文档内容
北京市通州区2019-2020学年八年级下学期数学期末试卷
阅卷人
一、单选题
得分
1．下面四个图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝
2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1
3．在样本方差的计算公式 S2= [(x −20) 2+(x −20) 2+...+(x −20) 2 ] 中，数字10和20分别表示样
10 1 2 1
本的（ ）
A．容量和方差 B．标准差和平均数
C．容量和平均数 D．平均数和容量
4．直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＞0 D．x＜0
5．下列命题中，能判断四边形是矩形的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
1 / 25C．对角线相等且互相平分 D．对角线互相垂直
6．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(- 4 ，-1).B(1，1) 将线段AB平移后得到线
段A ’B’，若点A’的坐标为 (-2 ， 2 ) ，则点 B’的坐标为（ ）
A．( 3 ， 4 ) B．( 4 ， 3 ) C．（-1 ，-2 ) D．(-2，-1)
7．方程 x(x+3)=x 的解是（ ）
A．x =x =−3 B．x =1,x =3 C．x =0,x =−3 D．x =0,x =−2
1 2 1 2 1 2 1 2
8．已知正方形轨道 ABCD 的边长为 2m, 小明站在正方形轨道 AD 边的中点 M 处，操控一辆无人
驾驶小汽车，小汽车沿着折线 A−B−C−D 以每秒 1m 的速度向点 D (终点)移动，如果将小汽车到
小明的距离设为 S, 将小汽车运动的时间设为 t, 那么 S(m) 与 t(s) 之间关系的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
阅卷人 二、填空题
2 / 25得分
9．正六边形的内角和为 度．
10．关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ，满足 a−b+c=0 ，那么方程必有一个根是
．
11．甲、乙两人在一次赛跑中，路程 S 与时间 t 的关系如图所示，那么可以知道：（1）这是一次
米赛跑；（2）乙在这次赛跑中的速度为 米/秒．
12．在统计学中，样本的方差可以近似地反映总体的 ．（填写“集中趋势”、“波动大
小”、“最大值”、“平均值”）
13．写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限的函数表达式 .
14．如图，在 △ABC 中， AD⊥BC 于点 D, 点 E,F 分别是 AB,AC 边的中点，请你在 △ABC
中添加一个条件： ，使得四边形 AEDF 是菱形．
15．如图， AD 是 △ABC 的中线， ∠ADC=45°, 把 △ADC 沿 AD 折叠，使点 C 落在点 C'
处， BC' 与 BC 的长度比是 ．
16．如图，在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中，作内接正方形 A B C D ；在等腰直角三角形
1 1 1 1
OA B 中，作内接正方形 A B C D ；在等腰直角三角形 OA B 中，作内接正方形 A B C D ；
1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
……；依次作下去，则第 n 个正方形 A B C D 的边长是 (用含有 n 的代数式表示)
n n n n
3 / 25阅卷人
三、解答题
得分
17．选择恰当的方法解下列一元二次方程．
（1）x2=8 ；
（2）x2−2x−5=0 ；
（3）2x2−5x+2=0 ；
（4）(x+1)−2(x2−1)=0 ．
18．如图，在 ▱ABCD 中， AE 平分 ∠BAD 交 BC 于点 E,CF 平分 ∠BCD 交 AD 于点 F,
求证：四边形 AFCE 是平行四边形．
1
19．已知一次函数 y =kx+b 的图象经过点 (−1，−3), 且与正比例函数 y = x 的图象相交于点
1 2 2
(4,a) ，求：
4 / 25（1）a的值；
（2）求一次函数 y =kx+b 的表达式；
1
（3）请你画出这两个函数的图象，并判断当 x 取何值时， y >y ；
1 2
（4）求这两个函数图象与 x 轴围成的三角形的面积．
20．关于 x 的一元二次方程 x2−(k+3)x+2k+2=0 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求 k 的取值范围.
