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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市师达中学 2023－2024 学年度第二学期期中练习
初一数学
（总分：100分 考试时间：90分钟）
考生须知：
1．本试卷共7页，共三道大题，26道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2．在试卷上准确填写班级名称、学号、姓名．
3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹的签字笔作答．
一、选择题（本题共30分，每题3分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 81 B. 3 C. ±3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】由算术平方根的定义得：9的算术平方根是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题关键．
2. 如图，在平面直角坐标系中，被圆形阴影覆盖的点，可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，由图可知，被覆盖的点在第二象限，而第二象限内的点横坐
标为负，纵坐标为正，据此可得答案．
【详解】解：由图可知，被覆盖的点在第二象限，而四个选项中，只有C选项中的点在第二象限，
故选：C．
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3. 若 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将这组值代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将 代入 得： ，
解得： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．
4. 解一元一次不等式 ，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，直接把不等式两边同时乘以 即可得到答案．
【详解】解：
不等式两边同时乘以 得： ，
故选：B．
5. 小明一家在自驾游时，发现某公路上对行驶汽车的速度有如下规定，设此段公路上小客车的速度为v千
米/小时，则v应满足的条件是（ ）
小客
120
车
最高
限速
大型
100
客车
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货车 90
最低限速 60
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最
低限速，易得出小客车的速度范围．
【详解】解：由题意小客车的最高限速为120千米/小时，而所有车辆的最低限速为60千米/小时，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6. 如图，下列条件中，能判定 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁
内角互补，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：A、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，不能得到
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，不符合题意；
B、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符合题
意；
C、由 ，可以由同位角相等，两直线平行得到 ，符合题意；
D、由 不能得到 ，不符合题意；
故选：C．
7. 若关于x的不等式 的解集如图所示，则m的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式得到 ，再
根据数轴可得不等式的解集为 ，则 ，解之即可得到答案．
【详解】解：解不等式 得 ，
由数轴可知不等式得解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8. 将一个长方形的长减少 ，宽增加 ，就成为了一个正方形，设这个长方形的长为 ，宽为
，则下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列二元一次方程，根据长减少 ，宽增加 后长和宽相等列方程即可．
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【详解】解：设这个长方形的长为 ，宽为 ，
由题意得， ，
故选：D．
9. 已知正实数m的两个平方根分别是x和 ，若 ，则m的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，解二元一次方程组，根据一个正数的两个平
方根互为相反数得到 ，据此可得方程组 ，解得 ，则 ．
的
【详解】解：∵正实数m 两个平方根分别是x和 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：A．
10. 如图1，小宇利用两个面积为 的正方形拼成了一个面积为 的大正方形，并通过测量大正方形
的边长感受了 的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，
如图2，利用四个直角边为 的等腰直角三角形，可以感知到的无理数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据题干提供的信息，先求出四个直角边为 的等腰直角
三角形可以拼成的正方形的面积，然后求出正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：直角边为 的等腰直角三角形的面积为：
，
四个直角边为 的等腰直角三角形可以拼成的正方形的面积为：
，
面积为 的正方形的边长为： ，
∴可以感知到的无理数是 ．
故选：D．
二、填空题（本题共24分，每题3分）
11. 使代数式 有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ，
从而可得答案．
【详解】解：代数式 有意义，
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故答案为：
12. 如图， ，若 ，则 的度数是______．
【答案】 ##36度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．先根据邻补角求出
，然后根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，根据 结合求立方根的方法即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
故答案为： ．
14. 在平面直角坐标系中，若点 到 轴的距离是2，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据点到y
轴的距离等于横坐标的绝对值，可得 ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵点 到 轴的距离是2，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 举反例说明命题“如果 ，那么 ”是假命题，则 ______， ______， ______．
【答案】 ①. 5 ②. 0 ③. 0
【解析】
【分析】本题考查了命题、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据假命题 的定义、不等式的性质即可得．
【详解】解：要使得命题“如果 ，那么 ”是假命题，
则由不等式的性质得：只需 不是正数即可，
∴ ， ， ．
故答案为：5，0，0(答案不唯一）．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ．
