武汉市部分学校高三年级9月调研考试数学答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_9月_240905湖北省2024-2025学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试

武汉市 2025 届高三年级九月调研考试 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D C B A B D ACD BC BD 填空题： 8 4 12. −2 13. − 14. 9 3 解答题： 15.（13分）解： （1）取AD中点O，连PO,CO，由BC = // AO，故OC∥AB. 由PD⊥平面PAB，有PD⊥ AB，所以OC⊥PD. 又AB⊥ AD，所以OC⊥ AD，又AD PD=D，所以OC ⊥平面APD. 由OP平面APD，所以OC⊥PO. 1 由PD⊥平面PAB，有PD⊥ AP，故OP= AD=1. 2 又OC= AB=2，故PC = OP2 +OC2 = 5. …………6分 （2）以O为坐标原点，OC,OD为x,y轴的正方向, 以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系. 1 3 由PD=1，得POD为正三角形，故P(0, , ). 2 2 又A(0,−1,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)， 1 3 CD =(−2,1,0)，PD=(0, ,− ). 2 2 设平面PCD的法向量n=(x,y,z)， −2x+ y=0  nCD=0  由 ，即 ， 1 3 nPD=0  y− z =0 2 2 取z=2，得到平面PCD的一个法向量n=( 3,2 3,2). 3 3 又PA=(0,− ,− )， 2 2 设直线PA与平面PCD所成角的大小为， |nPA| 4 3 4 19 则sin=|cosn,PA|= = = . |n||PA| 3 19 19 4 19 所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 . …………13分 1916.（15分）解： （1）a=2时， f(x)=e2x −2x， f '(x)=2e2x −2. f '(1)=2e2 −2， f(1)=e2 −2. 所求切线方程为y=(2e2 −2)(x−1)+e2 −2， 整理得：y=(2e2 −2)x−e2. …………5分 （2） f '(x)=2e2x +(a−2)e2 −a=(2ex +a)(ex −1). 若a0，令 f '(x)=0，解得：x=0. 当x0时， f '(x)0， f(x)在(−,0)上递减； 当x0时， f '(x)0， f(x)在(0,+)上递增. a 若a0，令 f '(x)=0，解得：x=0或x=ln(− ). 2 a 若ln(− )0，即−2a0， 2 a a 当xln(− )时， f '(x)0， f(x)在(−,ln(− ))上递增； 2 2 a a 当ln(− ) x0时， f '(x)0， f(x)在(ln(− ),0)上递减； 2 2 当x0时， f '(x)0， f(x)在(0,+)上递增. a 若ln(− )0，即a−2， 2 当x0时， f '(x)0， f(x)在(−,0)上递增； a a 当0 xln(− )时， f '(x)0， f(x)在(0,ln(− ))上递减； 2 2 a a 当xln(− )时， f '(x)0， f(x)在(ln(− ),+)上递增. 2 2 a 若ln(− )=0，即a=−2，此时 f '(x)0， f(x)在(−,+)上递增. 2 a a 综上所述：a−2时， f(x)在(−,0)和(ln(− ),+)上递增，在(0,ln(− ))上递减； 2 2 a=−2时， f(x)在(−,+)上递增； a a −2a0时， f(x)在(−,ln(− ))和(0,+)上递增，在(ln(− ),0)上递减； 2 2 a0时， f(x)在(0,+)上递增，在(−,0)上递减. …………15分 17.（15分）解： （1）2c−b=a( 3sinC−cosC)，有2sinC−sinB=sin A( 3sinC−cosC). 所以2sinC−sin(A+C)= 3sin AsinC−sin AcosC. 整理得：2sinC = 3sinAsinC+cosAsinC.  由sinC0，所以 3sinA+cosA=2，即sin(A+ )=1. 6  又0 A，解得：A= . …………7分 3 1 1 （2）S =S +S ，即 (b+c)ADsin30= bcsin60. ABC ABD ACD 2 2 整理得：b+c= 3bc. 由余弦定理：a2 =b2+c2−2bccosA，整理得：b2 +c2 −bc=6. 