21．如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
22．对某班20名学生的每分钟脉搏次数情况测量如下(单位：次)： 73,77,80,81,79,78,85, 90,68,80,80,
81,89,82,84,77,72,83,75,79 ，按要求回答问题：
（1）补全表格中的数据．
分组 频数累计 频数 频率
67.5~72.5 | 2 0.1
72.5~77.5 正 4 0.2
77.5~82.5 正正正 9
82.5~87.5 0.15
87.5~92.5 正正正正 2 0.1
合计 20 1
（2）根据上边的频数分布表，绘制频数分布直方图．
5 / 25（3）这个样本的最小值是 ，分组的组距是 ；
（4）样本中每分钟脉搏次数在 72.5~77.5 次之间的学生所占的百分比率为 ．
（5）样本中落入 小组内的数据频率最大，该频率为 ．
1
23．小明在积累了学习函数的经验之后，自主探究学习了一个新函数： y=x+ ．小明首先观察函数表
x
达式，确定此函数的自变量的取值范围，之后列表求值，画出函数图象，研究函数的性质．请你协助小
明完成下列问题：
（1）自变量x的取值范围；
1
（2）列表求值 y=x+ ．请你协助小明补全表格：
x
x ··· -3 -2 -1 -0.5 -0.1 0.1 0.5 1 2 3 ···
1 1 1 1 1 1 1
y ··· −3 −2 −10 10 2 2 2 3 ···
3 2 10 10 2 2 3
1
（3）请你画出函数 y=x+ 的大致图象，并试着写出它的两条性质．性质：
x
．
24．要在一个 8cm×12cm 的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积
相等，那么银边的宽应该是多少？
25．把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形
的顶点B重合，联结DF，点M，N分别为DF，EF的中点，联结MA，MN．
6 / 25图2
图1
（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，直接
写出结论；
（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到
的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
26．如图，菱形 ABCD 的边长是 10 厘米，对角线 AC,BD 相交于点 O, 且 AC=12 厘米，点 P,
N 分别在 BD,AC 上，点 P 从点 D 出发，以每秒 2 厘米的速度向终点 B 运动，点 N 从点 C 出
发，以每秒 1 厘米的速度向点 A 运动，点 P 移动到点 B 后，点 P,N 停止运动．
（1）当运动多少秒时， △PON 的面积是 8 平方厘米；
（2）如果 △PON 的面积为 y ，请你写出 y 关于时间 t 的函数表达式．
7 / 25答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
2．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝3，
∴AD∥BC，AD=BC=3，AB＝CD=2，OB=OD，
∴∠DEO=∠BFO，
在△DEO和△FBO中,
{∠DEO＝∠BFO
∠DOE＝∠BOF ,
OB＝OD
∴△DEO≌△BFO，
即△DEO和△BFO的面积相等，
∴阴影部分的面积等于Rt△ADC的面积，
1 1
即阴影部分的面积是： ×AD×CD= ×3×2=3.
2 2
故答案为：A.
【分析】根据已知条件易证△DEO≌△BFO，可得△DEO和△BFO的面积相等，由此可知阴影部分的面积
等于Rt△ADC的面积，继而求得阴影部分面积.
3．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】根据方差计算公式之，10是样本容量，20是平均数．
故答案为：C．
【分析】方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数，再结合题干中给出的方差计算公式，即可确
定10和20的含义．
4．【答案】A
8 / 25【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0），当x=3时，y=0，函数值y随x的增
大而减小；
根据y随x的增大而减小，因而关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜3．
故答案为：A．
【分析】由图知：一次函数与x轴的交点横坐标为3，且函数值y随自变量x的增大而减小，根据图形可
判断出解集．
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等不一定为矩形，也可能为等腰梯形等，故A不符合题意；
B、对角线互相平分不一定为矩形，也可能为一般的平行四边形，故B不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C符合题意；
D、对角线互相垂直不一定为矩形，也可能为菱形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可．
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由A（-4，-1）的对应点A′的坐标为（-2，2 ），
根据坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标加3，
∴点B′的横坐标为1+3=3；纵坐标为1+3=4；
即所求点B′的坐标为（3，4）．
故答案为：A．
【分析】首先根据点A、A′的坐标得到点的变化规律：即横坐标加2，纵坐标加3，进而求出点B变换后
点B′的坐标.
