文档内容
北京市四十四中2023-2024学年八年级八年级上学期数学期中考试试卷
阅卷人
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
得分
1．下列四个图形中，线段AD是△ABC中BC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 用下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，5cm
C．5cm，10cm，4cm D．8cm，12cm，2cm
3． 下列运算结果正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a3•a4＝a12
C．m3•m2•m＝m5 D．（3a）3＝9a3
4．点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣3，4） D．（﹣4，3）
5． 若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（ ）
A．70° B．70° 或 40°
C．70° 或 50° D．40°
7．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则
1 / 23△ABD的周长为（ ）
A．14 B．18 C．20 D．26
8． 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；③若PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
阅卷人
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
得分
9． 在△ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝30°，则∠A＝ ．
10．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD，
则∠A'DB＝ ．
12． 如图，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件： ，使△ABC≌△DCB．
13． 已知a-2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是 ．
14．已知x2-8x+k是一个完全平方式，则常数k的值是 ．
2 / 2315． 如图，已知∠ABC＝60°，DB＝24，DE＝DF，若EF＝4，则BE＝ ．
16．如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使
得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范
围是 ．
阅卷人
三、解答题（本大题9小题共68分，17题20分，18题6分，19题4分，
20题6分，21题5分，22、23、25题各7分，24题6分）
得分
17． 计算：
（1）（a2）3•a5；
（2）2x•（x+2y）；
（3）（3x+1）（3x-1）；
（4）（2m-n）2；
（5）（x+2y）（5-3x）；
（6）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）．
18． 化简求值：已知a2-2a＝5，求代数式（a-2）2-2（a+1）+4a的值．
19． 如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等．
作法：
3 / 2320． 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C
（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A关于x轴的对称点的坐标 ；
（3）△ABC的面积为 ；
（4）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D（不与点A重
合）坐标．
21．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，DF＝BE，∠B＝∠D，AD∥BC，求证：AE＝CF.
22． 如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BE＝EF+FC．
23． 如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．
4 / 23（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．
24．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式
乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）
（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的
一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正
方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同
的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出
解答过程）
25． 在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作
DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构
5 / 23成的三角形是 三角形；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成
立，请说明理由．
26．已知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α＝21°∠ABC＝32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，
并对你的结论加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP＝30°，求∠APC的度数（用含α
的代数式表示）．
6 / 23答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段AD是△ABC的高的图是选项D．
故答案为：D．
【分析】根据三角形高的画法可知，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则线段AD是△ABC的高，即可作
