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2013 年南京中考数学试题
一、选择题（本大题共有6小题，共12分，每小题2分．）
1.计算12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是
A．-24 B．-20 C．6 D．36
1
2.计算a3·（ )2的结果是
a
A．a B．a5 C．a6 D．a9
3．设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的
一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根。其中，所有正确说法的序号是
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
4.如图，⊙O 、⊙O 的圆心O 、O 在直线l上，⊙O 的半径为2cm，⊙O 的半径为3cm，O O =8cm。⊙O
1 2 1 2 1 2 1 2 1
以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动。再此过程中，⊙O 与⊙O 没有出现的位置关系是
1 2
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
l
O O
1 2
5.在同一直角坐 标系中，若正比例函数 y=k x的图像
第4题 1
k
与 反 比 例 函 数 y 2 的图像没有公共点，则
x
A．k + k ＜0 B．k + k ＞0 C．k k ＜0 D．k k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几
何体的表面展开图的是
第6题
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共有10小题，共20分，每小题2分．）
7.-3的相反数是 ；-3的倒数是 .
3 1
8.计算 的结果是 .
2 2
1 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
1
9.使式子1 有意义的x的取值范围是 .
x1
10.第二节亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年
志愿者提供服务，将13000用科学计数法表示为 .
11.如图将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到AB’C’D’的位置，旋转角α（0°＜α＜90°）.若
∠1=110°，则∠α= °.
A D A
E F
D'
B D
O
B' B
C
1
C
第11题 C' 第12题
12. 如图，将菱形纸片
ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF.若菱形 ABCD 的边长为 2cm，
∠A=120°，则EF= cm .
13.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为
70°，则该正多边形的边数为 .
14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 .
15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点P，已知A（2,3），B(1,1),
D(4,3),则点P的坐标为（ ， ）.
x
x+1
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
16.计算1 1 的结果是
2 3 4 52 3 4 5 6 2 3 4 5 62 3 4 5
.
三、解答题（本大题共有11小题，共88分．）
1 b a 2x 1
17.（6分）化简 . 18.（6分）解方程 1
ab a2 b2 ab x2 2x
19.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作
PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.
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1+x
x
y
A D
P
B C
O x
第14题 第15题最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方 A 形.
M
P
B D
N
C
20.（8分）
(1)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同，求下列
事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都
是是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的.如果小明从每道题
的4个选项中随机的选择一个，那么他6道选择题全部选正确的概率是（ ）
A．1 B．1 6 C． 1 6 D． 3 6
1 1
4 4 4 4
21（. 9分）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式， 该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 15 0
名学生进行抽样调查，整理样本数据，得到下列图表：
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（1）理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？
请说明理由；
（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图：
某校2000名学生上学方式条形统计图
人数
700
600
500
400
300
200
100
0
步行 骑车 乘公共 乘私 其它 上学方式
交通工具 家车
（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生数约占全校
的34%，建议学生合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：
.
22（. 8分）已知不等臂跷跷板AB长4m，如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如
图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度
OH.（用含α、β的式子表示）
B
A
O
O
A α β B
H H
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① ②最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
23（. 8分）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一
定金额后，按下表获得相应返回金额.
消费金额 300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 ···
（元）
返还金额 30 60 100 130 150 ···
（元）
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，若购买标价为400元的商品，则消费
金额为320元，获得的优惠额为400×(1-80%)+30=110（元）
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至
少为多少元？
24（. 8分）小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第xmin时的速度为ykm/h，图中折线表示她在整个驾车过
程中第y与 x 之间的函数关系.
（1）小丽驾车的最高速度是 km/h;
(2)当20≤x≤30时，求y与 x 之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min时的速度；
（3）如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀
增加（或减少），那么其在某个时间段
y 内的平均速度为该时间段开始时刻
(km/h) 的速度与结束时刻的速度的平均数。
例如，由图像可知，第5min到第
7 10min汽车的速度随着时间均匀增
2 加，因此汽车在该时间段内的平均速
B C
度为=36（km/h）。该时间段行驶的
E F
4 路程为=3（km）
8
2 D
A
4
G
10 20 30 40 50 x(min)
O
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25（. 8分）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接
AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D，连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且
∠BCP=∠ACD .