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（1）直接写出图中点C的坐标是______．
（2）若点D的纵坐标为1，且 ，则点D的坐标是______．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）根据A、B坐标建立坐标系，进而根据坐标系求出点C的坐标即可；
（2）根据题意可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意可建立如下坐标系，
∴点C的坐标是 ，
故答案为： ；
（2）∵点D的纵坐标为1，且 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标是 或 ，
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故答案为： 或 ．
17. 用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：
x 16 17
2
根据表中的信息判断下列结论中，正确的有______．（填序号）
① 的平方根是 ；② ；
③265的算术平方根比 大；④只有4个正整数 满足
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两
个平方根互为相反数，结合 即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，
则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据 ，即可判断③；
根据 即可判断④．
【详解】解：∵ ，
∴ 的平方根是 ，故①正确；
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴265的算术平方根比 小，故③错误；
∵ ，
∴满足 的正整数有 共4个，故④正确；
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故答案为：①②④．
18. 在四张卡片上写上4个正整数，再从这四张卡片中任选两张，将卡片上的数字相加，所得的和记为 ．
（1）若i的最大值为4，则这4个正整数中，最大的数字可能为______；
（2）若i所有可能的值为5，6，7，8，则这4个正整数分别是______．（写出一组即可）
【答案】 ①. 3 ②. 2、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算：
（1）根据两个正整数相加的和最大值为4，即可得到答案；
（2）分别列出两正整数相加为5，6，7，8的所有可能性，进而推出最小的两个数一定是2和3，再讨论
最大的数为6，5，4即可求解．
【详解】解：（1）∵两个正整数相加的和最大值为4，
∴这两个正整数中，最大的数为3，
故答案为：3；
（2）相加得5的两个正整数整数可能为：1，4或2，3；
相加得6的两个正整数可能为：1，5或2，4或3、3；
相加得7的两个正整数可能为：1，6或2，5或3、4．
相加得8的两个正整数可能为：1，7或2，6或3，5或4、4，
∵i所有可能的值为5，6，7，8，即不管怎么选取，两个正整数的和的最小值都为5，
∴最小的两个数一定是2和3，
∵和最大为8，
∴当最大的数为6时，此时 ，不符合题意；
当最大的数为5时，由于 ，则剩下的一个数要与2、3、5中的一个数的和为
6，则剩下的一个数可以为1、4、3，而 ，此时均不符合题意，则此时剩下的数只有是
3；
当最大的数为4时，则另外一个数为4，此时四个数为2、3、4、4，符合题意；
综上所述，符合题意的数为2、3、3、5或2、3、4、4，
故答案为：2、3、3、5或2、3、4、4（任填一组即可）
三、解答题（本题共46分，第19题8分，第20题4分，第22、24题每题5分，第21、23、
25、26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 解下列方程组：
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（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
【小问1详解】
解：
把 代入 ，得 ，
，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解：
，得 ，
把 代入 ，得 ，
故原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是
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本题的关键．
20. 解不等式： ，并用数轴表示不等式的解集．
【答案】 ；数轴见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的解集，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后将未知数
系数化为1，并把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
将解集表示在数轴上，如图所示：
21. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
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（1）在图中画出 向右平移4个单位，再向下平移2个单位的 ；
（2）写出点 ， ， 的坐标： ___________， ___________， ___________；
（3）设点 在 轴上，且 与 的面积相等，直接写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2） ； ；
（3） 或
【解析】
【分析】（1）先作出 三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点 ， ， ，然
后顺次连接即可；
（2）根据解析（1）中的作图，写出点 ， ， 的坐标即可；
（3）先求出 的面积，然后点 的坐标为 ，根据三角形面积公式列出关于x的方程，解方程得
出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：作出 三个顶点向右平移4个单位，再向下平移2个单位的对应点 ， ， ，顺次连接，则
即为所求，如图所示：
【小问2详解】
解：由图可得，点 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ．
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故答案为： ； ； ．
【小问3详解】
解： 的面积为 ，
设点 的坐标为 ，
的面积为 ，
，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了平移作图，三角形的面积公式，解题的关键是作出平移后对应点的坐标．
22. 如图，已知 ，点E为 上一点， ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．
（1）先根据平行线的性质得出 ，再根据 ，得出 ，根
据平行线的判定得出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出 ，根据角平分线的定义，求出结果即可．
【小问1详解】
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证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
23. 某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者
购买5件A纪念品和10件B纪念品．
（1）A，B两种纪念品的单价各多少元？
（2）如果小敏想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于10件，且总费用不超过560元，请问小敏
