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2015年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的）
1．（2分）（2015•南京）计算：|﹣5+3|的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
2．（2分）（2015•南京）计算（﹣xy3）2的结果是（ ）
A．x2y6 B．﹣x2y6 C．x2y9 D．﹣x2y9
3．（2分）（2015•南京）如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
= =
C． D．
= =
4．（2分）（2015•南京）某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆，用科
学记数法表示该市2014年底机动车的数量是（ ）
A．2.3×105辆 B．3.2×105辆 C．2.3×106辆 D．3.2×106辆
5．（2分）（2015•南京）估计 介于（ ）
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
6．（2分）（2015•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于
E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）（2015•南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 ．
8．（2分）（2015•南京）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）（2015•南京）计算 的结果是 ．
10．（2分）（2015•南京）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 ．
11．（2分）（2015•南京）不等式组 的解集是 ．
12．（2分）（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，
m的值是 ．
13．（2分）（2015•南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对
称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（ ，
）．
14．（2分）（2015•南京）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程
队员工月工资的方差 （填“变小”、“不变”或“变大”）．
15．（2分）（2015•南京）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=
°．
16．（2分）（2015•南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y ，y 的图象在第一象限内分别
1 2
交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y = ，则y 与x的函数表达式是 ．
1 2
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三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2015•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（7分）（2015•南京）解方程： ．
19．（7分）（2015•南京）计算：（ ﹣ ）÷ ．
20．（8分）（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 = ．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
21．（8分）（2015•南京）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教
育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年
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抽样结果，得到下列统计图：
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 名，其中小学生 名；
（2）根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学
生人数为 名；
（3）比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
22．（8分）（2015•南京）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2
张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
23．（8分）（2015•南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北
方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它
们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得
∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，
tan58°≈1.60）
24．（8分）（2015•南京）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的
平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，
过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP
是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
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25．（10分）（2015•南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外
两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要
画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
26．（8分）（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延
长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
27．（10分）（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折
线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y（单位：元）、销售价y（单位：元）与产
1 2
量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
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2015 年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的）
1．（2分）（2015•南京）计算：|﹣5+3|的结果是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
考点：有理数的加法；绝对值．
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分析：先计算﹣5+3，再求绝对值即可．
解答：解：原式=|﹣2|
=2．
故选B．
点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．
2．（2分）（2015•南京）计算（﹣xy3）2的结果是（ ）
A．x2y6 B．﹣x2y6 C．x2y9 D．﹣x2y9
考点：幂的乘方与积的乘方．
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分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（am）n=am（n m，n是正整数）；②（ab）n=anb（n n
是正整数）；求出计算（﹣xy3）2的结果是多少即可．
解答：解：（﹣xy3）2
=（﹣x）2•（y3）2
=x2y6，
即计算（﹣xy3）2的结果是x2y6．
故选：A．
点评：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
3．（2分）（2015•南京）如图，在△ABC中，DE∥BC， = ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
= =
C． D．
= =
考点：相似三角形的判定与性质．
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分析：
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得
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，然后由 = ，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，
面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．
解答：解：∵DE∥BC，
∴△ADE△ ABC，
∴ ，
∵ = ，
∵ = ，
故A、B选项均错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴ = = ， =（ ）2= ，
故C选项正确，D选项错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比
等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比
的平方．
4．（2分）（2015•南京）某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆，用科
学记数法表示该市2014年底机动车的数量是（ ）
A．2.3×105辆 B．3.2×105辆 C．2.3×106辆 D．3.2×106辆
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：2014年底机动车的数量为：3×105+2×106=2.3×106．
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2分）（2015•南京）估计 介于（ ）
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间 C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
考点：估算无理数的大小．
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分析：
先估算 的范围，再进一步估算 ，即可解答．
解答：解：∵ 2.235，
∴ ﹣1≈1.235，
∴ ≈0.617，
∴ 介于0.6与0.7之间，
故选：C．
点评：本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算 的大小．
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6．（2分）（2015•南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于
E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
考点：切线的性质；矩形的性质．
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分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，
AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出
四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出
结果．
解答：解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在R t△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM= ，
∴DM=3 = ，
故选A．
点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．（2分）（2015•南京）4的平方根是 ± 2 ；4的算术平方根是 2 ．
考点：算术平方根；平方根．
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分析：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
解答：解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．
故答案为：±2；2．
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点评：此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导
致错误．
8．（2分）（2015•南京）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣ 1 ．
考点：二次根式有意义的条件．
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分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解答：解：根据题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 （a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（2分）（2015•南京）计算 的结果是 5 ．
考点：二次根式的乘除法．
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分析：直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解答：
解： = × =5．
故答案为：5．
点评：此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
10．（2分）（2015•南京）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 （ a﹣2 b ） 2 ．
考点：因式分解-运用公式法．
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分析：首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
解答：解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab
=a2﹣5ab+4b2+ab
=a2﹣4ab+4b2
=（a﹣2b）2．
故答案为：（a﹣2b）2．
点评：此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关
键．
11．（2分）（2015•南京）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 1 ．
考点：解一元一次不等式组．
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分析：分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．
解答：
解： ，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜1，
所以不等式组的解集是﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观
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察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
12．（2分）（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值
是 ﹣ 4 ．
考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．
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分析：利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．
解答：解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
13．（2分）（2015•南京）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对
称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是（ ﹣ 2 ， 3
）．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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分析：分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．
解答：解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，
∴A′的坐标为：（2，3），
∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，
∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为：﹣2；3．
点评：此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．
（1）关于x轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
14．（2分）（2015•南京）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：
工种 人数 每人每月工资/元
电工 5 7000
木工 4 6000
瓦工 5 5000
现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程
队员工月工资的方差 变大 （填“变小”、“不变”或“变大”）．
考点：方差．
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分析：利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大．
解答：解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，
∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工
月工资的方差变大．
故答案为：变大．
点评：此题主要考查了方差的定义，正确把握方差中每个数据的意义是解题关键．