7．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x(x+3)=x ，
移项： x(x+3)－x=0 ，
去括号，合并同类项： x2+2x=0 ，
提公因式： x(x+2)=0 ，
x=0或x+2=0，
解得： x =0,x =−2 ．
1 2
故答案为：D．
9 / 25【分析】先移项，再去括号合并同类项，用因式分解法解方程即可．
8．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：设小汽车所在的点为点Q，
①当点Q在AB上运动时，AQ=t，
则MQ2=MA2+AQ2=1+t2，
即MQ2为开口向上的抛物线，则MQ为曲线，
②当点Q在BC上运动时，
同理可得：MQ2=22+（1-t+2）2=4+（3-t）2，
MQ为曲线；
故答案为：D．
【分析】求出小汽车在AB、BC上运动时，MQ的表达式即可求解．
9．【答案】720
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为：180°×（6﹣2）=180°×4=720°．
故答案为：720．
【分析】由多边形的内角和公式：180°（n﹣2），即可求得正六边形的内角和．
10．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】将 x=−1 代入方程 ax2+bx+c=0 中的左边得：
a×(−1) 2+b×(−1)+c=a−b+c ，
∵a−b+c=0 ，
∴x=−1 是方程 ax2+bx+c=0 的根．
故答案为：-1．
【分析】将 x=−1 代入方程 ax2+bx+c=0 中的左边，得到 a−b+c ，由 a−b+c=0 得到方程左右
两边相等，即 x=−1 是方程的解．
11．【答案】100；8
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）这是一次100米赛跑；（2）乙在这次赛跑中的速度为：100÷12.5=8
（米/秒）．
故答案为：（1）100；（2）8．
【分析】根据图象中特殊点的实际意义即可求出答案．
10 / 2512．【答案】波动大小
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数，其反映了数据的波动大小和波动状
态．
故答案为：波动大小．
【分析】由方差的定义选出正确的一项即可．
13．【答案】答案不唯一,如y=-x-2,或y=-x2等
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】可以是一次函数y=kx+b，也可为二次函数y=ax2+bx+c．
∵过点（-1，-1），
∴答案不唯一，如y=-x-2或y=-x2，
故答案为：y=-x-2或y=-x2．
【分析】此函数可以是一次函数y=kx+b；也可为二次函数y=ax2+bx+c．再由过点（-1，-1），即可求得
函数．
14．【答案】AB=AC
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】 ∵ 点 E,F 分别是 AB,AC 边的中点
1 1
∴AF= AC,AE= AB
2 2
要使四边形 AEDF 是菱形，则需 AF=AE ，即 AB=AC
理由如下： ∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形
∵AD⊥BC
∴ 点D是BC的中点
∴DE,DF 是 △ABC 的两条中位线
1 1
∴DE= AC,DF= AB
2 2
∴DE=DF
1 1
又 ∵AF= AC,AE= AB
2 2
∴DE=DF=AF=AE
∴ 四边形 AEDF 是菱形
故答案为： AB=AC ．
【分析】根据菱形的性质可得 AF=AE ，从而可得 AB=AC 即为所添加的条件；理由：先根据等腰三
11 / 25角形的判定与性质可得点D是BC的中点，再根据三角形中位线定理、线段中点的定义可得
DE=DF=AF=AE ，然后根据菱形的判定即可得．
15．【答案】√2:2
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，设BD=CD=x，则BC=2x，
又∵∠ADC=45°，将 △ ADC沿AD折叠，故 ∠ADC'=45° ， C'D =x，
∴∠C'DC=∠C'DB=90° ， △C'DB 是直角三角形，
根据勾股定理可得： BC'=√BD2+C'D2=√x2+x2=√2x ，
∴BC':BC=√2x:2x=√2:2 ，
故答案为： √2:2 ．
【分析】设BD=CD=x，由题意可知∠ADC=45°，且将 △ ADC沿AD折叠，故 ∠ADC'=45° ，则
Rt△C'DB 可运用勾股定理，将 BC' 用x进行表示，即可得出 BC':BC 的值．
1
16．【答案】
3n
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交AB 于点N，
1 1
∵AB∥AB，
1 1
∴ON⊥A B，
1 1
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
1 1
∴OM= AB= ，
2 2
又∵△OA B 为等腰直角三角形，
1 1
1 1
∴ON= AB= MN，
2 1 1 2
∴ON：OM=1：3，
2 2 1 1
∴第1个正方形的边长AC=MN= OM= × = ，
1 1 3 3 2 3
2 2 1 1
同理第2个正方形的边长AC= ON= × = ，
2 2 3 3 6 32
12 / 251
则第n个正方形ABDC 的边长为： ．
n n n n 3n
1
故答案为： ．
3n
【分析】过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交AB 于点N，由三线合一可得M为AB的中点，N为
1 1
AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半求出OM的长，再
1 1
由ON为AB 的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形
1 1