出判断.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2cm+3cm=5cm，不能组成三角形，不符合题意；
B：3cm+3cm>5cm，能组成三角形，符合题意；
C：5cm+4cm<10cm，不能组成三角形，不符合题意；
D：8cm+2cm<12cm，不能组成三角形，不符合题意；故答案为：B。
【分析】根据三角形两个短边的和大于长边求解。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A：（a2）3＝a6，正确，符合题意；
B：a3•a4＝a7，错误，不符合题意；
C：m3•m2•m＝m6，错误，不符合题意；
D：（3a）3＝27a3，错误，不符合题意；
故答案为：A。
【分析】根据幂的运算法则逐一计算后判定。
4．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故选A．
7 / 23【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ∠1 =180 ° -70 ° -60 ° =50 ° ，
故答案为：B。
【分析】根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理计算。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 本题可分两种情况：
①当 70° 角为底角时， 顶角为 180°−2×70°=40° ；
②70° 角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为 40° 或 70° ．
故答案为：B．
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情
况进行讨论 ．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可根据三角形ABC的长计算得AB+AC的值，计算三角形ABD
的周长即可得到答案。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作PD⊥AC于点D，
∵∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PD，PM=PN，
8 / 23∴PD=PN，
∴PC平分∠ACF；①正确；
∵AP平分∠EAC，PC平分∠ACF，
∴∠MAC=2∠PAC，∠NCA=2∠PCA，
∵∠MAC+∠NCA=180°+∠ABC
∴2∠PAC+2∠PCA=180°+∠ABC
即2（∠PAC+∠PCA）=180°+∠ABC
∵∠PAC+∠PCA=180°-∠APC，
∴2（180°-∠APC）=180°+∠ABC
∴2∠APC+∠ABC=180°，②错误；
∵PM=PD，AP是公共边，
∴Rt△APM≅Rt△ADM，
∴AM=AD，
同理可得：CD=CN，
∴AM+CN=AD+DC=AC，③正确；
∵∠BAC＝∠CAN-∠ABC=2（∠PCN-∠PBC）=2∠BPC，④正确；
综合分析可得，正确的有：①③④
故答案为：B。
【分析】根据三角形外角的性质、内角和定理，结合角平分线的性质，全等三角形的判定和性质判定即
可。
9．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】 在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∠A-∠B＝30°，
9 / 23∴2∠A＝120°，
∠A＝60°，
故答案为：60°。
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠B＝90°，再求∠A-∠B＝30°联立求解即可。
10．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
11．【答案】26°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，
∴∠B=180°-90°-58°=32°，
由折叠的性质可得：∠CA'D＝∠A=58°，
∴∠A'DB＝∠CA'D-∠B=58°-32°=26° 。
故答案为： 26°。
【分析】根据三角形内角和定理得出∠B=32°，根据折叠的性质得出∠CA'D＝∠A=58°，利用三角形外角
的性质求解。
12．【答案】AB＝DC(或者∠A＝∠D)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】补充条件：AB=DC (或者∠A＝∠D) 。
当AB=DC， ∠ABC＝∠DCB， BC=CB，根据SAS证明 △ABC≌△DCB；
当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB， BC=CB，根据AAS证明 △ABC≌△DCB。
故答案为： AB＝DC(或者∠A＝∠D) 。
【分析】根据全等三角形的判定求解。全等三角形的判定有：SAS，AAS，ASA，SSS，HL。
13．【答案】120
10 / 23【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵a-2b＝10，ab＝5，
∴a2+4b2 =（a-2b）2+4ab=100+20=120，
故答案为：120.
【分析】根据完全平方公式变形求值。a2+b2 =（a-b）2+2ab.
14．【答案】16
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵x2-8x+k是一个完全平方式，
∴k=42=16，
故答案为：16.
【分析】根据完全平方式的特点求解。形如a2±2ab+b2的代数式就是完全平方式。
15．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】作DG⊥BC于点G，
∵∠ABC＝60°，DB＝24，
∴BG=12，
∵DE＝DF，DG⊥BC
∴EG=GF=2，
∴BE=BG-EG=12-2=10
故答案为：10.
【分析】作DG⊥BC于点G，根据30度角的直角三角形的性质和等腰三角形的三线合一求解。
16．【答案】（1）△PPP
1 2 3
11 / 23（2）18°≤α＜22.5°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OP ＝PP＝PP＝PP＝PP
1 1 2 2 3 3 4 4 5
∴∠MON＝∠P1P2O，∠P2P1P3＝P2P3P1，∠P3P2P4＝P3P4P2，
∴∠P2P1P3＝2∠MON，∠P3P2P4＝3∠MON，∠P4P3P5＝4∠MON，
即第1个等腰三角形的底角是∠MON的1倍，第2个等腰三角形的底角是∠MON的2倍，第3个等腰三
角形的底角是∠MON的3倍，第4个等腰三角形的底角是∠MON的4倍，第n个等腰三角形的底角是
∠MON的n倍.