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； A
（2）若AB=9，BC=6，求PC 的长.
O D
B
M
P C
26.（9分）已知二次函数y a(xm)2 a(xm)（a、m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.
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27.（10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同，那么称这两个三角形互为
顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。
例如，
如图①，△ABC∽△A‘B‘C‘，且沿周界 ABCA 与 A‘B‘C‘A‘环绕的方向相同，因此△ABC 与
△A‘B‘C‘互为顺相似；
如图②△ABC∽△A‘B‘C‘，且沿周界 ABCA 与 A‘B‘C‘A‘环绕的方向相反，因此△ABC 与
△A‘B‘C‘互为逆相似；
A A
A A
‘ ‘
B CB C B C C B
‘ ‘ ‘ ‘
① ②
（1）根据图Ⅰ、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC;②△GHO与
△KFO③△NQP与△NMQ.其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。（填写所有
符合要求的序号）
A
H G M
O P
D E
B C
图Ⅰ K F Q N
图Ⅱ 图Ⅲ
条件：DE∥ BC (2)如图③
条件：GH∥ KF 条件：NQP=M
在 锐 角
△ABC 中
∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与A、B、C重合）过点P画直
线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似，请根据点P的
C
不同位置，探究过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，
不必说明理由。
A B
③
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2013 年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请
将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2013•南京）计算：12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣24 B．﹣20 C．6 D．36
考点： 有理数的混合运算．
430103
专题： 计算题．
分析： 根据运算顺序先计算乘除运算，最后算加减运算，即可得到结果．
解答： 解：原式=12+28﹣4=36．
故选D
点评： 此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号
先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时利用利用运算律来简
化运算．
2．（2分）（2013•南京）计算a3•（ ）2的结果是（ ）
A．a B．a3 C．a6 D．a9
考点： 分式的乘除法．
430103
专题： 计算题．
分析： 先算出分式的乘方，再约分．
解答：
解：原式=a3•
=a，
故选A．
点评： 本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法
则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
3．（2分）（2013•南京）设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴
上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
考点： 估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．
430103
分析： 先利用勾股定理求出a=3 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数
大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．
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解答： 解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，
∴a= = =3 ．
①a=3 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16＜18＜25，4＜ ＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确．
所以说法正确的有①②④．
故选C．
点评： 本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，
有一定的综合性．
4．（2分）（2013•南京）如图，⊙O ，⊙O 的圆心在直线l上，⊙O 的半径为2cm，⊙O 的半径为3cm．O O =8cm，⊙O
1 2 1 2 1 2 1
以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O 和⊙O 没有出现的位置关系是（ ）
1 2
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
考点： 圆与圆的位置关系．
430103
分析： 根据两圆的半径和移动的速度确定两圆的圆心距的最小值，从而确定两圆可能出现的位置关系，找到答案．
解答： 解：∵O O =8cm，⊙O 以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
1 2 1
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，
此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，
∴此时内切，
∴移动过程中没有内含这种位置关系，
故选D．
点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距，然后根据圆心距和两圆
的半径确定答案．
5．（2分）（2013•南京）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点，则（
1
）
A．k +k ＜0 B．k +k ＞0 C．k k ＜0 D．k k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
430103
专题： 压轴题；探究型．
分析： 根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．
解答：
解：∵正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点，
1
∴k 与k 异号，即k •k ＜0．
1 2 1 2
故选C．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答
此题的关键．
6．（2分）（2013•南京）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是
该几何体的表面展开图的是（ ）
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A． B． C． D．
考点： 几何体的展开图．
430103
专题： 压轴题．
分析： 由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
解答： 解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选B．
点评： 本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意做题时可
亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）（2013•南京）﹣3的相反数是 3 ；﹣3的倒数是 ﹣ ．
考点： 倒数；相反数．
430103
分析： 根据倒数以及相反数的定义即可求解．
解答：
解：﹣3的相反数是3；﹣3的倒数是﹣ ．
故答案是：3，﹣ ．
点评： 主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
8．（2分）（2013•南京）计算： 的结果是 ．
考点： 二次根式的加减法．
430103
分析： 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
解答：
解：原式= ﹣ = ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
9．（2分）（2013•南京）使式子1+ 有意义的x的取值范围是 x≠ 1 ．
考点： 分式有意义的条件．
430103
