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2014 年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2014年江苏南京）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2014年江苏南京）计算（﹣a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
3．（2014年江苏南京）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为
（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
4．（2014年江苏南京）下列无理数中，在﹣2与1之间的是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
5．（2014年江苏南京）8的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．
6．（2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，
则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（ ，3）、（﹣ ，4）B．（ ，3）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4）D．（ ， ）、（﹣ ，4）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
7．（2014年江苏南京）﹣2的相反数是 ，﹣2的绝对值是 ．
8．（2014年江苏南京）截止2013年底，中国高速铁路营运里程达到11000km，居世界首位，将
11000用科学记数法表示为 ．
9．（2014年江苏南京）使式子1+ 有意义的x的取值范围是 ．
10．（2014年江苏南京）2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：
168，166，168，167，169，168，则她们身高的众数是 cm，极差是 cm．
11．（2014年江苏南京）已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣3时，y=
．
12．（2014年江苏南京）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．
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13．（2分）（2014年江苏南京）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，
若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm．
14．（2014年江苏南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的
底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
分析：易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得
圆锥的母线长．
15．（2014年江苏南京）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过
160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为
3：2，则该行李箱的长的最大值为 cm．
16．（2014年江苏南京）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应
值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．（2014年江苏南京）解不等式组： ．
18．（2014年江苏南京）先化简，再求值： ﹣ ，其中a=1．
19．（2014年江苏南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，
交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？
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20．（2014年江苏南京）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；
（1）抽取1名，恰好是甲；
（2）抽取2名，甲在其中．
21．（2014年江苏南京）为了了解某市120000名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组，并
进行整理分析．
（1）小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了20名初中学生的视
力，他们的抽样是否合理？并说明理由．
（2）该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查，整理他们
的视力情况数据，得到如下的折线统计图．
请你根据抽样调查的结果，估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少？
22．（8分）（2014年江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定
成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可
变成本平均的每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2. 6 （ 1+ x ） 2 万元．
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
分析（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为
2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．
23．（2014年江苏南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位
置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，
它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）
24．（2014年江苏南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只
有一个公共点？
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25．（2014年江苏南京）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地
出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下
坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的
速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的
折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h；
（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？
26．（2014年江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC
的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设
点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
27．（2014年江苏南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的
判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的
情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，
对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF ．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图
③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，
AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠ B≥∠A ，则△ABC≌△DEF
2014 年江苏省南京市中考数学试卷及解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．
点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.分析：根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
解：原式=﹣a2×3=﹣a6．故选：D．
点评：本题考查了幂的乘方与积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相
乘．
3.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选C．
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点评：本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的
关键．
4.分析：根据无理数的定义进行估算解答即可．
解：A. ，不成立；B．﹣2 ，成立；
C. ，不成立；D. ，不成立，故答案为B．
点评：此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题要明确，无理数是不能精确地表示为两
个整数之比的数，即无限不循环小数．
5.分析：直接根据平方根的定义进行解答即可解决问题．
解：∵ ，∴8的平方根是 ．故选D．
点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根
是0；负数没有平方根．
6.分析：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点
A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成
比例，求得答案．
解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作
AF∥x轴，交点为F，
∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中， ，∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴ ，即 ，
∴OE= ，即点B（ ，3），∴AF=OE= ，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣ ）=﹣ ，∴点D（﹣ ，4）．故选B．
点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此
题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
7．
分析：根据相反数的定义和绝对值定义求解即可．
解：﹣2的相反数是2，﹣2的绝对值是2．
点评：主要考查了相反数的定义和绝对值的定义，要求熟练运用定义解题．相反数的定义：只
有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它
本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
8.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将11000用科学记数法表示为：1.1×104．故答案为：1.1×104．
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点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.分析：根据被开方数大于等于0列式即可．
解：由题意得，x≥0．故答案为：x≥0．
点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10.分析：根据众数的定义找出这组数据中出现次数最多的数，再根据求极差的方法用最大值
减去最小值即可得出答案．
解：168出现了3次，出现的次数最多，则她们身高的众数是168cm；
极差是：169﹣166=3cm；故答案为：168；3．
点评：此题考查了众数和极差，众数是一组数据中出现次数最多的数；求极差的方法是最大
值减去最小值．
11.分析：先把点A（﹣2，3）代入y= 求得k的值，然后将x=﹣3代入，即可求出y的值．
解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ，∴当x=﹣3时，y=﹣ =2．故答案是：2．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是
解题的关键．
12.分析：设O是正五边形的中心， 连接OD、OB，求得∠DOB的度数，
然后利用圆周角定理即可求得 ∠BAD的度数．
解：设O是正五边形的中心，连 接OD、OB．则∠DOB=
×360°=144°，
∴∠BAD= ∠DOB=72°，故答案 是：72°．
点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解正多边形的内心和外心重合是关键．
13．
分析：先根据圆周角定理得 到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理
得到BE= AB= ，且 △BOE为等腰直角三角形，然后根据等
腰直角三角形的性质求解．
解：连结OB，如图， ∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°， ∵AB⊥CD，
∴BE=AE= AB= ×2 = ，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=
BE=2（cm）．故答案为2．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了
等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
14.解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，设圆锥的母线长为R，则： =4π，
解得R=6．故答案为：6．
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点评：本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧
长公式为： ．
15.分析：设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解
出即可．
解：设长为3x，宽为2x，由题意，得：5x+30≤160，
解得：x≤26，故行李箱的长的最大值为78．故答案为：78cm．
点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，建
立不等式．
16.．
分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值
范围即可．
解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．
点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．
分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解
集．
解： ，解①得：x≥1，解②得：x＜2，
则不等式组的解集是：1≤x＜2．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观
察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
18.分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计
算即可求出值．
解：原式= ﹣ = =﹣ ，
当a=1时，原式=﹣ ．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.