设等腰三角形的底角的度数为x，则0°90°，解得：
18°<α<22，5°。
故答案为： 18°≤α＜22.5° 。
【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形外角的性质，找出第n个等腰三角形的底角
是∠MON的n倍，由等腰三角形底角的度数的范围建立不等式求解；
（2）根据（1）中的规律，结合最后一个等腰三角形是△P3P4P5，先确定n，再建立不等式组求解。
17．【答案】（1）解：a11
（2）解：2x2+4xy
（3）解：9x2-1
（4）解：4m2-4mn+n2
（5）解：5x-3x2+10y-6xy
（6）解：-4y+1
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】 (1)、（a2）3•a5=a6•a5=a11；
(2)、2x•（x+2y）=2x•x+2x•2y=2x2+4xy；
(3)、（3x+1）（3x-1）=（3x）2-12= 9x2-1 ；
(4)、（2m-n）2=（2m）2- 4mn +（n）2= 4m2-4mn+n2 ；
(5)、（x+2y）（5-3x）= 5x-3x2+10y-6xy ；
(6)、（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y2-4-y2-4y+5= -4y+1。
12 / 23【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法计算；
（2）根据单项式乘以多项式的法则计算；
（3）根据平方差公式计算：（a+b)(a-b)=a2-b2；
（4）根据完全平方公式计算：(a-b)2=a2-2ab+b2；
（5）根据多项式乘以多项式的法则计算。（a+b)(m+n)=am+bm+an+bn；
（6）根据整式的混合运算法则计算。先算乘法，再算加减法。
18．【答案】解： （a-2）2-2（a+1）+4a
=a2-4a+4-2a-2
= a2-2a+2，
当 a2-2a＝5时，
原式=5+2=7。
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简，再把 a2-2a＝5整体代入求值。
19．【答案】解：如图
【知识点】角平分线的判定；作图-垂线；作图-角的平分线
【解析】【解答】作法：1.作 ∠MON 的角平分线；
2.过点A作直线ON的垂线；
3.角平分线和垂线交于点P；
点P就是所求作的点。
【分析】根据角平分线的判定， 点P到∠MON两边的距离相等 ，确定点P在 ∠MON 的角平分线上，
根据基本作图的步骤，画作 ∠MON 的角平分线和过点A作直线ON的垂线，交点就是所求。
20．【答案】（1）解：△ABC 就是所求作的图形；
1 1 1
13 / 23（2）（2，-3）
（3）1
（4）解：如图所示，符合条件的点D（不与点A重合）坐标为：（0，3），（0，-1），（2，-1），共
三个．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：
（2）点A关于x轴对称点的坐标为（2，-3）；
故答案为： （2，-3） ；
1
（3）△ABC的面积为 ×2×1=1，
2
故答案为：1；
【分析】（1）（2）根据关于y轴对称的点的坐标规律，确定点A、B、C的对称点，再连接这三个对称
点；
（3）确定 △ABC 的底和高，根据三角形的面积公式计算；
（4）先画出图形，再确定点D的坐标。
14 / 2321．【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，且∠B＝∠D，DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，∴AE＝CF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据AD∥BC，可得∠A＝∠C，再结合已知条件得出△ADF≌△CBE（AAS），从而得
到AF＝CE，再同时减去EF即可的解.