分析： 分式有意义，分母不等于零．
解答：
解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+ 有意义．
故填：x≠1．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
10．（2分）（2013•南京）第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青
少年志愿者提供服务．将13000用科学记数法表示为 1.3×1 0 4 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
430103
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数
点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1
时，n是负数．
解答： 解：13000=1.3×104．
故答案是：1.3×104．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时
关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（2分）（2013•南京）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若
∠1=110°，则∠α= 20 ° ．
考点： 旋转的性质．
430103
专题： 计算题．
分析： 根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到
∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解答： 解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，
∴∠4=90°﹣70°=20°，
∴∠α=20°．
故答案为20°．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．
12．（2分）（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形
ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．
11 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
考点： 菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
430103
分析： 根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，
EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
解答：
解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO= AB= ×2=1，
由勾股定理得：BO=DO= ，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF= BD= （ + ）= ，
故答案为： ．
点评： 本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识
点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
13．（2分）（2013•南京）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个
内角为70°，则该正多边形的边数为 9 ．
考点： 正多边形和圆．
430103
分析： 分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．
解答： 解：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；
当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
故答案是：9．
点评： 此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．
14．（2分）（2013•南京）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： （ x+ 1 ） 2 =2 5 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
430103
专题： 几何图形问题．
分析： 此图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．
解答： 解：根据题意得：（x+1）2﹣1=24，
即：（x+1）2=25．
故答案为：（x+1）2=25．
12 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题目中的不规则图形的面积计算方法．
15．（2分）（2013•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，
3），则点P的坐标为（ 3 ， ）．
考点： 等腰梯形的性质；两条直线相交或平行问题．
430103
专题： 压轴题．
分析： 过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，根据点的坐标求出各个线段的长，根据
△APD∽△CPB和△CPF∽△CAN得出比例式，即可求出答案．
解答：
解：过A作AM⊥x轴与M，交BC于N，过P作PE⊥x轴与E，交BC于F，
∵AD∥BC，A（2，3），B（1，1），D（4，3），
∴AD∥BC∥x轴，AM=3，MN=EF=1，AN=3﹣1=2，AD=4﹣2=2，BN=2﹣1=1，
∴C的坐标是（5，1），BC=5﹣1=4，CN=4﹣1=3，
∵AD∥BC，
∴△APD∽△CPB，
∴ = = = ，
∴ =
∵AM⊥x轴，PE⊥x轴，
∴AN∥PF，
∴△CPF∽△CAN，
∴ = = = ，
∵AN=2，CN=3，
∴PF= ，PE= +1= ，CF=2，BF=2，
∴P的坐标是（3， ），
故答案为：3， ．
点评： 本题考查了坐标与图形性质，梯形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要是考查学生综合运用知识
进行计算的能力．
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16．（2分）（2013•南京）计算（1﹣ ）（ ）﹣（1﹣ ﹣ ）（ ）的结
果是 ．
考点： 整式的混合运算．
430103
专题： 压轴题；换元法．
分析：
设a=1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ，b= + + + ，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．
解答：
解：设a=1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ，b= + + + ，
则原式=a（b+ ）﹣（a﹣ ）•b
=ab+ a﹣ab+ b
= （a+b），
∵a+b=1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ + + + + =1，
∴原式= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了整式的混合运算，利用换元法可以使书写更简便且形象直观．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2013•南京）化简（ ）÷ ．
考点： 分式的混合运算．
430103
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除
法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
解答：
解：原式= • = • = ．
点评： 此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关
键是约分，约分的关键是找公因式．
18．（6分）（2013•南京）解方程： =1﹣ ．
考点： 解分式方程．
430103
专题： 计算题．
分析： 分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：2x=x﹣2+1，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式
方程一定注意要验根．
19．（8分）（2013•南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作
PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
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（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
430103