分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据
两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．
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点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，
菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
20.分析：（1）由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求
得答案；
（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有
2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为： ；
（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽
取2名，甲在其中的概率为： ．
点评：本题考查的是列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.分析：（1）根据学生全部在眼镜店抽取，样本不具有代表性，只抽取20名初中学生，那么
样本的容量过小，从而得出答案；
（2）用120000乘以初中学生视力不良的人数所占的百分比，即可得出答案．
解：（1）他们的抽样都不合理；
因为如果1000名初中学生全部在眼镜店抽取，那么该市每个学生被抽到的机会不相等，样
本不具有代表性；
如果只抽取20名初中学生，那么样本的容量过小，样本不具有广泛性；
（2）根据题意得：
×120000=72000（名），
该市120000名初中学生视力不良的人数是72000名．
点评：此题考查了折线统计图，用到的知识点是用样本估计总体和抽样调查的可靠性，读懂
统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，
解得：x =0.1，x =﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次
方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
23.分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三
角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．
解：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO= ，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°= x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO= ，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣ x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．
点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问
题转化为数学问题加以计算．
24.分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
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（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，
它的 顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象
与x轴只有一个公共点．
点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与
几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．
25.
分析： （1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，
进而得出途中休息的时间；
（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定
系数法求出解析式；
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路
上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离
甲地的距离相等建立方程求出其解即可．
解：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15，
∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10，
小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20．
∴小明返回的时间为：（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，
∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5．
∴小明途中休息的时间为：1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．
故答案为：15，0.1
（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．
小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．
设直线AB的解析式为y=k x+b ，由题意，得 ，解得： ，
1 1
∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；
设直线BC的解析式为y=k +b ，由题意，得 ，解得： ，
2 2
∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路
上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，
得
10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．
点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一
元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
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26．（2014年江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O为△ABC
的内切圆．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以P为圆心，PB长为半径作圆，设
点P运动的时间为t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
分析：（1）求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，设出半径，再利用圆的性质和
直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
（2）考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切．所以我们要分别讨论，
当外切时，圆心距等于两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差．分别作垂
线构造直角三角形，类似（1）通过表示边长之间的关系列方程，易得t的值．
解：（1）如图1，设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
则AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形．
设⊙O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB= =5cm．
∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
解得 r=1，即⊙O的半径为1cm．
（2）如图2，过点P作PG⊥BC，垂直为G．
∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC．
∴△PBG∽△ABC，∴ ．∵BP=t，
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∴PG= ，BG= ．
若⊙P与⊙O相切，则可分为两种情况，⊙P与⊙O外切，⊙P与⊙O内切．
①当⊙P与⊙O外切时，
如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PH⊥OE，垂足为H．
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，
∴四边形PHEG是矩形，
∴HE=PG，PH=CE，
∴OH=OE﹣HE=1﹣ ，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣ =2﹣ ．
在Rt△OPH中，
由勾股定理， ，
解得 t= ．
②当⊙P与⊙O内切时，
如图4，连接OP，则OP=t﹣1，过点O作OM⊥PG，垂足为M．
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，
∴四边形OEGM是矩形，
∴MG=OE，OM=EG，
∴PM=PG﹣MG= ，OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣ =2﹣ ，
在Rt△OPM中，
由勾股定理， ，解得 t=2．
综上所述，⊙P与⊙O相切时，t= s或t=2s．
点评：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形
求解等常规考查点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目．
27．（2014年江苏南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的
判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的
情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，
对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图
③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF
中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠ B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．
分析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等
角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等
三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三
角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到
△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线
于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中， ，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中， ，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，
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在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定
方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
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