +𝐼 =(2ln2−1)2. 1 2 [易错点]：判断被积函数奇偶性失误，积分次序选择不当导致计算复杂，凑微分时导数计算 错误，影响积分结果。3 6.（数一二三）微分方程 𝑦″−𝑦 =sin𝑥 满足 𝑦(0)=0,𝑦′(0)= 的特解为 ______. 2 [知识点]：求解二阶常系数非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程通解，再找非齐次方 程特解，最后结合初始条件确定通解中的常数得特解。 [解析]：答案：𝑦 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥− 1 sin𝑥. 2 特征方程为𝑟2−1=0，𝑟 =±1. 又𝑠𝑖𝑛𝑥 =𝑒0𝑥⋅𝑠𝑖𝑛𝑥，0±𝑖不是特征根，故令原方程 的特解为 𝑦∗ =𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥, 则 (𝑦∗)′ =𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥，(𝑦∗)″=−𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥， 代入原方程,得 −𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥−(𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥， 即 −2𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥， 比较𝑠𝑖𝑛𝑥与𝑐𝑜𝑠𝑥的两边系数,得 1 −2𝑎=1，−2𝑏 =0，即𝑎 =− ，𝑏 =0， 2 所以原方程的通解为 𝑦 =𝐶 𝑒𝑥+𝐶 𝑒−𝑥− 1 𝑠𝑖𝑛𝑥. 1 2 2 3 由𝑦(0)=0，𝑦′(0)= ，得𝐶 +𝐶 =0，𝐶 −𝐶 =2，解得 1 2 1 2 2 𝐶 =1，𝐶 =−1, 1 2 所以特解为𝑦=𝑒𝑥−𝑒−𝑥− 1 𝑠𝑖𝑛𝑥. 2 [易错点]：求特解时设解形式出错，代入方程计算系数失误，或利用初始条件求解常数时计 算错误。7.（数一二三）设向量组 (𝐼)𝛼 =(1,1,2)𝑇,𝛼 =(2,3,3)𝑇;(𝐼𝐼)𝛽 =(2,3,5)𝑇,𝛽 =(−1,0,1)𝑇 , 1 2 1 2 则既可由 (𝐼) 线性表示, 又可由 (𝐼𝐼) 线性表示的非零列向量为 _______. [知识点]：构造向量组合等式，对由两个向量组构成的矩阵作初等行变换。 [解析]：答案：𝑘(5,6,9)𝑇 (𝑘 ≠0) 设所求向量为 𝛾 =𝑥 𝛼 +𝑥 𝛼 =−𝑦 𝛽 −𝑦 𝛽 ， 1 1 2 2 1 1 2 2 𝑥 𝛼 +𝑥 𝛼 +𝑦 𝛽 +𝑦 𝛽 =0. 1 1 2 2 1 1 2 2 对 (𝛼 ,𝛼 ,𝛽 ,𝛽 ) 作初等行变换化为最简阶梯形, 有 1 2 1 2 1 2 2 −1 1 2 2 −1 (𝛼 ,𝛼 ,𝛽 ,𝛽 )=(1 3 3 0 )→(0 1 1 1 ) 1 2 1 2 2 3 5 1 0 −1 1 3 1 2 2 −1 1 0 0 −3 →(0 1 1 1 )→(0 1 0 −1). 0 0 2 4 0 0 1 2 令 𝑦 =𝑘(𝑘 ≠0)，则 2 𝑦 =−2𝑘，𝑥 =𝑘，𝑥 =3𝑘. 1 2 1 故 𝛾 =𝑥 𝛼 +𝑥 𝛼 =𝑘(5,6,9)𝑇(𝑘 ≠0). 1 1 2 2 [易错点]：构造向量组合等式时逻辑混乱，矩阵初等行变换计算错误，或对自由变量取值及 最终向量表示把握不准，导致结果错误。