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2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版）
题组一 不等式性质
1．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．若 且 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】依题意，当 时， ，则有 ，A正确；
因 ，取 ，满足 ，而 ，此时有 ，B不正确；
因 ，则 ，而 ，于是得 ，即 ，有 ，
由 得 ，又函数 在 上单调递增，所以 ，C正确；
函数 ，则 ，即 在 上单调递减，
因 ，则 ，所以 ，D正确.故选：ACD
2．（2022·山东聊城·一模）（多选）设 ，且 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A： ，且 ， ，解得 ，故A正确；
对于B： ，即 ， ，故B错误；
对于C： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立， ，故C正确；
对于D ，且 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∵ －3＝ ，∴ ，∴D错误.
故选：AC.
3．（2022·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． ，“ 恒成立”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，即 .故B 不正确；
对于C， ， 恒成立等价于 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以当 时， 取得最小值为 ，即 .
所以 ，“ 恒成立”是“ ”的充要条件，故C不正确.
对于D,因为 ， ，
= ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
4．（2021·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式 与 （m，n为实数）同时成立，则下列不等
关系可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题设， 且 ，则 ，即 同号，
所以 或 .故选：AB
5．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 .则
a0 B．sinx-siny>0 C． >0 D． >2
【答案】ACD
【解析】因为x，y∈R，且 <0，
且 ， ，
A，由题意可得 ，故A正确；
B，因为正弦函数是周期函数，仅有 ，不能得出sinx-siny>0，故B错误；
C，由 ，则 ，即 ，故C正确；
D，因为 ，则 ，即 ，当且仅当 ，即 取等号，又因为 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
9．（2022·天津·南开中学）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足 ，且 ，
则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 选项：取 ， ， ， 则 ， ，可知 错误；
选项：取 ， ， ， 则 ， ，可知 错误；
选项：取 ， ， ，
则 ， ，又 ，可知 错误；
选项：设 ， ，则
则要证 ，只需证
即证： ，又 ，只需 即可
即证：
又 ，则只需 即可
即
综上所述： ，可知 正确.本题正确选项：
题组二 不等式恒成立1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 对一切实数 都成立，① 时， 恒成立，
② 时，则 ，解得 ，综上可得， .故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 ，即 时， 可化为 ，即不等式 恒成立；
当 ，即 时，因为 对一切实数 恒成立，所以 ，
解得 ；综上所述， .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意的 恒成立，所以任意的 恒成立，
因为当 ， ，所以 ， ，即m的取值范围是
故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知 时，不等式 恒成立，则 的取值范围
为
A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)
C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)
【答案】C
【解析】由题意，因为 时，不等式 恒成立，
可转化为关于 的函数 ，则 对应任意 恒成立，
则满足 ，解得： 或 ，即 的取值范围为 .选：C
5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题 ：“ ”为真命题，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】命题p：“ ， ”，即 ，
设 ，对勾函数在 时取得最小值为4，在 时取得最大值为 ，故 ，故选：B．
6．（2022·北京师大附中）关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，不等式为 恒成立， ；当 时，不等式可化为： ，
， （当且仅当 ，即 时取等号）， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .故选：B.
7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则实数 的
取值范围为____________．
【答案】
【解析】由题意知： ，即 对任意的 恒成立，
当 ， 得： ，
即 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
令 ， 在 上单减，所以 ，所以 .故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 及 恒成立，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得 对任意 及 恒成立，
所以 对任意 恒成立，即 对 恒成立，
令 ，则 是关于 的一次函数，
所以只需 ，即 ，解得 或 或 ，
所以实数 的取值范围是 ．故答案为： .9．（2022·江苏·高三专题练习）若对 时，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是____________..
【答案】
【解析】不等式 转化为 ,化简为 ，
令 ,又 ,则 ,
即 恒成立，令 ，又 ，
当 时， 取最小值 ，
所以， 恒成立,化简得 ，解不等式得 .故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范
围为_______
【答案】
【解析】由题意得：关于 的不等式 在区间 上有解，等价于不等式 在区间 上
有解，设 ，则函数 在 上单调递增，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
题组三 一元二次方程（不等式）根的分布
1．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 的方程 有两个不同的正根，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为关于 的方程 有两个不同的正根，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .故选：C
2．（2021·河南焦作·高三期中（理））已知实系数一元二次方程 的两个实根为 、
，并且 ，则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D． .