专题： 证明题．
分析： （1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：
∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明
四边形MPND是正方形．
解答： 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，对角线BD平分∠ABC，
∴∠PMD=∠PND=90°，PM=PN，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形MPND是正方形．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键
是熟记各种几何图形的性质和判定．
20．（8分）（2013•南京）（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个．这些球除颜色外都相同．
求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的．如果小明从每道题的4个选项中随
机地选择1个，那么他6道选择题全部正确的概率是 B ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣ ．
考点： 列表法与树状图法；概率公式．
430103
专题： 计算题．
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分析： （1）①搅匀后从4个球中任意摸出1个球，求出恰好是红球的概率即可；
②列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率；
（2）求出每一道题选择正确的概率，利用乘法法则即可求出全部正确的概率．
解答：
解：（1）①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为 ；
②列表如下：
红 黄 蓝 绿
红 （红，红） （黄，红） （蓝，红） （绿，红）
黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） （绿，黄）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） （绿，蓝）
绿 （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况数有16种，其中两次都为红球的情况数有1种，
则P= ；
（2）每道题所给出的4个选项中，恰有一个是正确的概率为 ，
则他6道选择题全部正确的概率是（ ）6．
故选B．
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）（2013•南京）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式， 该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 15 0
名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：
（1）理解划线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；
（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；
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（3）该校数学兴趣小组结合调查获取信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生约占全校的34%，建议学校
合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化的建议： 为了节约和保护环境请同学们
尽量不要乘坐私家车（答案不唯一） ．
考点： 频数（率）分布表；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
430103
分析： （1）根据抽样调查必须具有随机性，分析得出即可；
（2）根据扇形统计图分别求出各种乘车的人数，进而画出条形图即可．
（3）利用节能减排角度分析得出答案即可．
解答： 解：（1）不合理，
因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样抽取的学生不具有随机性，比较片面，所以这样的抽样不
合理；
（2）步行人数为：2000×10%=200（人），骑车的人数为：2000×34%=680（人），
乘公共汽车人数为：2000×30%=600（人），乘私家车的人数为：2000×20%=400（人），
乘其它交通工具得人数为：2000×6%=120（人），如图所示：
；
（3）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．
点评： 此题主要考查了扇形图与条形图的综合应用以及抽样调查的随机性，根据扇形图得出各部分所占比例是解
题关键．
22．（8分）（2013•南京）已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面上时，AB与地面的夹角为α；
如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β．求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH．（用含
α，β的式子表示）
考点： 解直角三角形的应用．
430103
分析： 根据三角函数的知识分别用OH表示出AO，BO的长，再根据不等臂跷跷板AB长4m，即可列出方程求解即
可．
解答： 解：依题意有：AO=OH÷sinα，BO=OH÷sinβ，
AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷4+OH÷sinβ=4m，
则OH= m．
故跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是 （m）．
点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
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23．（8分）（2013•南京）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定
金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额（元）300﹣400 400﹣500 500﹣600 600﹣700 700﹣900 …
返还金额（元）30 60 100 130 150 …
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：若够买标价为400元的商品，则消费金额为320元，
获得的优惠额为400×（1﹣80%）+30=110（元）．
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，那么该商品的标记至少为多少元？
考点： 一元一次不等式组的应用．
430103
分析： （1）根据标价为1000元的商品按80%的价格出售，求出消费金额，再根据消费金额所在的范围，求出优惠
额，从而得出顾客获得的优惠额；
（2）先设该商品的标价为x元，根据购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，列出不等
式，求出x的取值范围，从而得出答案．
解答： 解：（1）标价为1000元的商品按80%的价格出售，消费金额为800元，
消费金额800元在700﹣900之间，优惠额为150元，
顾客获得的优惠额是：1000×（1﹣80%）+150=350（元）；
（2）设该商品的标价为x元，根据题意得：
100+20%x≥226，
解得x≥630．
答：该商品的标价至少为630元．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，求出消费金额，再根据所给的范围可解得优
惠金额．
24．（8分）（2013•南京）小丽驾车从甲地到乙地．设她出发第xmin时的速度为ykm/h，图中的折线表示她在整个驾车
过程中y与x之间的函数关系．
（1）小丽驾车的最高速度是 6 0 km/h；
（2）当20≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min时的速度；
（3）如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？
考点： 一次函数的应用．
430103
分析： （1）观察图象可知，第10min到20min之间的速度最高；
（2）设y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答，再把x=22代入函数关系式进行计算即可得
解；
（3）用各时间段的平均速度乘以时间，求出行驶的总路程，再乘以每千米消耗的油量即可．
解答： 解：（1）由图可知，第10min到20min之间的速度最高，为60km/h；
（2）设y=kx+b（k≠0），