22．【答案】（1）解：依题意补全图形：
（2）解：证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BAE+∠CAF=90°，∠BAE+∠B=90°，
∠CFA=∠AEB=90°．∴∠CAF=∠B．在△ABE和△CAF中，
{ ∠B＝∠CAF
∠AEB＝∠CFA
AB＝AC
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
∴BE=AF，AE=CF．∵AF=AE+EF，∴BE=EF+CF．
【知识点】作图-垂线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过直线AD外的点B、C，分别作直线AD的垂线；
（2）根据AAS证明 △ABE≌△CAF ，利用全等三角形的性质（对应边相等）证明。
23．【答案】（1）解：证明：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，∵∠D+∠ABC＝180°，
∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D=∠CBF，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED=∠CFB，
在△CED和△CBF中
{
∠D=∠CBF
∵ ∠CED=∠CFB，
CD=CB
∴△CED≅△CFB（AAS），
15 / 23∴CE=CF，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：在Rt△ACE和Rt△ACF中
{CE=CF
∵ ，
AC=AC
∴Rt△ACE≅Rt△ACF（HL）
∴AF=AE=10，
由（1）得△CED≅△CFB
∴BF=DE=4，
∴AB=AF-BF=10-4=6。
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据AAS证明△CED≅△CFB，得
CE=CF，根据角平分线的判定定理证明即可 ；
（2）根据HL证明Rt△ACE≅Rt△ACF，得AF=AE=10，由△CED≅△CFB得BF=DE=4，再求解即可
。
24．【答案】（1）解：设计的图形如下：
16 / 23（2）解：a2+b2＝c2
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（2）大正方形的边长为(a+b)。面积为：(a+b)2=a2+2ab+b2，
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
1
即大正方形的面积c2+4× ab=c2+2ab，
2
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2。
【分析】（1）设计一个长方形，长为2a+b，宽为a+b，它的面积就是 （a+b）（2a+b） ；
（2）确定大正方形ABCD的边长，计算面积，大正方形ABCD的面积又等于小正方EFGH的面积加上4
个直角三角形的面积，根据面积相等建立等式求证即可。
25．【答案】（1）直角
（2）解：当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图如下所示，以AE、BF、EF三条线段为边构
成的三角形是直角三角形，理由是：
延长CD到G，使DG=DC，连接AG、EG，如下图所示。
∵D是AB的中点，
∴DB=AD，
∵AD=BD，∠ADG=∠BDF，DG=DF，
∴△ADG≅△BDF（SAS），
∴∠DAG=∠DBF，AG=BF，
∴AG∥BC，
∴∠GAC+∠C=180°，
17 / 23∵∠C＝90°，
∴∠GAC＝90°，
∵DG=DF，DF⊥DE，
∴GE=EF，
在Rt△AGE中，AG2+AE2=GE2，
∴BF2+AE2=EF2，
∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）补全图形如图所示：
延长FD到G，例DG=DF，连接AG和EG，如图所示。
∵D是AB的中点，
∴DB=AD，
∵AD=BD，∠ADG=∠BDF，DG=DF，
∴△ADG≅△BDF（SAS），
∴∠DAG=∠DBF，AG=BF，
∴AG∥BC，
∴∠GAC+∠C=180°，
∵∠C＝90°，
∴∠GAC＝90°，
∵DG=DF，DF⊥DE，
∴GE=EF，
18 / 23在Rt△AGE中，AG2+AE2=GE2，
∴BF2+AE2=EF2，
∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形，
故答案为：直角三角形。
【分析】（1）延长FD到G，使DG=DF，连接AG和EG，根据SAS证△ADG≅△BDF，根据平行线的
判定和性质证∠GAC＝90°，根据垂直平分线的判定和性质证GE=EF，在Rt△AGE中，根据勾股定理得
出结论；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形，证明
方法同（1）。
26．【答案】（1）解：AB-AC＝PB
（2）解：120°+α
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解（1）在AB上取AD=AC，连接PD，如下图所示：
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠DAP，
在△CAP和△DAP中，
∵AC=AD，∠CAP=∠DAP，AP=AP，