的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．
17．【答案】（1）解： x2=8
x=±√8
x=±2√2
即 x =2√2，x =−2√2 ．
1 2
所以原方程的解为： x =2√2，x =−2√2
1 2
（2）解： x2−2x−5=0
(x−1) 2=6
x−1=±√6
x=±√6+1
即 x =1+√6,x =1−√6 ．
1 2
所以原方程的解为： x =1+√6，x =1−√6
1 2
（3）解： 2x2−5x+2=0 ．
a=2，b=−5，c=2 ．
△=(−5) 2−4×2×2=9>0 ，
5±√9 5±3
x= =
2×2 4
5+3 5−3 1
即 x = =2，x = = ．
1 4 2 4 2
1
所以原方程的解为： x =2，x =
1 2 2
（4）解： (x+1)−2(x2−1)=0
(x+1)−2(x+1)(x−1)=0
13 / 25(x+1)[1−2(x−1)]=0
(x+1)(3−2x)=0
3
即 x =−1，x = ．
1 2 2
3
所以原方程的解为： x =−1,x =
1 2 2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解
一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接开平方法即可计算；（2）配方法进行计算；（3）利用求根公式即可计算；
（4）提公因式后得到因式分解进行解答．
18．【答案】证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,AD//BC
∵AE 平分 ∠BAD,CF 平分 ∠BCD,
∴∠BAE=∠DAE,∠DCF=∠BCF ．
∴∠BAE=∠AEB,∠DCF=∠DFC ．
∴DF=DC,AB=EB
∴AF=CE,
∵AF//CE,
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AD//BC，再利用平行线的性质和角平分线的定义可得
∠BAE=∠AEB,∠DCF=∠DFC ，再结合等腰三角形的判定定理可得 DF=DC,AB=EB ，从而可
得 AF=CE, 根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
1
19．【答案】（1）解：将 (4,a) 代入 y = x ，得 a=2
2 2
（2）解：将 (4,2),(−1,−3) 代入 y =kx+b,
1
{ 4k+b=2
−k+b=−3
解得 k=1,b=−2 ．
所以一次函数的表达式为： y =x−2
1
（3）解：根据题意可得：
14 / 25∴由图象可知，当 x>4 时， y >y
1 2
1
（4）解： y =x−2,y = x 分别与 x 轴的交点坐标为 (2,0),(0,0) ，
1 2 2
1
所以两个函数图象与 x 轴围成的三角形的面积 S= ×2×2=2
2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；描点法画函数图象
1
【解析】【分析】（1）把交点坐标代入正比例函数 y = x ，计算即可求解．（2）用待定系数法把
2 2
(−1，−3) ， (4,2) 代入 y =kx+b ，建立方程组求解即可．（3）用描点法描点画图即可．（4）利
1
用函数与x轴的交点坐标求出三角形的底长，再运用三角形的面积公式建立等式即可求解．
20．【答案】（1）解：∵在方程 x2−(k+3)x+2k+2=0 中，△=[-（k+3）] ❑ 2 -4×1×（2k+2）=k ❑ 2
-2k+1=（k-1） ❑ 2 ≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x ❑ 2 -（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，
∴x ❑ =2，x ❑ =k+1．
1 2
∵方程有一根小于1，
∴k+1<1，解得：k<0，
∴k的取值范围为k<0．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两
个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x ❑ =2、x ❑ =k+1，根据方程有一根小于
1 2
1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
21．【答案】（1）解：证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
15 / 25即 EF=BC．
∵在
▱
ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
1 1
∴△ABF的面积= AB•AF= BF•AE．
2 2
AB⋅AF 6×8 24
∴AE= = = ．
BF 10 5
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF
是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
22．【答案】（1）0.45；正正正 |−；3
（2）解：结合（1）的表格，绘制频数分布直方图如下所示：
（3）68；5
（4）20%
（5）77.5~82.5；0.45
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
16 / 25【解析】【解答】（1）根据已知测量数据，补全表格数据如下：
分组 频数累计 频数 频率
67.5~72.5 | 2 0.1
72.5~77.5 正 4 0.2
77.5~82.5 正正正 9 0.45
82.5~87.5 正正正 |− 3 0.15
87.5~92.5 正正正正 2 0.1
合计 20 1
;（3）由测量数据可知，这个样本的最小值是68，分组的组距是 72.5−67.5=5
故答案为：68，5；（4）样本中每分钟脉搏次数在 72.5~77.5 次之间的学生所占的百分比率为
0.2×100%=20%