【答案】C
【解析】令 ，则 ，可得 ，
又 表示 与可行域上点所成直线的斜率，如下图示：
由图知： ，可得 ，即 ；
所以 ，结合 斜率知： 的取值范围是 .故选：C3．（2022·北京海淀）已知函数 （b，c为实数）， .若方程 有两
个正实数根 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】因为函数 （b，c为实数）， ，所以 ，
解得 ，所以 ，
因为方程 有两个正实数根 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B
4．（2021·江苏）设a为实数，若方程 在区间 上有两个不相等的实数解，则a的取值
范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，由方程 在区间 上有两个不相等的实数解可得
，即 或 ，解得 ，故选：C
5．（2022·河南开封）关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由不等式 的解集为 ，
得 ，不等式对应的一元二次方程为 ，
方程的解为 ，由韦达定理，得 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理，得 .
故选：A
6．（2021·新疆）已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式 ，得 或
解方程 ，得 ，
（1）当 ，即 时，不等式 的解为：
此时不等式组 的解集为 ，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则 ，即 ；
（2）当 ，即 时，不等式 的解为：
此时不等式组 的解集为 ，若不等式组的解集中仅有一个整数，则 ，即 ；
综上，可知 的取值范围为
故选：B
7．（2021·江苏）若关于 的不等式 恰好有 个整数解，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，0＜k＜1，
函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象如下，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，
由 xB ，故 k ；
⇒
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 恰有1个正整数解，则 的取值范
围是___________.
【答案】
【解析】不等式 等价于 .令 ，解得 或
.
当 时，不等式 的解集为 ，要想恰有1个正整数解，则 ；当 时，不等式 无解，所以 不符合题意；
当 时，不等式 的解集为 ，则 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
9．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，集合 . 若
中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________
【答案】
【解析】由 中不等式变形得： ，解得 或 ，即 或 ，
函数 的对称轴为 ， ， ， ，
由对称性可得，要使 恰有个整数，即这个整数解为2，3,
（2） 且 （3） 且 即 ，解得 ，
则 的取值范围为 ， ．故答案为：10．（2021·四川雅安·模拟预测（理））已知关于 的方程 在 上有实数根，且
满足 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】问题等价于 在 上有公共点．
，
设 ， ，点 在线段 上，
的图象是过线段 和抛物线 弧上各一点的直线 如图 ，其中
．
故答案为： ．
11．（2021·江苏·高三）已知 是实数，若a，b是关于x的一元二次方程 的两个非负实根，
则 的最小值是___________.
【答案】
【解析】 a，b是关于x的一元二次方程 的两个非负实根，
可得 ， ， ，又 ，可得 ， ，
又
， ，
又 ， ，故答案为： ．
12．（2022·山东师范大学附中）在 中，已知 是x的方程 的两个实根，
则 ________．
【答案】
【解析】由题设， ， ，
又 ，且 ，∴ .故答案为： .
13．（2021·湖南益阳）已知关于x的方程 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】由题意可知关于x的方程 有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当 时，方程 ，化为 ，解得 ，不满足题意，舍掉；
②当 时，方程 ，化为 ，此方程有两个正根，即
，解得 ；
③当 时，方程 ，化为 ，此方程有两个负根，即，解得 ；
由①②③可知，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2021·全国·单元测试） 为何值时，关于 的方程 的两根：
（1）为正数根；
（2）为异号根且负根绝对值大于正根；
（3）都大于1；
（4）一根大于2，一根小于2；
（5）两根在0，2之间.
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 或
【解析】设函数由题意可得 ，方程有两根设为 ，对称轴 ，
解得 或
（1）由题意可得 或
（2）由题意可得（3）由题意可得
（4）由题意可得
（5）由题意可得 或
题组四 比较大小
1．（2022·四川凉山·二模（文））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ；
令 ， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ；
同理 ，所以 ，即 ，也即 ，
所以 ，所以 .综上， ，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，所以 ，故 ，又 ，则
在 上单调递减，又 ， ，所以存在 ，
使得 ，且在 时， ，在 时， ，即 在
上单调递增，在 单调递减，且 ，所以 ，又因为
，所以当 时， ，其中因为 ，所以 ，所以
，故 ，即 .