∴△CAP≅△DAP（SAS）
∴∠C=∠ADP，
在△ABC中，∠CAB＝2α=42°，∠ABC＝32°，
∴∠C＝180°-42°-32°=106°，
∴∠ADP=106°，
∴∠BDP=180°-106°=74°，∠BPD=180°-32°-74°=74°，
∴∠BDP=∠BPD，
∴BD=PB，
∴AB-AC=AB-AD=BD=PB，
即AB-AC=PB；
（2）在AB上取AE=AC，连接PE，延长AP交BC于点F，连接EF，如下图所示：
19 / 23∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠EAP=α，
在△CAP和△EAP中，
∵AC=AE，∠CAP=∠EAP，AP=AP，
∴△CAP≅△EAP（SAS）
∴∠APC=∠APE，
同理可证△CAF≅△EAF（SAS）
∴∠AFC=∠AFE，
∵∠ABC＝60°﹣α，
∴∠AFC=∠EAP+∠ABC＝α+60°﹣α=60°，
∴∠AFC=∠AFE=∠EFB=60°，
∴∠FPB=∠AFC-∠CBP=60°-30°=30°，
∴PF=BF，
∴△PEF≅△BEF（SAS），
∴PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP=60°﹣α-30°=30°﹣α，
∴∠AEP=2∠EPB=60°﹣2α，
∴∠APC=∠APE=180°-（60°﹣2α）-α=120°+α。
【分析】（1）在AB上取AD=AC，连接PD，根据SAS证△CAP≅△DAP，根据三角形内角证
∠BDP=∠BPD，利用等腰三角形的判定证明即可；
（2）在AB上取AE=AC，连接PE，延长AP交BC于点F，连接EF，根据SAS证△CAP≅△EAP和
△CAN≅△EAN，利用全等三角形的性质证∠AFC=∠AFE=∠EFB=60°，再根据等腰三角形的判定证
PF=BF，根据SAS证△PEF≅△BEF，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解。
20 / 23试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：110分
客观题（占比） 24.0(21.8%)
分值分布
主观题（占比） 86.0(78.2%)
客观题（占比） 12(46.2%)
题量分布
主观题（占比） 14(53.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题（本题共16
8(30.8%) 16.0(14.5%)
分，每小题2分）
解答题（本大题9小
题共68分，17题
20分，18题6分，
19题4分，20题6 10(38.5%) 78.0(70.9%)
分，21题5分，
22、23、25题各7
分，24题6分）
选择题（本题共16
8(30.8%) 16.0(14.5%)
分，每小题2分）
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (61.5%)
2 容易 (34.6%)
3 困难 (3.8%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
21 / 231 平方差公式及应用 20.0(18.2%) 17
2 关于坐标轴对称的点的坐标特征 8.0(7.3%) 4,20
3 三角形全等的判定 2.0(1.8%) 12
4 轴对称的性质 2.0(1.8%) 11
5 含30°角的直角三角形 2.0(1.8%) 15
6 完全平方公式的几何背景 6.0(5.5%) 24
7 三角形的角平分线、中线和高 2.0(1.8%) 1
8 坐标与图形性质 6.0(5.5%) 20
9 三角形内角和定理 8.0(7.3%) 5,6,9,11
10 等腰三角形的性质 6.0(5.5%) 6,15,16
11 完全平方式 2.0(1.8%) 14
12 直角三角形全等的判定（HL） 9.0(8.2%) 8,23
13 多边形内角与外角 2.0(1.8%) 10
14 整式的混合运算 20.0(18.2%) 17
15 勾股定理的证明 6.0(5.5%) 24
16 完全平方公式及运用 22.0(20.0%) 13,17
17 多项式乘多项式 26.0(23.6%) 17,24
18 角平分线的性质 2.0(1.8%) 8
19 三角形的外角性质 16.0(14.5%) 8,11,16,26
20 作图-角的平分线 4.0(3.6%) 19
21 同底数幂的乘法 2.0(1.8%) 3
22 / 2322 翻折变换（折叠问题） 2.0(1.8%) 11
23 利用整式的混合运算化简求值 6.0(5.5%) 18
24 作图-垂线 11.0(10.0%) 19,22
25 积的乘方 2.0(1.8%) 3
26 线段垂直平分线的性质 9.0(8.2%) 7,25
27 勾股定理 7.0(6.4%) 25
28 等腰三角形的判定与性质 10.0(9.1%) 26
29 求代数式的值-整体代入求值 2.0(1.8%) 13
30 作图﹣轴对称 6.0(5.5%) 20
31 三角形全等的判定（AAS） 19.0(17.3%) 21,22,23
32 三角形全等的判定（SAS） 17.0(15.5%) 25,26
33 三角形的面积 6.0(5.5%) 20
34 三角形三边关系 2.0(1.8%) 2
35 角平分线的判定 13.0(11.8%) 8,19,23
36 幂的乘方 2.0(1.8%) 3
37 三角形全等及其性质 7.0(6.4%) 5,21
23 / 23