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∵函数图象经过点（20，60），（30，24），
∴ ，
解得 ，
所以，y与x的关系式为y=﹣ x+132，
当x=22时，y=﹣ ×22+132=52.8km/h；
（3）行驶的总路程= ×（12+0）× + ×（12+60）× +60× + ×（60+24）× + ×（24+48）×
+48× + ×（48+0）× ，
= +3+10+7+3+8+2，
=33.5km，
∵汽车每行驶100km耗油10L，
∴小丽驾车从甲地到乙地共耗油：33.5× =3.35升．
点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程=速度×时间，从图形中准确获
取信息是解题的关键．
25．（8分）（2013•南京）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接
AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．
考点： 切线的判定与性质．
430103
分析： （1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而
∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM= BC=3，根据等腰三
角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6 ；
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r= ，则
CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位线性质得BE=2OM= ，然后判断
Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC．
解答： 解：（1）PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
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∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC与圆O相切；
（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM= BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM= =6 ，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即32+（6 ﹣r）2=r2，解得r= ，
∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，
∴BE=2OM= ，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽Rt△CEB，
∴ = ，即 = ，
∴PC= ．
点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半
径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．
26．（9分）（2013•南京）已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
考点： 二次函数综合题．
430103
专题： 压轴题．
分析： （1）把（x﹣m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出
顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．
解答： （1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，
△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
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（2）解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，
解得x =m，x =m+1，
1 2
∴AB=（m+1）﹣m=1，
y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，
△ABC的面积= ×1×| |=1，
解得a=±8；
②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，
所以，点D的坐标为（0，am2+am），
△ABD的面积= ×1×|am2+am|，
∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∴ ×1×|am2+am|= ×1×| |，
整理得，m2+m﹣ =0或m2+m+ =0，
解得m= 或m=﹣ ．
点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x﹣m）看作一个整体求解更加简
便．
27．（10分）（2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为
顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，
△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，
△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．
（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；
③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是 ① ；互为逆相似的是 ②③ ．（填写所有符合要求的序号）．
（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截
△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并
说明截线满足的条件，不必说明理由．
21 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
考点： 相似形综合题．
430103
专题： 压轴题．
分析： （1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，逐一分析求解．
解答： 解：（1）互为顺相似的是 ①；互为逆相似的是 ②③；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：
第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、C）上，过点P只能画出2条截线PQ
1
、PQ
2
，分别使∠CPQ
1
=∠A，
∠BPQ
2
=∠A，此时△PQ
1
C、△PBQ
2
都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，过点P
1
只能画出1条截线P
1
Q，使∠AP
1
Q=∠ABC，此时△AP
1
Q与△ABC互
为逆相似；
当点P在CM上时，过点P
2
只能画出2条截线P
2
Q
1
、P
2
Q
2
，分别使∠AP
2
Q
1
=∠ABC，∠CP
2
Q2=∠ABC，此时
△AP Q 、△Q P C都与△ABC互为逆相似．
2 1 2 2
第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于
点D、E．
当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P
1
Q，使∠AP
1
Q=∠ABC，此时△AQP
1
与△ABC互
为逆相似；
当点P在DE上时，过点P
2
只能画出2条截线P
2
Q
1
、P
2
Q
2
，分别使∠AP
2
Q
1
=∠ACB，∠BP
2
Q
2
=∠BCA，此时
△AQ P 、△Q BP
1 2 2 2
都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE（不含点E）上时，过点P
3
只能画出1条截线P
3
Q′，使∠BP
3
Q′=∠BCA，此时△Q′BP
3
与△ABC互
为逆相似．
点评： 本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物
的能力．准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过
程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
22 祝大家学业有成！最新更新~初中高中考试真题/模拟 ~微信： vzan8899
参与本试卷答题和审题的老师有：zhjh；yangwy；lantin；CJX；星期八；HLing；gsls；dbz1018；zjx111；sd2011；ZJX；sks；
sjzx；HJJ；caicl（排名不分先后）
菁优网
2013年8月2日
23 祝大家学业有成！