故选：B
3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知实数a，b满足 ， ，则
下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，
所以 ，因为 ，所以 ，即 .所以 ,即 ，所以
.
再来比较 的大小：
因为 ，
所以
，所以 ，即 ，所以 .综上所述，
.故选：A.
4．（2022·河南·模拟预测（理））设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 又 ，即 ，则
， ，又 ，由于
，所以 ，故 ，即 ，综上：
故选：A
5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；因为 ，当 时， ，故B错误；
由 ，且 时， ，
所以 ，故C错误；
因为 ，所以
所以 ，故D正确.
故选：D.
6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以
；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，即 ，∵ ，∴综上， .
故选：B
题组五 解含参的一元二次不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，求关于x的不等式 的解集.
【答案】见解析
【解析】当 时， ，∴ ，则 的解集为
当 时，解 ，得 ，
①当 时， ，则 的解集为 .
②当 时，（1） ，即 ，则 可化简为 ，无解；
（2） ，即 ，则 的解集为 ；
（3） ，即 ，则 的解集为 ；
综上：（1） 时，解集为 ；
（2）当 时，解集为 ；
（3）当 时，无解；
（4）当 时，解集为 ；
（5）当 时，解集为 .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .（1）若对于任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若对于任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若对于任意 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）若对于任意 , 恒成立，
则有 ，解得 ；
（2）由于对于任意 ， 恒成立，故 ．
又函数 的图象的对称轴方程为 ，
当 时， ，求得 无解；
当 时， ，求得 ；
当 时， ，求得 ．
综上可得， 的范围为 ；
（3）若对于任意 ， 恒成立，等价于 ，
∴ ，求得 ，即 的范围为 ．
2．（2021·江苏·专题练习）解关于x的不等式 ．
【答案】答案见解析.
【解析】（1）当 时，原不等式 ，解得 ， 不等式解集为 ；
（2）当 时， ， 开口向上，由图象得：若 时， ， 的两个零点为 ， ，
不等式 的解集为 ；
若 时， ，不等式 解集为 ；
（3）当 时， ，
的两个零点为 ，
开口向下，
由图象得不等式解集为 ；
综上可知，当 时不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．
3．（2021·江苏·专题练习）已知函数 ．
(1)若不等式 的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ；
(3)若不等式 对一切 恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1) ；(2)答案见解析；
(3) .
【解析】(1)根据题意， 当 ，即 时， ，不合题意；
当 ，即 时，
的解集为R，即 的解集为R，
即 ，故 时， 或 .故 ．
(2) ，即 ，即 ，
当 ，即 时，解集为 ；
当 ，即 时， ，
， 解集为 或 ；
当 ，即 时， ，
， 解集为 ．
综上所述：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 .
(3) ，即 ，
恒成立， ，
设 则 ，，
，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
当 时， ， ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 上的值域；
(2)当 时，解关于 的不等式 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】(1)当 时， 是开口向上，对称轴为 的二次函数，又 ，
所以当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增；
所以 ，
又 ， ，因此 在 上的值域为 .
(2)∵ ．
①当 时， ，即解集为 ；
②当 时， 且 开口方向向下，所以 的解集为
③当 时，若 ，即 时，原不等式的解集为 ；
若 ，即 ，原不等式的解集为
若 ，即 ，原不等式的解集为
综上，当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为
当 时， 的解集为 ；
当 时， 的解集为 ．
5．（2022·江苏省如皋中学）解关于 的不等式： .
【答案】见解析
【解析】当 时，原不等式等价于 ，所以解为 ，
当 时， ，
当 时，令 得 ，
所以当 时， ，不等式所对应方程的根为 或 ，
此时不等式的解为 ；
当 时， ，不等式的解为 ；当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，原不等式等价于 ，
不等式所对应方程的根 或 （且 ），
所以不等式的解为 或 .
综上可知：当 时，解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