有哪几种购买方案，说明理由．
【答案】（1）A种纪念品的单价为30元，B种纪念品的单价为25元
（2）小敏有3种购买方案，购买10件A纪念品，10件B纪念品；购买11件A纪念品，9件B纪念品；购
买12件A纪念品，8件B纪念品；理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系，
列出方程组和不等式组即可．
（1）A种纪念品的单价为x元，B种纪念品的单价为y元，根据花费400元可以购买10件A纪念品和4件
B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品，列出方程组，解方程组即可；
（2）设A纪念品购买m件，B纪念品购买 件，根据A纪念品不少于10件，且总费用不超过560
元，列出方程组，解不等式组即可．
【小问1详解】
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解：设A种纪念品的单价为x元，B种纪念品的单价为y元，根据题意得：
，
解得： ，
答：A种纪念品的单价为30元，B种纪念品的单价为25元．
【小问2详解】
解：设A纪念品购买m件，B纪念品购买 件，根据题意得：
，
解得： ，
∵m取整数，
∴ ， ，12，
∴小敏有3种购买方案，购买10件A纪念品，10件B纪念品；购买11件A纪念品，9件B纪念品；购买
12件A纪念品，8件B纪念品．
24. 对于两个关于 的不等式，若有且仅有一个整数 ，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式
关于整数 “互联”．例如：不等式 和不等式 关于整数 “互联”．
（1）不等式 和 关于整数______“互联”；
（2）若关于 的不等式 和 关于整数 “互联”，
的
①直接写出 值为______；
②求 的最大值；
（3）已知不等式 和 关于整数 “互联”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）是 （2）① ；②
（3）
【解析】
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【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法；
（1）解不等式得 ，再根据“互联”的定义即可；
（2）①根据定义可得 ；
②根据题意得 ，再根据“互联”的定义得 ；
（3）根据题意得 ，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：是，理由如下：
解不等式得 ，
满足条件的整数有且只有一个： ，所以这两个不等式是“互联”的；
故答案为：是．
【小问2详解】
解：①解不等式 ，得
∵关于 的不等式 和 关于整数 “互联”，
∴ ，
故答案为： ．
②依题意， 的整数解为 ，
∴
解得：
故 的最大值为 ；
【小问3详解】
解：若不等式 和 是关于整数 “互联”的，
则满足 的整数有且只有一个，为
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∴
解得：
25. 如图，线段AB，AD交于点A，C为直线AD上一点（不与点A，D重合）．过点C在BC的右侧作射
线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）．
（1）如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA为钝角．
①按要求补全图形；
②用等式表示∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
（2）若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系_______．
【答案】（1）①见解析；②∠CGD-∠B=90°，理由见解析
（2）∠CGD+∠B=90°
【解析】
【分析】（1）依据过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G，画出图
形，根据平行线的性质即可得到∠1=∠B，再根据平行线的性质，即可得出∠2+∠HCG=180°，进而得出
∠CGD-∠B=90°；
（2）过点C作CH∥AB，根据平行线的性质可得∠B=∠BCH，再根据平行线的性质即可得到
∠CGD+∠HCG=180°，进而得出∠B+∠CGD=90°．
【小问1详解】
解：①补全图形如图所示：
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②∠CGD-∠B=90°，理由如下：
如图：过点C作CH∥AB，
∴∠1=∠B，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠2+∠HCG=180°，
∵CE⊥BC，
∴∠1+∠HCG=90°，
∴∠CGD+（90°-∠B）=180°，
即∠CGD-∠B=90°；
【小问2详解】
解：∠CGD+∠B=90°．
理由：如图，过点C作CH∥AB，
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∴∠B=∠BCH，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠CGD+∠HCG=180°，
又∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90°，
∴∠BCH+90°+∠CGD=180°，
即∠B+∠CGD=90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补．
26. 在平面直角坐标系 中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段 给出如下定义：过点
P向线段 所在直线作垂线，若垂足Q落在线段 上，则称点P为线段 的内垂点．若垂足Q满足
最小，则称点P为线段 的最佳内垂点．已知点 ， ， ．
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AI
（1）在点 、 、 ， 中，线段 的内垂点为 ；
（2）点M是线段 的最佳内垂点且到线段 的距离是2，则点M的坐标为 ；
（3）点N在y轴上且为线段 的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是 ；
（4）已知点 ， ， ．若线段 上存在线段 的最佳内垂点，求m的取值
范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
（4） 或
【解析】
【分析】（1）根据新定义解决问题即可；
（2）满足条件的点在线段 的垂直平分线上上；
（3）画出图象即可解决问题；
（4）分两种情况讨论，构建不等式组解决问题即可．
【小问1详解】
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解：∵ ， ，
∴ 轴，
∴在点 、 、 ， 中，线段 的内垂点 ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵垂足Q满足 最小，则称点P为线段 的最佳内垂点．
∴当P在 的垂直平分线上时，P为最佳内垂点，
∴点Q在 的垂直平分线上，
又∵M到线段 的距离是2，
∴ 或 ；
故答案为： 或 ；
【小问3详解】
解：如图，作 交y轴于E，作 交y轴于F，
∵N为线段 的内垂点，
∴N在线段 上，
∴ ，
故答案为： ；
【小问4详解】
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在
解：当点F 点C左侧时，
∵ ， ，
∴ 的中点为 ，
∵线段 上存在线段 的最佳内垂点，
∴ ，
∴ ，
当点F在点C右侧时，
同理可得： ，
∴ ，
综上可知： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，垂线，线段的垂直平分线，不等式组等知识，解题的关键是理解题
意，学会构建不等式组解决问题，属于中考常考题型．
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