15．（2分）（2015•南京）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=
215 °．
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考点：圆内接四边形的性质．
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分析：连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周
角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
解答：解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠E=180°+35°=215°．
故答案为：215．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助
线构造出圆内接四边形是解题的关键．
16．（2分）（2015•南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y ，y 的图象在第一象限内分别
1 2
交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y = ，则y 与x的函数表达式是 y = ．
1 2 2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
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分析：
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y
1
= 上，设A（a，
），求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．
解答：解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数y = 上，
1
∴设A（a， ），
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∴OC=a，AC= ，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴ ，
∵A为OB的中点，
∴ = ，
∴BD=2AC= ，OD=2OC=2a，
∴B（2a， ），
设y = ，
2
∴k=2a• =4，
∴y 与x的函数表达式是：y = ．
2 2
故答案为：y = ．
2
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数
中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2015•南京）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
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分析：不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等
式的解集即可．
解答：解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，
移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，
合并同类项，得﹣x≥1，
系数化为1，得x≤﹣1，
这个不等式的解集在数轴上表示为：
点评：本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，
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≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心
圆点表示．
18．（7分）（2015•南京）解方程： ．
考点：解分式方程．
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专题：计算题．
分析：观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整
式方程求解．
解答：解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x=3（x﹣3）．
解这个方程，得x=9．
检验：将x=9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．
所以x=9是原方程的根．
点评：本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．
19．（7分）（2015•南京）计算：（ ﹣ ）÷ ．
考点：分式的混合运算．
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分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．
解答：
解：（ ﹣ ）÷
=[ ﹣ ×
]
=[ ﹣ ×
]
= ×
= ．
点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．
20．（8分）（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 = ．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
考点：相似三角形的判定与性质．
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分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然
后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
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解答：（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵ = ．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与
性质定理．
21．（8分）（2015•南京）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教
育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年
抽样结果，得到下列统计图：
（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 1000 0 名，其中小学生 450 0 名；
（2）根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学
生人数为 360 0 名；
（3）比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
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分析：（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”，可得
100000×10%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小
学生所占45%，即可解答；
（2）先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以10万，即可解
答；
（3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．
解答：解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．
故答案为：10000，4500；
（2）100000×40%×90%=3600（人）．
故答案为：3600；
（3）例如：与2010年相比，2014年该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不
唯一）．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．
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22．（8分）（2015•南京）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2
张纸币．
（1）求取出纸币的总额是30元的概率；
（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．
考点：列表法与树状图法．
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专题：计算题．
分析：（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据
概率公式计算；
（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．
解答：解：（1）列表：
共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，
所以取出纸币的总额是30元的概率= ；
（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为 ．
点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
23．（8分）（2015•南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北
方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它
们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得
∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，
tan58°≈1.60）
考点：解直角三角形的应用．
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分析：设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和
DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可．
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解答：解：设B处距离码头Oxkm，
在Rt△CAO中，∠CAO=45°，
∵tan∠CAO= ，
∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，
在Rt△DBO中，∠DBO=58°，
∵tan∠DBO= ，
∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°，
∵DC=DO﹣CO，
∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x），
∴x= ≈ =13.5．
因此，B处距离码头O大约13.5km．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键．
24．（8分）（2015•南京）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的
平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，
过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP
是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
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分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出
∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要证 ▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证
∠MGE=∠QFH得出即可．
解答：（1）证明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH= ∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH= ∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴∠FEH+∠EFH= （∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，
∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，
同理可得：∠EGF=90°，
∵EG平分∠AEF，
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∴∠EFG= ∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH= ∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB=180°，
即∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠FEG+∠FEH= （∠AEF+∠BEF）= ×180°=90°，
即∠GEH=90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）解：答案不唯一：
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，
要证 ▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，
故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．
故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得
证．
点评：此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱
形的方法是解题关键．
25．（10分）（2015•南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外
两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要
画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
考 作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．
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点：
分 ①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A
析：为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为
端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，
连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，
交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再
作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．
解 解：满足条件的所有图形如图所示：
答：
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点 此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
评：
26．（8分）（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延
长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
考点：圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
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分析：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得
∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得
∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；
（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得
△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
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∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆
内接四边形对角互补．
27．（10分）（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折
线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y（单位：元）、销售价y（单位：元）与产
1 2
量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与
销售价相等，都为42元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
解答：解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成
本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y 与x之间的函数关系式为y=k x+b ，
1 1 1
∵y=k x+b 的图象过点（0，60）与（90，42），
1 1
∴
∴ ，
∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y 与x之间的函数关系式为y=k x+b ，
2 2 2
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴ ，
解得： ，
∴这个一次函数的表达式为y =﹣0.6x+120（0≤x≤130），
2
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
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当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60） =﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42 =﹣0.6（x﹣ ] 65）2+2535，
∴当x90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大] 而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度
不大．
21 祝大家学业有成！