故答案为：20%；（5）由表格可知，样本中落入 77.5~82.5 小组内的数据频率最大，该频率为0.45
故答案为： 77.5~82.5 ，0.45．
【分析】（1）先根据测量数据可得各组的频数累计、频数，再根据“频率 = 频数 ÷ 总数”即可得；
（2）结合（1）的表格，绘制频数分布直方图即可；（3）找出样本数据中的最小值即可，根据组距的定
义计算即可得；（4）将相应的频率换算成百分比即可得；（5）根据表格，找出频率最大的一组即可得．
23．【答案】（1）解：自变量 x 的取值范围： x≠0
1
（2）-2；−2
2
（3）解： ；0＜x＜1时，y随x的增大而减小，x＞
1时，y随x的增大而增大
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象
【解析】【解答】（2）补全表格如下：
17 / 25x ··· -3 -2 -1 -0.5 -0.1 0.1 0.5 1 2 3 ···
1 1 1 1 1 1 1 1
y ··· −3 −2 -2 −2 −10 10 2 2 2 3 ···
3 2 2 10 10 2 2 3
;（3）图象如图：
观察所画出的函数图象，有如下性质：①0＜x＜1时，y随x的增大而减小；②x＞1时，y随x的增大而
增大（答案不唯一）．
【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把自变量的值代入即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；
再观察图象即可得出该函数的其他性质．
24．【答案】解：设银边的宽为 xcm ，根据题意，得
(12+2x)(8+2x)=2×8×12
整理得 x2+10x−24=0
解得 x =−12，x =2 ．
1 2
其中 x =−12 不合题意，故舍去．
1
答：银边的宽为 2cm ．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】本题的等量关系为：银边的面积和照片的面积相等，设银边的款式xcm，根据面积即可
列出方程求解．
25．【答案】（1）解：连接DE，
18 / 25∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，
∵点M是DF的中点，
1
∴AM= DF．
2
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴AF=CE，
{
AB=CD
在△ADF与△CDE中， ∠DAF=∠DCE ，
AF=CE
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
∵点M，N分别为DF，EF的中点，
∴MN是△EFD的中位线，
1
∴MN= DE，
2
∴AM=MN；
∵MN是△EFD的中位线，
∴MN∥DE，
∴∠FMN=∠FDE．
∵AM=MD，
∴∠MAD=∠ADM，
∵∠AMF是△ADM的外角，
∴∠AMF=2∠ADM．
∵△ADF≌△CDE，
∴∠ADM=∠CDE，
∴∠ADM+∠CDE+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，
∴MA⊥MN．
19 / 25∴MA=MN，MA⊥MN．
（2）解：成立．
理由：连接DE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．
在Rt△ADF中，
∵点M是DF的中点，
1
∴MA= DF=MD=MF，
2
∴∠1=∠3．
∵点N是EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
1
∴MN= DE，MN∥DE．
2
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°．
∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上，
∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．
{
AD=CD
在△ADF与△CDE中， ∠DAF=∠DCE
AF=DE
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠1=∠2，
∴MA=MN，∠2=∠3．
∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，
20 / 25∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接DE，根据直角三角形斜边中线的性质得到AM与DF的关系，再根据△BEF
是等腰直角三角形推出AF=CE，利用“SAS”证明△ADF≌△CDE，得到对应边相等，再根据已知得到MN
为△EFD的中位线，得到MN与DE的大小和位置关系，再根据平行线的性质及全等三角形的性质推出结论；
1
（2）连接DE，根据直角三角形的性质得到MA= DF=MD=MF， 可得∠1=∠3，再由已知得到MN是
2
1
△DEF的中位线，则有MN= DE，MN∥DE.由于△BEF是等腰直角三角形，可得BE=BF，∠EBF=90°，根
2
据“SAS”证明△ADF≌△CDE，即可得到对应角相等，对应边相等，再根据∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5
得出∠3+∠5=90°，由三角形内角和定理得∠6=180°-（∠3+∠5）.
26．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，菱形对角线互相垂直且平分，已知边长为10cm，
AC=12cm，即AD=10cm，AO=6cm，
∴在 Rt△ AOD中，勾股定理可得： DO=√AD2−AO2=√102−62=8 cm，故BD=16cm，
设运动t秒时， △PON 的面积是8平方厘米，
1
S = (6−t)(8−2t)=8
△PON 2
解方程得： t =2,t =8 均符合题意．
1 2
答：当运动2秒或8秒时， △PON 的面积是8平方厘米
（2）解：∵当P运动到B点时，运动停止，∴运动时间最长为8s，
①当 0