即(b+c)2−3bc=6，将b+c= 3bc代入得：3b2c2 −3bc=6. (bc−2)(bc+1)=0，所以bc=2. 1 3 所以S = bcsin60= . …………15分 ABC 2 218.（17分）解： （1）设圆心Q(x,y)，动圆半径为R， 4 则R2 = x2 +( )2 =|PQ|2，即x2 +4=(x−2)2 + y2. 2 整理得曲线E:y2 =4x. …………4分 （2）设A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y ) A A B B C C D D （i）设AB中点M(x ,y )，CD中点N(x ,y ). M M N N y − y y − y 4 2 k = A B = A B = = ， AB x −x 1 1 y + y y A B y 2 − y 2 A B M 4 A 4 B 2 同理：k = . CD y N 因为k =k ，所以y = y . AB CD M N 由平面几何，M,N,T 三点共线，故y = y = y =1. M N T 2 所以k = =2. …………10分 AB y M y − y 4 4 （ii）k = A C = ，直线AC方程为：y− y = (x−x ). AC x −x y + y A y + y A A C A C A C 将y 2 =4x 代入，整理得l : (y +y )y=4x+y y . A A AC A C A C 又直线AC过点T(2,1)，代入得：y +y = y y +8. A C A C 4 由k = =2，所以y =2− y ，代入上式: y +2−y = y (2−y )+8 CD y + y C D A D A D C D 整理得：y +y = y y −6. A D A D 同直线AC方程，可得直线AD方程l : (y + y )y=4x+ y y . AD A D A D 3 令y=1，解得：x=− . 2 3 3 即直线AD过定点(− ,1)，同理：直线BC也过定点(− ,1). 2 2 3 所以直线AD与BC交于定点(− ,1). …………17分 2 19.（17分）解： 1 （1）1号球放入1号盒中的概率为 ，此时2,3号球分别放入2,3号盒中； 3 1 1 1号球放入2号盒中的概率为 ，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为 ； 3 2 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中； 1 1 1 1 综上所述：P(3,3)= +  = . …………3分 3 3 2 2 n−2 （2）1号球放入1号,...,4号,5号,,n号盒中的概率为 ，此时3号球可放入3号盒中； n 1 1号球放入2号盒中的概率为 ，欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号, 4号, 5号,...,n n n−2 号盒中，概率为 ； n 1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中； n−2 1 n−2 n−2 综上所述：P(n,3)= +  = . …………8分 n n n−1 n−1n−k+1 （3）1 号球放入 1 号,(k+1)号,(k+2)号,(k+3)号,...,n号盒中的概率为 ，此时 n k 号球可放 入k号盒中； 1 1号球放入 j(2 jk−1)号盒中的概率为 ，此时2号,3号,...,(j−1)号球都可以放入对应编号的 n 盒中，剩下编号为 j, j+1, j+2,...,k 的球和编号为1, j+1, j+2,...,n的空盒，此时 j号盒非空， j 号球 在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让 k 号球放入 k 号盒中的放法总数等效于将编号为 1,2,...,k− j+1的球按照题设规则放入编号为1,2,...,n− j+1的盒中(1号球仍然随机选择一个盒子放入)， 所以概率为P(n− j+1,k− j+1)； 1号球放入k号盒中时，此时k号球不能放入k号盒中； k−1 n−k+1 1 所以P(n,k)= + P(n− j+1,k− j+1). n n j=2 k−1 整理得：nP(n,k)=(n−k+1)+P(n− j+1,k− j+1).① j=2 分别用n−1和k−1替换n和k，可得： k−2 (n−1)P(n−1,k−1)=(n−k+1)+P(n− j,k− j).② j=2 由①②式相减，整理得：P(n,k)=P(n−1,k−1). 从而P(n,k)=P(n−1,k−1)= =P(n−k+2,2) 1 n−k+1 P(n−k+2,2)等于1号球不放在2号盒的概率，即P(n−k+2,2)=1− = . n−k+2 n−k+2 n−k+1 所以P(n,k)= . …………17分 n−k+2